江苏省淮安市2025届高三上学期第一次调研测试 数学 含解析

淮安市2024-2025学年度第一学期高三年级第一次调研测试数学试题2024.11注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，，则（）A. B.C D.2.若复数满足（为虚数单位），则的模（）A.1 B. C. D.3.已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（）A. B.1 C.2 D.34.已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（）A B. C. D.5.已知函数，则“”是“函数为奇函数”（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件6.已知是单位向量，满足，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.17.在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（）A.2 B.3 C.4 D.58.已知函数，正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则10.在数列和中，，，，下列说法正确的有（）A. B.C.36是与的公共项 D.11.已知函数，（）A.函数为单调减函数B.函数的对称中心为C.若对，恒成立，则D.函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.13.已知，则______.14.已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象.设函数，若存在使成立，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设，，，为平面内的四点，已知，，.（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；（2）若，，三点共线，，求点的坐标.16.设是奇函数，是偶函数，且.（1）求函数，的解析式；（2）设，.当时，求的值.17.在中，角，，对应的边分别为，，，且.（1）求；（2）如图，过外一点作，，，，求四边形面积.18.已知数列的前项和为，，，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，当时，；当时，.①求数列的前项和；②当时，求证：.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立.①求实数的取值范围；②当取最大值时，若（，，，为非负实数），求的最小值.淮安市2024-2025学年度第一学期高三年级第一次调研测试数学试题2024.11注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合，再由并集运算可得结果.【详解】解不等式可得，又，可得.故选：C2.若复数满足（为虚数单位），则的模（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据模长的运算公式以及性质求解即可.【详解】由题意可知：，故选：A.3.已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据等比数列性质利用等差数列通项公式计算可得，代入计算可得结果.【详解】由，，成等比数列可得，即，解得，所以可得，故选：D.4.已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值.【详解】因为幂函数的图象与轴无交点，则，解得.故选：B.5.已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合正弦函数的奇偶性以及充要条件的定义判断即可.【详解】若，则，则，，所以，则为奇函数.若为奇函数，则一定有.则“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选：A.6.已知是单位向量，满足，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积运算公式，求得在方向上的投影，进而可得投影.【详解】，，，即，在上投影向量，所以在方向上的投影为1.故选：D.7.在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围.【详解】在中，，由有两解，得，且，则，由外接圆半径为4及正弦定理，得，所以边的长可能为5.故选：D8.已知函数，正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根据可得，再由基本不等式计算可得结果；方法二：由函数解析式可得，再由单调性可得，利用基本不等式计算可得结果.【详解】方法一：由可得，易知在上单调递增，因此可得，即；又要求的最大值，只需考虑即可，因此，当且仅当时，等号成立；故选：B.方法二：，而，所以；而在上单调递增，所以，即，因此原式，要求其最大值，只需考察可得原式，当且仅当时，即时等号成立；故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】AB【解析】【分析】利用作差法可判断A，利用不等式可判断B，利用特殊值法可判断C、D.【详解】由，得，即，又，则，即，故A正确；因为，所以，即，又因为，，所以，故B正确；假设，，满足，，此时，，不成立，故C错误；假设，，，满足，，，此时，，不成立，故D错误；故选：AB.10.在数列和中，，，，下列说法正确的有（）A B.C.36是与的公共项 D.【答案】ACD【解析】【分析】A：根据等差数列定义求的通项公式，则可求；B：累加法求的通项公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明.【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故正确；对于B：因为，所以，所以，当时，符合条件，所以，故错误；对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以，所以，即是与的公共项，故正确；对于D：因，所以，故正确；故选：ACD.11.已知函数，（）A.函数单调减函数B.函数的对称中心为C.若对，恒成立，则D.函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知在0,+∞以及上是分别单调递减的，即A错误，易知满足，可知B正确，再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得C正确，画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性计算可得D正确.【详解】对于A，易知当时，，时，因此可得在0,+∞以及上分别为单调递减函数，即A错误；对于B，易知函数满足，因此可得关于0,1对称，即B正确；对于C，由，即，即在时恒成立，易知在0,+∞上恒成立，所以可得，解得，即C正确；对于D,画出函数以及的图象如下图所示：易知也关于0,1对称，的周期为4，一个周期与有两个交点，5个周期有10个交点，与在共20个交点，即，故D正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数以及都关于0,1成中心对称，再由函数周期性计算可得结果.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.【答案】【解析】【分析】应用对数运算律化简求值即可.【详解】.故答案为：−213.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.【详解】因为，而，所以，，故答案为：.14.已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象.设函数，若存在使成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】求得函数的解析式，进而求得ℎx的解析式，利用导数求得ℎx的最大值【详解】将函数y=fx图象上各点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到，所以，，可得ℎx周期为，，所以，所以或，解得或或，当，ℎ′x<0，所以ℎx当，ℎ′x>0，所以ℎx当，ℎ′x<0，所以ℎx当，ℎ′x>0，所以ℎx，，，，因为存在x∈R使成立，所以所以，所以实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设，，，为平面内的四点，已知，，.（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；（2）若，，三点共线，，求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，利用，可求点的坐标；（2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标.【小问1详解】因为，，，所以，因为四边形为平行四边形，所以，设，所以，所以，所以【小问2详解】因为，，三点共线，，所以设，又，所以，所以，又所以.16.设是奇函数，是偶函数，且.（1）求函数，的解析式；（2）设，.当时，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据条件，利用正、余弦函数奇偶性，得到，，联立即可求解；（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及辅助角公式，得到，结合条件得到，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.【小问1详解】因为①，为奇函数，为偶函数，，即②，联立①②，解得，.【小问2详解】因为，当时，，，或，或.17.在中，角，，对应的边分别为，，，且.（1）求；（2）如图，过外一点作，，，，求四边形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；（2）解法一：连接，设，由条件求得即，求出，，，由计算即可；解法二：延长，交于点，则，求出，，由计算即可.【小问1详解】∵，∴根据正弦定理得，∴，∴，，，，，.【小问2详解】解法一：连接，设，在和中，，即，，，，四边形的面积.解法二：延长，交于点，，，，，，，，四边形的面积.18.已知数列的前项和为，，，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，当时，；当时，.①求数列的前项和；②当时，求证：.【答案】（1）（2）①②证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件赋值法列方程组计算求出,再应用，化简得出进而得出即可；（2）①由得出再应用错位相减法即可求解；②构造数列再根据数列单调性即可证明不等式.【小问1详解】在中，分别令，当时，，两式相减得出，，也满足上式为常数列，【小问2详解】①当时，，当时，时，，，，，两式相减得出②，令，在上单调递增，注意到时，，当时，，且，.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造数列结合数列的单调性得出即可得证.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立.①求实数的取值范围；②当取最大值时，若（，，，为非负实数），求的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）①②【解析】【分析】（1）分三种情况讨论再应用导函数正负判断函数单调性；（2）①把恒成