2024年四川省绵阳市中考数学试题（解析版）-A4

第页2024年绵阳市初中学业水平考试数学本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，答题卡共6页，满分150分．考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号，2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求．1.下列实数中满足不等式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了立方根，不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．2.蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（）A. B.−3,2 C.−2,3 D.2,3【答案】A【解析】【分析】本题考查了关于轴对称的点的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标的特点，即可得出答案．【详解】解：点M的坐标为，则点的坐标为．故选：A．3.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，，∴且，解得．故选：C．4.如图是某几何体的展开图，则此几何体是（）A.五棱柱 B.五棱锥 C.六棱柱 D.六棱锥【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，熟记几种几何体的展开图是解题的关键．根据简单几何体的展开图求解即可．【详解】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确．故选：C．5.将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了弧长的计算，正确理解弧长的计算公式是解题的关键．已知，，根据弧长的计算公式，即可求出答案．【详解】已知，，，，解得．故选：D．6.如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（）A.3，4 B.4，3 C.2，5 D.5，2【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键．设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，然后列出二元一次方程组求解即可．【详解】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，由题意得：，解得：．所以蜻蜓和蝉的只数分别是3，4．故选：A．7.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键．如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答．【详解】解：如图：过D作垂足为F，∵的面积为5，∴,即，解得：,∵平分交于点D，，，∴．故选B．8.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．因为一元二次方程有实数根，所以可得，解不等式求出的取值范围．【详解】解：关于的方程是一元二次方程，，，整理得：，合并同类项得：，解得：．故选：D．9.如图，在边长为2正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（）A. B. C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及轴对称最短路线问题，得出点位置是解题关键．要使△的周长最小时，最小，利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，那么有，最小，再根据正六边形的性质和勾股定理计算即可．【详解】解：如图，要使的周长的最小，即最小，利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，作，垂足为，那么有，最小，，，，，∴，，，，，故当的周长最小时，．故选：B．10.如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，闭合四个的情况有：，，，，故这些开关随机闭合至少两个共11种，其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．故选：D．11.如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（）A.36 B.96 C.226 D.426【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键．根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答．【详解】解：由题知，，所以第n行的最后一个数可表示为，则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）．因为，故A选项不符合题意；因为，故B选项不符合题意；因为且，故C选项符合题意；因为，故D选项不符合题意．故选：C．12.如图，在四边形中，，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作，，，垂足分别为H，G，I，构造，，，由等腰三角形和相似三角形对应边成比例得出，，以及，再由勾股定理求出和关于的表达式，通过比较建立关于的方程，解方程即可．【详解】解：如图，作，，，垂足分别为H，G，I，，，，又，，，，在和中，，，，，，，，四边形为矩形，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，解得，故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上．13.因式分解______．【答案】【解析】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，再利用完全平方公式即可．【详解】解：．故答案为：14.中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将3550000写成其中，n为整数的形式即可．【详解】解：．故答案为：．15.已知单项式与是同类项，则______．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．直接利用同类项的定义即可求得n的值．【详解】解：∵单项式与是同类项，∴，解得：．故答案为：2．16.如图，直线，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B，若，则______°．【答案】92【解析】【分析】本题主要考查了平行线性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键．先根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】解：∵直线，∴，∵，∴，∴．故答案为：．17.超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键．4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程求解即可．【详解】解：根据题意得，解得，（不合理舍去）．所以4，5月份两个月平均降价率为．即．故答案为：．18.如图，在矩形中，点E在上运动，的内切圆与相切于点G，将沿翻折，点A落在点F处，连接，当点E恰为的三等分点（靠近点A）时，且，，则______．【答案】【解析】【分析】设内切圆圆心为O，连接，过O作于点H，作于点K，则四边形为正方形，根据切线长定理可得和，设半径为r，则，，求得和，利用勾股定理求得r，则，，根据折叠的性质得，，过F作于点M，交CD于点N，则，可证明，有，设，则，，利用勾股定理求得x，可求得，和，根据余弦定义即可求得．【详解】解：如图，设内切圆圆心为O，连接，过O作于点H，作于点K，则四边形为正方形，根据切线长定理可得，，设半径为r，则，，∴，在中，，∵，∴，解得或(舍去)，∴，，根据折叠的性质得，，过F作于点M，交CD于点N，则，∵，∴，∴，设，则，，在中，，即，解得或(舍去)∴，，在中，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握圆的性质和矩形的性质．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）0；（2）；．【解析】分析】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．（1）先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．【详解】解：（1）；（2），当时，原式．20.某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：甲7979106乙58910106（1）根据表格中的数据填空：甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环；甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环；（2）求甲、乙测试成绩的方差；（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．【答案】（1）8，8，8，10（2）2，（3）推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握方差的定义是解答本题的关键．（1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可；（2）根据方差的公式计算即可；（3）根据平均数和方差的意义即可解答．【小问1详解】解：甲的平均成绩是（环），乙的平均成绩是（环），甲成绩的中位数是（环），乙成绩的众数是10环．故答案：8，8，8，10．【小问2详解】解：；．【小问3详解】解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．21.为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．（2）购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键．（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可；（2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，所以．答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．【小问2详解】解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，由题意得：，解得：，∵m为正整数，∴，∴购买这两种花卉有6种方案，设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意得：，∵，∴y随m的增大而减小，∴当时，y有最小值．答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．22.如图，在正方形中，，对角线与相交于点O，点E在线段上（与端点不重合），线段绕点E逆时针旋转到的位置，点F恰好落在线段上，，垂足为H．（1）求证：；（2）设，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）的最小值为【解析】【分析】（1）根据“”证明即可；（2）根据正方形的性质得出，，，根据三角形全等的性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据，根据，得出答案即可．【小问1详解】证明：根据旋转可知：，，∵，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵四边形为正方形，∴，，，∵，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵点E在线段上（与端点不重合），∴，∴当时，的最小值为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，二次函数的最值，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，23.如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上．（1）求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；（2）将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．（1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可；（2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答．【小问1详解】解：如图：过点D作于点H．∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵点C在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为．【小问2详解】解：对于反比例函数，当时，，∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点，∴菱形向右平移了4个单位，∴B，C的对应点，设直线的解析式为，，解得：，∴直线的解析式为，由，解得：或，∵，∴∴，∵，∴点F的坐标为，∴点F到x轴的距离为．24.如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，．（1）证明：四边形为平行四边形；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）设，得到，根据勾股定理得到，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）如图：过点D作于H，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，再根据三角函数的定义即可解答．【小问1详解】证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵∴∠ADC=∠ABC，∵，∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形．【小问2详解】解：设，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∴，由（1）知，，∵，∴，∴，∴．【小问3详解