2024-2025学年湖北省荆荆襄宜四地七校联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省荆荆襄宜四地七校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=(1+i)2的共轭复数z−A.−2i B.2i C.−2 D.22.如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，△A′B′C′的面积为a2，那么△ABC的面积为(

)A.24a2

B.223.在△ABC中，设AB=a，AC=b，若D是线段BC中点，AE=2A.−13a−13b B.4.如图，三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是A.19 B.127 C.5275.已知点O(0,0)，若曲线C上存在两点A，B，使△OAB为正三角形，则称C为Γ型曲线.给定下列三条曲线：①y=−x+5；②y=2−x2；③y=−1xA.0 B.1 C.2 D.36.若圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的余弦值为12，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为(

)A.43 B.2 C.136 7.小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名(每位同学测试的成绩两两不同)，且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为(

)A.36 B.41 C.46 D.518.正四面体Q−ABC中，QA=a，点M满足QM=xQA+yQB+(2−x−y)QCA.465a B.66二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题为真命题的是(

)A.若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂β B.若l⊥m，l⊥α，则m//α或m⊂α

C.若l//α，m//α，则l//m D.若l⊥β，m⊥α，则α⊥β10.有以下说法，其中错误的是(

)A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C.事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大

D.事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小11.某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2，则此四面体的体积可能是(

)A.14 B.12 C.1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z满足|z−3+4i|=1，则|z|max=13.如图，在梯形ABCD中，∠B=45°，AB=32，BC=6，且AD=16BC，若M，N是线段BC上的动点，且14.已知圆C：x2+y2−4x−2my+4=0和直线C1：y=x+2，折线C2：y=|x−2|+2，若C与C1恰有一个公共点，则实数m=______；若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在三角形ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知asinB=bcos(A−π6)．

(1)求角A的大小；

(2)若c=2b，三角形ABC的面积为216.(本小题15分)

在如图所示的四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是梯形，且AD//BC，SA⊥面ABCD，AB⊥BC，Q为SD的中点．

(1)若QA=QC，证明：CD⊥平面SAC；

(2)已知AD=8，BC=4，AB=2，斜线SB和平面ABCD所成角的正切值为2，求平面ACQ和平面SCD的夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(−23,0)和F2(23,0)，短轴长为4．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆上、下顶点分别为P1、P2，过点Q(0,1)的直线l18.(本小题17分)

某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2：1.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据(单位：cm).已知男生样本的身高平均数为169，标准差为39.下表是抽取的女生样本的数据：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i个女生的身高为xi(i=1,2,3,…,10)，样本平均数x−=160，标准差s=15．

(1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在[160,165]范围内的人数；

(2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数μ和方差σ2，求μ+σ2的值；

(3)若女生样本数据在(x−−2s,x−19.(本小题17分)

球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为R的球O过球面上一点A作两条大圆的弧AB，AC，它们构成的图形叫做球面角，记作∡BAC(或∡A)，其值为二面角B−AO−C的大小，其中点A称为球面角的顶点，大圆弧AB，AC称为球面角的边.不在同一大圆上的三点A，B，C，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧AB，BC，CA，这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC，这三条劣弧称为球面△ABC的边，A，B，C三点称为球面△ABC的顶点；三个球面角∡A，∡B，∡C称为球面△ABC的三个内角．

已知球心为O的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A，B，C．

(1)球面△ABC的三条边相等(称为等边球面三角形)，若∡A=π2，请直接写出球面△ABC的内角和(无需证明)；

(2)与二面角类比，我们称从点P出发的三条射线PM，PN，PQ组成的图形为三面角，记为P−MNQ.其中点P称为三面角的顶点，PM，PN，PQ称为它的棱，∠MPN，∠NPQ，∠QPM称为它的面角.若三面角O−ABC的三个面角的余弦值分别为33,33,13．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.A

8.C

9.AB

10.ACD

11.ABC

12.6

13.[3514.−4±42

15.解：(1)由正弦定理asinA=bsinB得asinB=bsinA，所以bsinA=bcos(A−π6)，

所以sinA=cos(A−π6)=32cosA+12sinA，整理得sinA=3cosA，

因为A∈(0,π)，所以sinA>0，因此cosA>0，所以tanA=sinAcosA=3，

所以A=π3；

(2)由△ABC的面积为16.(1)证明：因为SA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，

可知SA⊥AD，SA⊥CD，

在Rt△SAD中，Q为SD的中点，则QA=QD=SQ=12SD，

因为QA=QC，所以QC=QD=SQ，所以∠SCD=90°，即SC⊥CD，

又因为SA∩SC=S，SA，SC⊂平面ACS，

所以CD⊥平面ACS；

(2)解：由题意可知：SA⊥平面ABCD，

所以AB是斜线SB在平面ABCD上的射影，

即∠SBA为SB和平面ABCD所成的角，

在Rt△SAB中，tan∠SBA=SAAB=2，所以SA=4，

又因为AB⊥AD，故AB，AD，AS两两垂直，

以A为坐标原点，以AB，AD，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,8,0)，S(0,0,4)，Q(0,4,2)，

可得AQ=(0,4,2),AC=(2,4,0),SD=(0,8,−4),CD=(−2,4,0)，

设平面ACQ的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则由n1⊥AQ，n1⊥AC，可得n1⋅AQ=0n1⋅AC=0，即4y1+217.解：(1)由题，c=23,2b=4,b=2，

则a2=b2+c2=16，

所以椭圆E的标准方程为x216+y24=1；

(2)证明：因为直线l1过点Q(0,1)，且与椭圆的交点不与P1，P2重合，

可知直线l1的斜率存在，且直线l1与椭圆必相交，

可设直线l1：y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程y=kx+1x216+y24=1，化简得(16k2+4)x2+32kx−48=0，

所以18.解：(1)∵在女生样本中，身高在[160,165]的频率410=25，

∴艺术团女生总体身高在[160,165]范围内的人数估计为150×13×25=20人．

(2)由题意知：男生样本的身高平均数为169，方差为39，

女生样本的身高平均数为160，方差15，

则总样本的平均数为20×169+10×16030=166，

方差为23×[39+(166−169)2]+13×[15+(160−166)2]=32+17=49，

∴μ=166，σ2=49．

(3)因x−=160，19.解：(1)由∡A=π2可知B，C在两个互相垂直(即交点处切线垂直)的大圆上，

从而BC≤π2，所以AB=AC≤π2，

设∠AOB=∠AOC=α∈(0,π2],AB=AC=α,

所以|AB|=|AC|=2sinα2，因为到B，C到直线AO的距离均为sinα，所以|BC|=2sinα，

所以由BC=AB知|BC|=|AB|，所以2sinα=2sinα2，即2cosα2=1，

解得α=π2，

所以∠AOB=∠AOC=π2，又B，C在两个互相垂直的大圆上，

所以∠BOC=π2，

所以OA，OB，OC两两垂直，

由OB，OC⊂平面OBC，且OB∩OC=O，可知OA⊥平面OBC，

而OA在平面OCA和平面OAB内，

所以平面OCA⊥平面OBC，同理平面OAB⊥平面OBC，

平面OAB⊥平面OCA，

所以三个平面OAB，OBC，OCA两两垂直，

故由球面角的定义知∡A=∡B=∡C=π2，

所以球面△ABC的内角和是3π2．

(2)①由已知条件，可设cos∠AOB=33,cos∠BOC=33,cos∠COA=13，

如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则O(0