2024-2025学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．（2分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：65．（2分）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，则点C表示的数为（）A． B． C． D．6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，则△CDE的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．77．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．（2分）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM，将线段AB绕点A逆时针方向旋转60°得到线段AC，若AB＝2（）A．2.4 B． C． D．二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）的平方根是．10．（2分）下列各数：，，5.12，0，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）个．11．（2分）等腰三角形的两条边长分别为4和9，那么它的周长为．12．（2分）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为385000千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示千米．13．（2分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上．14．（2分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，AB＝6，BC＝8△ABC＝21，则DE＝．15．（2分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，则图c中的∠CFE的度数是度．16．（2分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三．解答题（本大题共10小题，共68分）17．（6分）解方程：（1）x3+125＝0；（2）3（x+1）2＝27．18．（6分）计算：（1）；（2）．19．（5分）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是，求3a+2b﹣c的平方根．20．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短；（3）求△A1B1C1的面积．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝622．（6分）如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，AF∥BC交DE于点F．求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；（2）∠FAD＝∠E．23．（6分）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向再下降4米，则他应该再收回多少米线？24．（7分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题：；1A2的面积）；；是△OA2A3的面积）；；是△OA3A4的面积）；…（1）推算出＝，S5＝；（2）用含有n（n为正整数）的等式Sn＝；（3）求出的值．25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动（1）BP＝cm（用含t的代数式表示）；（2）当点Q在边BC上运动时．①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？②PQ能否把△ABC的周长平分？若能，求出t的值；若不能（3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是等腰三角形，求满足条件的t的值．26．（10分）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在△ABC中，点D是边AB上任意一点，点M、N分别在线段AC、BC上．将△ABC折叠，使点A落在点E处，点E、F均在射线DC上，折痕分别为DM和DN．设∠CME＝α【问题探究】当点E、F均在线段DC上时，试求α、β与∠ACB之间的数量关系．（不必作答）【问题解决】（1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令∠ADC＝∠BDC＝90°，此时∠A＝°，若点F在线段DC上，当∠B＝65°时°．（2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点E，试证明：α+β＝180°﹣2∠ACB．【迁移应用】（3）在背景呈现的条件下，解答下列问题：①如图③，当点E、F均在线段DC的延长线上时，试求α、β与∠ACB之间的数量关系；②若∠ADC＝∠BDC＝90°，点E，F在射线DC上，当a＝β时，∠ACB＝．

2024-2025学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：B．2．（2分）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：因为＝＝2不是最简二次根式．故选：B．3．（2分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，原选项运算错误；B、与不可以进行合并；C、，原选项运算错误；D、，原选项运算正确；故选：D．4．（2分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：2，则∠C＝90°；C、由a2＝c2﹣b5，得a2+b2＝c3，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+22≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．5．（2分）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，则点C表示的数为（）A． B． C． D．【解答】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得：，∴点C表示的数为，故选：B．6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，则△CDE的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BD＝，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝2.3，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝2+2.3+2.5＝6．故选：D．7．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝35°，∵∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠BAC＝55°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，故选：A．8．（2分）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM，将线段AB绕点A逆时针方向旋转60°得到线段AC，若AB＝2（）A．2.4 B． C． D．【解答】解：连接BC，取AB的中点H、OH，∵将线段AB绕点A逆时针方向旋转60°得到线段AC，AB＝2，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°AB＝1，∴△ABC是等边三角形，∴CH⊥AB，∴∠AHC＝90°，∴CH＝＝＝，∵∠MON＝90°，点A，ON上运动，∴∠AOB＝90°，∴OH＝AB＝2，∵OC≤CH+OH，∴OC≤+1，∴OC的最大值为+1，∴点C到点O的最大距离为+5，故选：C．二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）的平方根是±3．【解答】解：∵＝9，∴的平方根是±3．故答案为±2．10．（2分）下列各数：，，5.12，0，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）4个．【解答】解：在实数，，5.12，0，，，无理数有，，，共4个．故答案为：6．11．（2分）等腰三角形的两条边长分别为4和9，那么它的周长为22．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+2＜9，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为7、9、9，周长＝4+9+9＝22．综上所述，它的周长为22．故答案为：22．12．（2分）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为385000千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示3.9×105千米．【解答】解：将385000千米用科学记数法精确到万位表示，应记为3.9×106．故答案为：3.9×108．13．（2分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上5．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，∴，由折叠的性质可知，C′D＝CD＝BD＝5，∴∠BDC′＝180°﹣∠C′DA﹣∠ADC＝60°，∴△BDC′是等边三角形，∴BC′＝BD＝5，故答案为：6．14．（2分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，AB＝6，BC＝8△ABC＝21，则DE＝3．【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝6，BC＝8，∴S△ABC＝AB•DE+×4DE+，即5DE+4DE＝21，解得DE＝3．故答案为：7．15．（2分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，则图c中的∠CFE的度数是120度．【解答】解：根据图示可知∠CFE＝180°﹣3×20°＝120°．故答案为：120．16．（2分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．【解答】解：（i）当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，当B′C＝B′D时，AG＝DH＝，由AE＝7，AB＝16．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝2，∴B′G＝＝＝12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′＝＝＝8（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C．（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，得EB＝EB′、C在BB′的垂直平分线上，由折叠，∴点F与点C重合，C重合的一个动点”不符，应舍去．综上所述，DB′的长为16或4．故答案为：16或4．三．解答题（本大题共10小题，共68分）17．（6分）解方程：（1）x3+125＝0；（2）3（x+1）2＝27．【解答】解：（1）x3+125＝0，x3＝﹣125，x＝﹣5；（2）3（x+2）2＝27，（x+1）6＝9，x+1＝±3，x+1＝3或x+3＝﹣3，x＝2或x＝﹣5．18．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣8﹣5＝﹣2﹣；（2）原式＝2+﹣＝2．19．（5分）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是，求3a+2b﹣c的平方根．【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是2，3a+b﹣9的立方根是5，∴，由①得：2a＝10，a＝5，把a＝2代入②得：15+b﹣9＝8，5+b＝8，b＝2，∵，∴的整数部分c＝3，∴3a+2b﹣c＝3×7+2×2﹣5＝15+4﹣3＝16，∴4a+2b﹣c的平方根是±4．20．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短；（3）求△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）△A1B1C7的面积为2×4﹣×1×4﹣×1×7＝．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∴∠F＝∠BDE，∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠BDE＝30°，∵BD＝4，∴，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BE+EC＝8，22．（6分）如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，AF∥BC交DE于点F．求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；（2）∠FAD＝∠E．【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，∴CB＝CA，∴∠CBA＝∠CAB，∵AF∥BC交DE于点F，∴∠BAF＝∠CBA，∴∠BAF＝∠CAB．即  AB是∠CAF的角平分线．（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∴∠E＝∠FAD．23．（6分）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向再下降4米，则他应该再收回多少米线？【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD6＝202﹣122＝256，所以，CD＝16（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝16+8.5＝17.5（米），答：风筝的高度CE为17.4米；（2）如图所示：在DC上取一点M，使CM＝4米，由题意得，CM＝4米，∴DM＝12米，在Rt△MDB中，∴BM＝＝＝12，∴BC﹣BM＝（20﹣12）米，∴他应该再收回（20﹣12）米．24．（7分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题：；1A2的面积）；；是△OA2A3的面积）；；是△OA3A4的面积）；…（1）推算出＝6，S5＝；（2）用含有n（n为正整数）的等式Sn＝；（3）求出的值．【解答】解：（1）∵；是△OA1A2的面积），；是△OA2A3的面积），；是△OA3A2的面积），…，∴（Sn﹣1是△OAnAn+4 的面积），∴，故答案为：6，；（2）∵；是△OA1A2的面积），；是△OA2A7的面积），；是△OA3A2的面积），…，∴，故答案为：；（3）由（1）可知：，...，，∴的＝...+＝+...+＝+...+＝...+＝﹣...＝＝2×（﹣8+10）＝2×9＝18．25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动（1）BP＝（16﹣t）cm（用含t的代数式表示）；（2）当点Q在边BC上运动时．①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？②PQ能否把△ABC的周长平分？若能，求出t的值；若不能（3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是等腰三角形，求满足条件的t的值．【解答】解：（1）根据题意可知：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）；（2）①当点Q在边BC上运动，BQ＝2tcm，当△PQB为等腰三角形时，即BQ＝BP，∴3t＝16﹣t，∴t＝，∴出发秒后；②当Q在BC上，则5≤t≤6，根据题意可知：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝（16﹣t）cm，CQ＝（12﹣3t）cm，∵PO把△ABC的周长平分，∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20，∴t＝3舍去（不符合t取值范围），∴点Q在边BC上运动时，PQ不能把△ABC的周长平分；（3）①当CQ＝BQ时，如图2.1，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∵∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷7＝11秒；②当CQ＝BC时，如图2.2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷4＝12秒；③当BC＝BQ时，如图2.3所示，过B点作BE⊥AC于点E，∴BE＝＝＝，∴CE＝＝＝，∴CQ＝3CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.3÷2＝13.2秒，综上所述：当t为11秒或12秒或13.4秒时，△BCQ为等腰三角形．26．（10分）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在△ABC中，点D是边AB上任意一点，点M、N分别在线段AC、BC上．将△ABC折叠，使点A落在点E处，点E、F均在射线DC上，折痕分别为DM和DN．设∠CME＝α【问题探究】当点E、F均在线段DC上时，试求α、β与∠ACB之间的数量关系．（不必作答）【问题解决】（1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令∠ADC＝∠BDC＝90°，此时∠A＝45