福建省福州市福九联盟2025届高三上学期期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建省福州市福九联盟2025届高三上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−2,−1,0,1,2，B={x|12<A.−1,0,1 B.0,1,2

C.1,2,3 D.−1,0,1,22.设m，n∈R，则“m3>n3”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.若复数z满足i(z−i)=2+i，则|z|=(

)A.2 B.2 C.5 4.若直线y=ax与曲线y=e2x相切，则A.2 B.e C.2e D.e5.已知α，β均为锐角，若sinα+β=13，A.tanαtanβ=17 B.tanαtanβ=76.已知x，y均为正实数，若x+y=1，则2x−y+2xy的最小值为A.4 B.9 C.12 D.147.已知平面向量a，b，c，若a=b=a−bA.32 B.1 C.38.已知函数fx=x2−aeA.(0,e) B.(0,e−1) C.(4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10=9A.a1=1 B.{an}是递增数列

C.当n=4时，Sn取得最小值 D.10.已知函数f(x)=sin2x+acos2x满足f(x)≤f(A.a=1

B.点(−9π8,0)是曲线y=f(x)的对称中心

C.f(x)在区间(π8,3π4)11.已知函数f(x)的定义域为R，满足fx+y=fxf1−yA.f(0)=0 B.f(x)=f(2−x) C.f(x)是偶函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}为等比数列，若a1=1，a2=−1213.已知函数fx=x−a3lnx+bx14.在平面四边形ABCD中，若AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，则AC的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程；(2)已知点M0,13，直线l过F且与C交于A，B两点，若|MA|=|MB|，求16.(本小题15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b−2cos(1)求c；(2)若BA⋅BC=2CA17.(本小题15分)如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在底面ABC的射影为O，AB⊥AC，A1A=(1)证明：OE //平面AA(2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为105，求三棱柱ABC−18.(本小题17分)已知函数fx=ae(1)当a=0时，求函数F(x)=f(x)+x的最小值；(2)若f(x)≥0，求a；(3)证明：f(x)+|x−a|≥0．19.(本小题17分)若有穷数列An:a1,a2,⋯,a(1)已知A4是E1数列，写出(2)已知An是E2数列，对任意给定的n，将a(i)证明：当n≥3时，{c(ii)求{cm}参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.ABD

11.ABD

12.633213.−1

14.2+15.解：(1)右焦点为F1,0，离心率为由椭圆的性质知，焦距2c=2，因此c=1；离心率公式为e=ca=再根据椭圆的定义b2=a2−c2因此，椭圆C的方程为x2(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，①当斜率为0时，过F1,0的直线l的方程为y=0，此时MA②当斜率不为0时，设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x联立x22+y2所以x1+x设线段AB的中点为N(x则x0y0因为|MA|=|MB|，而kMN所以MN⊥AB，所以kMN即−2k2−3k−16k=−1所以直线l的方程为x−y−1=0或x+y−1=0．综上所述，直线l的方程为y=0或x−y−1=0或x−2y−1=0

16.(1)由b−2cosAa由正弦定理可得：csin所以csin因为B∈(0,π)，所以sinB≠0所以c=2．(2)由BA⋅BC=2所以ccosB=2bcos所以3sin由正弦定理可得：3ccosB=2a，又因为所以3cos所以▵ABC面积为：S=1当sin2B=1即B=所以▵ABC面积的最大值为32

17.(1)证明：连接BO并延长交AC于D，连接OA,DA1，由题意OA1⊥平面ABC，AO,BO⊂所以A1又A1A=A1B=4，所以▵A1又AB⊥AC，即∠BAC=90∘，所以∠OAB+∠OAD=90所以∠ODA=∠OAD，所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E是A1B的中点，所以又OE⊄平面AA1C1C所以OE//平面AA(2)过点A作Az//OA1，如图建立空间直角坐标系A−xyz，OB=OA=设AB=2a,AD=2b，则有a2Oa,b,0则AE=设平面AEC的法向量为n=则n⋅AE=3a2所以cos< n,AB>=所以三棱柱ABC−A1B

18.解：(1)当a=0时，fx=−lnx−1，F′x=−1x+1=x−1x，当0<x<1所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞所以Fx(2)若fx≥0，则ae设mx=ln所以m′x令nx=1x−所以nx在x∈(0所以当0<x<1时，nx>0，即m′x>0，当x>1时，所以mx在(0,1)上单调递增，在(1所以mxmax=m1=即lna≥由(1)知，a−1≥lna，即a−1=ln(3)证明：①当a=0时，由(1)可得fx②当a>0时，当x≥a时，fx由(1)知，x≥lnx+1，则当x<a时，fx由(1)知，x≥lnx+1，即ex则fx综上所述，fx

19.解：(1)ak+1−ak=1故a4因为ek=−1或ek(2)(i)|ak+1−所以an不妨设aMi,假设aMi=1+不妨设biM−1=bjM−1，bi所以aM不妨设bia=−即am=1+b即数列c