《工程力学 》课件第16章

第16章动能定理16.1功

16.2动能16.3动能定理

16.4功率和效率

思考题

习题

16.1功

的概念

16.1.1常力的功设有一大小和方向都不变的常力F作用于质点上，使其沿直线由M1运动到M2，如图16-1所示。若力与位移方向夹角为α，力的作用点移动的距离为s，则定义常力在这一段路程上所做的功为此力在运动方向的投影与该力作用点移动的路程的乘积，

用W表示，

即

（16-1）由上式可见，力的功无方向意义，是代数量。当α<90°时，功为正值，质点的运动效果增强；当α>90°时，功为负值，质点的运动效果减弱；当α=90°时，力与质点的位移方向垂直，力不做功。在国际单位制中，功的单位是牛·米（N·m），也称焦［耳］（J），即1J=1N·m。图16-116.1.2变力的功所谓变力,就是作用于质点上的力的大小和方向均随作用点位置的移动而变化的力。设质点M在变力F作用下沿曲线运动，如图16-2所示。在曲线上取一微小弧段ds，在微小弧段上的力F可视为常力，同时微小弧段ds也可视为直线段，力F在ds上所做的功称为元功，

即

式中，α是力F与曲线上点M处切线方向的夹角，Fτ是力F在切线方向的投影。这样，当质点M从M1运动到M2时，力F所做的总功为（16-2）

图16-2即变力在某一曲线路程上所做的功，等于这个力的切向分量沿这段曲线路程的积分。式（16-2）可用直角坐标系的解析式来表达，

即

（16-3）

16.1.3几种常见力的功

1.重力的功重为G的质点，沿任意轨迹曲线由M1点运动到M2点（图16-3），重力G在其路程上所做的功为（16-4）

式中h=z1-z2，即为质点在运动过程中重心位置的高度差。上式表明，重力所做的功等于质点的重量与其重心始末位置高度差的乘积，而与质点运动的路径无关。若质点下降，重力做正功；

若质点上升，

重力做负功。

图16-3

2.弹性力的功设弹簧一端固定，另一端与质点M相连，弹簧原长为l0，如图16-4所示。取弹簧原长位置O为坐标原点，弹簧中心线为轴x，其正方向指向弹簧伸长方向。弹簧的刚度系数为k（其单位是N/m），在弹性极限范围内，弹性力与弹簧的变形成正比，即

F=-kx式中负号说明弹性力F的方向与变形的方向相反。当质点M有一微小位移dx时，弹性力的元功为

因此，质点M由M1点运动到M2点的过程中，弹性力所做的功为

（16-5）

式中δ1和δ2分别为弹簧在位置M1和M2的变形量。上式表明，弹性力的功等于弹簧的刚度系数与其始末位置变形的平方之差乘积的一半，与质点运动所经过的路径无关。当初变形δ1大于末变形δ2时，

弹性力的功为正;反之为负。

图16-4

3.定轴转动刚体上作用力的功设有一力F

作用于绕轴Oz转动的刚体的点M上，如图16-5所示。现将力F分解为Fτ、Fr、Fz，可见轴向力Fz和径向力Fr不做功，只有切向力Fτ做功。设力F的作用点到转轴的距离为r，当刚体转过微转角dφ时，力F的作用点走过的微弧长ds=rdφ，力F的元功为由力对轴之矩知Fτr=Mz，当刚体从转角φ1到φ2时，力F所做的功为（16-6）

若力矩Mz为常量，则

（16-7）

上式表明，作用于定轴转动刚体上常力矩的功，等于力矩与转角大小的乘积。当力矩与转角转向一致时，功取正值；反之取负值。

图16-5

4.合力的功设质点M受n个力F1，F2，…，Fn作用，其合力为FR。质点M沿曲线从点M1运动到点M2，由合力投影定理，各力在自然轴系的轴Mτ上的投影有将上式两端同乘以路程微段ds，再进行积分可得

即

例16-1

原长为，刚度系数为k的弹簧，与长为l，质量为m的均质体OA连接，直立于铅垂面内，如图16-6所示。当OA杆受到常力矩M作用，求杆由铅直位置绕轴O转到水平位置时，各力所做的功及合力的功。

解

杆受重力、弹性力及力矩作用，各力所做的功分别为

图16-6解杆受重力、

弹性力及力矩作用，

各力所做的功分别为

合力的功为

例16-2

带轮两侧的拉力分别为FT1=1.6kN和FT2=0.8kN，如图16-7所示。已知带轮的直径D=0.5m，试求带轮两侧的拉力在轮子转过两圈所做的功。解：作用于带轮上的转矩为

当带轮转过两圈时，其转角为

因此带轮两侧的拉力所做的功为

图16-716.2动

能

16.2.1质点的动能设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的一半，称为质点在该瞬时的动能，以T表示，即

（16-8）

动能是标量，恒为正值，且与质点运动的方向无关。在国际单位制中，其单位与功的单位相同，

也为焦［耳］（J）。

16.2.2质点系的动能质点系内各质点的动能的总和称为质点系的动能。设质点系中任意一质点的质量为mi，某瞬时速度为vi，则质点系的动能为（16-9）

16.2.3刚体的动能

1.平动刚体的动能刚体在平动时，同一瞬时各点的速度相同并等于质心速度vC，故平动刚体的动能为（16-10）

式中，M=∑mi,是刚体的质量。上式表明，刚体平动的动能等于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半。图16-8

2.定轴转动刚体的动能

设刚体绕固定轴z转动，某瞬时角速度为ω，如图16-8所示。刚体内任一质点的质量为mi，离z轴的距离为ri，速度为vi=riω，则刚体的动能为（16-11）

式中，Jz=∑miri2,是刚体对转轴z的转动惯量。上式表明，定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。16.3动能定理

16.3.1质点的动能定理设一质量为m的质点M，在力F的作用下沿曲线由点M1运动到点M2，它的速度由v1变为v2（图16-9）。质点沿切线方向的微分方程为在上式两边分别乘以路程的微段ds，得

图16-9因Fτds为力F在ds上的元功，所以上式可写成

（16-12）

这就是质点动能的微分形式。它表明质点动能的微分等于作用在质点上力的元功。将式（16-12）沿路径M1M2积分，

得

（16-13）

16.3.2质点系的动能定理质点动能定理可以推广到质点系，设质点系由n个质点组成，任取质点系中一个质点，其质量为mi，速度为vi，应用质点动能定理，有式中，W(e)i和W(i)i分别表示作用在所取质点上所有外力和内力的功，因为对于质点来说，作用在每个质点上的力有外力和内力之分。对质点系中每个质点都写出上式并相加，得由式（16-9）知，上式等号左边两项分别为质点系在某一段路程中末了和起始位置的动能E2和E1，于是上式又可写为

（16-14）

上式表明，质点系在某一段路程上起始位置和末了位置的动能的改变量，等于作用于质点系上的全部力在同一路程上所做的功。

必须注意，一般情况下，质点系内各质点之间的距离是可变的，故内力所做的功的总和不一定等于零。例如,内燃机中燃气膨胀对活塞的推力是内力，该内力做正功，使汽车的动能增加；机器中轴与轴承之间的相互摩擦力也是内力，但其所做的功是负功。

但是，对于刚体来说，刚体内任意两质点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所做的功总和等于零，即

（16-15）

另外，在工程上的许多约束，如光滑接触面、光滑圆柱铰链、链杆、不可伸长的绳索等约束，它们的约束力均不做功。约束力做功为零的约束称为理想约束。所以，在理想约束条件下应用动能定理时，

只需计算作用在刚体上的主动力所做的功。

图16-10例16-3平台的质量m=30kg，固连在刚度系数k=18kN/m的弹簧上。现从静平衡位置给平台向下的初速度v=5m/s，如图16-10(a)所示。设平台作平动，求平台由此位置下沉的最大距离δ以及弹簧的最大受力。

解弹簧由静平衡位置（图16-10(b)）运动到最大下沉位置（图16-10(c)），其初动能为 ，末动能为E2=0。弹簧的初变形为静变形δ1=mg/k，末变形δ2=δ1+δ。作用在平台上的力有重力W和弹性力F，平台由静平衡位置运动到最大下沉位置,两力所做的功为由动能定理，

有

所以

弹簧的最大变形为δmax=δ2=δ1+δ，其最大受力为

例16-4如图16-11所示，绞车的鼓轮可视为均质圆柱体，已知其质量为m1，半径为r1，绕中心O轴转动。绳索的一端卷绕在鼓轮上，另一端系有一质量为m2的重物。鼓轮在不变力偶矩M的作用下，通过绳索牵引重物沿倾角为θ的光滑斜面上升。设开始时物体系统静止，不计各处摩擦，试求当鼓轮转过转角φ后的角速度ω和角加速度α。

解当鼓轮从静止开始转过转角φ时，角速度为ω；重物沿斜面移动距离s=rφ，速度为v=rω。该物体系统的初动能为图16-11末动能为

系统的约束均为理想约束，其约束力均不做功；系统主动力有主动力偶矩和重物的重力，它们所做的功总和为

由质点系动能定理即式（16-16），有

（a）

由此式解得

欲求角加速度α，将式（a）中的ω和φ视为时间t的函数，并两端对t求一阶导数，得于是，

解得

16.4功

率

和

效

率

16.4.1功率在工程中不仅要计算力的功，而且要知道在一定时间内力所做功的多少。力在单位时间内做的功称为功率。它是衡量机器工作能力的一个重要指标，功率越大，说明它在给定时间内能做的功越多。设作用于质点上的力F在时间dt内所做的元功为δW，则此力的功率为由于力的元功

因此

（16-16）

式中，v是力F作用点的速度。由此可见，作用于质点上的力的功率等于力在速度方向上的投影与速度的乘积。对于作定轴转动的刚体，功是用力矩或力偶矩计算的，其功率可表示为（16-17）

上式表明，转矩的功率等于转矩与物体转动角速度的乘积。在国际单位制中，功的单位是焦［耳］（J），功率的单位定义为瓦［特］（W），即

1J/s=1W若转速用n(r/min)表示，功率用P(kW)表示，力对转轴的矩用M(N·m)表示，则式（16-18）可改写为或

（16-18a）

（16-18b）

16.4.2机械效率任何一部机器都要从外界输入能量。工作时，从外界输入的一定功率称为输入功率P0。输入功率用于能量转化而消耗的一部分，称为有用功率P1；而另一部分用于克服机器在传动中的摩擦等阻力，称为无用功率P2。机器在稳定运转时，它们之间必然存在工程中为了比较输入功率被利用的程度，常用机械效率来进行度量。机械效率就是机器的有用功率与输入功率的比值，用η表示，

即

（16-19）

例16-5

一起重机，其最大起吊重量F1=180kN，悬挂部分重量F2=4kN，提升速度为v=20cm/s，起重机采用一般圆柱齿轮传动，机械效率η=92%。试确定电机的功率。

解由式（16-15）得起重机的有用功率为

由式（16-20）得电机的输入功率为

例16-6单级齿轮减速器如图16-12所示。已知电动机的功率P=7.5kW，输入轴Ⅰ的转速n1=1450r/min，齿轮的齿数z1=20，z2=50，减速器的机械效率η=0.9。试求输出轴Ⅱ所传递的转矩与功率。

解减速器的传动比为则输出轴Ⅱ的转速为

由式（16-19）得减速器的有用功率，即输出轴Ⅱ所传递的功率为

由式（16-19）得减速器的有用功率，

即输出轴Ⅱ所传递的功率为

图16-12思

考

题

16-1如图所示，在同一高度，以不同仰角抛出初速度均为v0、质量都相等的质点。不计空气阻力，当它们落到同一水平面时，其速度的大小是否相等？思考题16-1

16-2如图所示的同一根细长杆，绕端点A以角速度ω转动时（图(a)）与绕中点C以角速度2ω反向转动时（图(b)），问两者动能是否相同？

16-3重物由A点自斜面下滑到B点，或由A点自弧面下滑到B点，如图所示。当不考虑摩擦时，到达B点时两者速度大小是否相等？当考虑摩擦时，两者速度大小是否相等？思考题16-2图

思考题16-3图

16-4“质量大的物体一定比质量小的物体的动能大”和“速度大的物体一定比速度小的物体的动能大”这两种说法是否正确？为什么？

16-5机器运转时，凡摩擦力的功是否一定是无用功？研磨机工作时，作用在工件上的摩擦力的功是否为无用功？

16-6汽车上坡时，为什么常挂低速挡？在减速器中，为什么高速轴的直径一般比低速轴的直径小？

16-7应用动能定理求速度时，能否确定速度的方向？

16-8弹簧由其自然位置拉长10mm或缩短10mm，弹性力的功是否相等？将弹簧拉长10mm然后再拉长10mm，即这两个过程中的位移相等，问这两个过程中弹性力的功是否相等？

习

题

16-1如图所示，手摇起重装置的手柄长度为360mm，工人在手柄端施加作用力F=15kN，而使起重机作匀速转动，其转速n=4r/min。试求工人在10min内所做的功。题16-1图

16-2子弹打入木板的时候，如速度为150m/s，可进入3cm深。经改进，同样质量的子弹打入了27cm深，问此时子弹的速度是多少？假定木板的阻力是常量。

16-3如图所示，一个与弹簧相连的滑块M可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和弹簧都在同一铅直平面内。已知滑块的重量G=100N，弹簧原长l=150mm，弹簧的刚度系数k=400N/m。试求滑块M从位置A运动到位置B的过程中，其上各力所做的功及合力的功。题16-3图

16-4计算图所示各均质物体的动能：

(1)重为G、长为l的均质直杆以角速度ω绕轴O转动；(2)重为G、半径为r的均质圆盘以角速度ω绕轴O转动，偏心距为e；

(3)重为G、半径为r的均质圆轮在直线轨道上作纯滚动，质心C的速度为v。

16-5如题所示，汽车质量为1500kg，通过A至B为900m的路程，运行阻力为280N，阻力方向与速度方向相反，B点比A点高h=20m。求汽车克服重量和阻力所做的功。题16-4图

题16-5图

16-6斜面与水平面成30°角，重物沿斜面下滑，其初速度为零。若滑动摩擦系数f′=0.1，试求重物滑行2m后的速度。

16-7图示鼓轮质量m=150kg，半径r=0.34m，惯性半径ρ=0.3m，以角速度ω=31.4rad/s转动，制动时制动块与轮缘的摩擦系数f′=0.2。求作用于制动块上的压力FN应为多大才能使鼓轮经10转后停止。题16-7图

16-8带式输送机如图所示，物体A的重量为W1，带轮B和C的重量为W2，半径为R，视为均质圆盘。轮B由电机驱动，其上受不变转矩M作用。系统由静止开始运动，不计传送带的质量，求重物A沿斜面上升距离为s时的速度和加速度。

16-9如图所示的矿井提升设备，两个鼓轮固连在一起，总质量为m，对转轴O的惯性半径为ρ。在半径为r1的鼓轮上用钢绳悬挂质量为m1的平衡锤A，而在半径为r2的鼓轮上用钢绳牵引小车B沿斜面运动，小车的质量为m2，斜面与水平面的倾角为α。已知在鼓轮上作用有不变转矩M，试求小车向上运动的加速度。钢绳的质量和所有的摩擦均忽略不计。题