514用样本估计总体课件高一上学期数学人教B版

人教B版

数学

必修第二册第五章统计与概率5.1.4用样本估计总体课标定位素养阐释1.通过实例体会用样本的数字特征估计总体的数字特征的意义和作用.2.能用样本的分布来估计总体的分布.3.加强逻辑推理和数据处理能力的培养.自主预习新知导学一、用样本的数字特征估计总体的数字特征1.汽车的变速箱是汽车中最重要的部件之一,它的使用寿命将决定整台车的使用寿命,用什么方法可以估测出汽车制造厂生产的变速箱的使用寿命?提示:恰当选取样本,计算样本中变速箱使用寿命的平均数.2.一般情况下,如果样本的容量恰当,抽样方法又合理,样本

的特征能够反映总体的特征.特别地,样本

平均数

(也称为样本均值)、方差

(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大.3.在一次测试中,从参加的200人中使用简单随机抽样的方法抽取了10人的数学成绩:96,67,80,76,83,72,98,80,71,100,由此我们可得到本次测试200人的平均分大约为

.

解析:样本平均分为

答案:82.3二、用样本的分布来估计总体的分布1.某中学高一年级有六个平行班级(每班50人),在2023年4月16号早上随机抽取了三个班,这三个班中感冒的同学分别有5人、3人、7人.试问这天该中学高一年级感冒的人数大约是多少?2.如果样本的容量恰当,抽样方法又合理,样本

的分布与总体分布差不多.特别地,每一组的频率与总体对应的

频率

相差不会太大.3.已知在一个容量为50的样本中,某组的频数为10.若总体容量为600,则落在该组的频数大约为

.

答案:120【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)总体的数字特征可以由样本的数字特征估计.(

)(2)样本的平均数一定大于总体的平均数.(

)(3)样本容量越大,由样本估计总体越准确.(

)(4)样本的频率分布与总体的分布关系不是很密切.(

)√×√×合作探究释疑解惑探究一用样本的数字特征估计总体的数字特征【例1】

现从A厂生产的产品中任取10件,其长度分别为(单位:cm):10.2,10.1,10.9,8.9,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.试估计A厂生产的产品的长度的平均数和方差.因此可估计A厂生产的产品长度的平均数为10,方差为0.228.延伸探究若从B厂任取的10件此类产品的长度分别为(单位:cm):10,10.2,9.8,9.7,10,10.1,9.6,9.9,10.3,10.4.已知此产品的长度要求是10cm,你能判断哪个厂生产的该产品更符合要求吗?反思感悟用样本的数字特征可估计总体的数字特征,且对同一总体样本容量越大,估计得越准确.【变式训练1】

(多选题)某农业科学研究所为对比研究海水稻与普通水稻的根系深度,分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株,测量了它们的根系深度(单位:cm),得到了茎叶图(如图),用样本估计总体,则估计(

)A.海水稻根系深度的中位数是46B.普通水稻根系深度的众数是32C.海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差解析:由题中茎叶图,知抽取的海水稻根系深度的中位数是

=45.5,则可估计海水稻根系深度的中位数为45.5,故选项A错误;抽取的普通水稻根系深度的众数是32,由样本估计总体,知选项B正确;海水稻根系深度的平均数为+(44-45)2+(47-45)2+(49-45)2+(50-45)2+(50-45)2+(51-45)2]=23.2,普通水稻根系深度的方差为

×[(25-35)2+(27-35)2+(32-35)2+(32-35)2+(34-35)2+(36-35)2+(38-35)2+(40-35)2+(41-35)2+(45-35)2]=35.4,由样本估计总体,知选项D错误.答案:BC探究二用样本的分布来估计总体的分布【例2】

从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.已知第二、六、四小矩形的面积依次成2倍关系.(1)求第二、四、六小矩形的高;(2)估计本次高三1500名学生中成绩不及格(60分以下为不及格)的人数.分析:(1)根据所有矩形的面积和为1,先求频率,再求高;(2)由样本的频率分布估计总体的频率分布.解:(1)设第二个小矩形的面积为x,则有x+2x+4x+(0.004+0.02+0.021)×10=1,∴1

500×0.118

6≈178,∴估计有178人不及格.反思感悟1.在频率分布直方图中,小矩形的面积表示频率,所有矩形的面积和为1.2.可以用样本的频率分布估计总体的分布.【变式训练2】

从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下.观察下图,回答下列问题:(1)79.5至89.5这一组的频数、频率分别是多少?(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格).解:(1)频率为0.025×10=0.25,频数为60×0.25=15.(2)(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75,故估计这次环保知识竞赛的及格率为75%.【易错辨析】

因不理解平均数、方差的含义致误【典例】

现有两组数,甲:60,80,70,90,70;乙:80,60,70,80,75.(1)求甲和乙的平均数与方差;(2)若将甲、乙合并为一组,试求合并后的平均数、方差.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题的第(2)问相当于用分层抽样得到的样本,不能由原来的平均数和方差取其平均数得到合并后的平均数和方差.正解:(1)同错解;由两组数据合为一组数据,在求新数据组的平均数和方差时,不能简单地取两者的平均数得到.防范措施【变式训练】

已知数据组甲:-1,0,2,6,-2;乙:-2,3,5.(1)分别求甲、乙两组数据的平均数与方差;(2)将甲、乙合为一组,求新数据组的平均数与方差.随堂练习1.在全市高一学生的一次数学测试中,抽取了一些学生的成绩,其中得100分的有10人,得95分的有10人,得90分的有20人,得85分的有40人,得80分和75分的各10人,则该测试中,估计所有学生数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(

)A.85,85,85 B.87,85,86C.87,85,85 D.87,85,90解析:由题意可得所抽取学生成绩的平均数为87,众数为85,中位数为85.由样本估计总体,可得答案C.答案:C2.(多选题)下列说法正确的有(

)A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定解析:由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之无关,故B不正确,ACD正确.答案:ACD题号一二三四五六答对率80%70%60%50%40%30%则此次调查全体同学的平均分数是

分.

3.某学校想要调查全校同学对获得过诺贝尔物理学奖的华人的了解程度,为此出了一份考卷.该卷共有六道单选题,每题答对得20分,答错、不答得0分,满分120分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下:解析:假设全校一共有x人,则每道题答对人数及总分分别为:题号一二三四五六答对人数0.8x0.7x0.6x0.5x0.4x0.3x每题得分16x14x12x10x8x6x答案:664.某工厂对一批产品进行了抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制的频率分布直方图如图所示,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98],(98,100],(100,102],(102,104],(104,106].已知该厂年产量为5000万件,则估计产品净重不大于100g的有

万件.

解析:由题意知,样本中净重不大于100

g的频率为(0.050+0.100)×2=0.3,故估计产品净重不大于100

g的有5

000×0.3=1

500(万件).答案:15005.为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取