数字信号处理-Lecture-8

数字信号处理

第八讲中国地质大学(北京)地球物理与信息技术学院电子信息工程教研室制作1本讲主要内容：幂级数展开法

z

变换的性质2幂级数展开法由序列x(n)的Z变换定义知，X(z)实际上为z-1

的幂级数，即级数的系数就是序列x(n)。3例题3-11用幂级数展开法求下式的Z反变换。解：将X(z)看成是分母为1的有理函数，且有一个极点z=0，显然它在z

0的平面内收敛，将其展开为多项式形式

4例题3-11可以看出x(

2)=1，x(

1)=

1，x(0)=

1/9，x(1)=1/9，故所求的Z反变换为5例题3-13求下式的Z反变换x(n)。解:这是一个超越函数，首先考虑对log(1+x)的幂级数展开，当|x|<1时，有6例题3-13因为|z|>|c|，在形式上取x=cz

-1，则有故7##3.3Z

变换性质

Section3.2

ZTransformProperties在研究离散时间信号与系统时，Z变换的许多性质非常有用，本节将讨论最常用的几个性质。本节作一总的假设，设序列x(n)的Z变换为X(z)，收敛域ROC:Rx

<|z|<Rx+。线性性时移性线性性线性性线性性线性性线性性线性性线性性时移性时移性时移性时移性时移性时移性时移性指数序列相乘性指数序列相乘性指数序列相乘性指数序列相乘性指数序列相乘性指数序列相乘性指数序列相乘性指数序列相乘性················································83.3.1线性性

线性性就是指满足均匀性和可加性，若那么

(3-34)其中a、b为任意常数。

93.3.1线性性相加以后Z变换收敛域一般为两个相加序列收敛域的公共部分，即

R

=max(Rx

，Ry

)R+=min(Rx+，Ry+)若零点与极点互相抵消，收敛域可能扩大。103.3.2时移性根据序列的移位，有左移(超前)及右移(延迟)两种情况。若那么(3-35)

式中n0为任意整数，n0为正，则为延迟，n0为负，则为超前。113.3.3指数序列相乘性如果那么序列x(n)乘以指数序列aⁿ（a是常实数或常复数）后，就有

(3-36)12例题3-15利用指数序列相乘性来求

x(n)＝rⁿcos(

0n)u(n)(r>0)

的Z变换。解:查表知：，又利用欧拉公式得

13例题3-15然后将其与u(n)相乘，并利用指数序列相乘性，得143.3.4X(z)的微分若那么

(3-37)

15例题3-16求x(n)=naⁿu(n)的Z变换。解：因为所以163.3.5复序列的共轭一个复序列x(n)的共轭序列为x*(n)，那么

(3-38)

173.3.6复序列的翻褶若，那么

(3-39)183.3.7序列的卷积设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：，且

(3-40)

19例题3-17求序列x(n)=aⁿu(n)与h(n)=u(n)的卷积和(|a|<1)。解：x(n)与h(n)的Z变换分别为20例题3-17所以21例题3-17Y(z)的零极点如图3-16所示收敛域就是两者的重叠部分。Y(z)的Z反变换y(n)为因而有22例题3-18求x(n)=aⁿu(n)和h(n)＝bⁿu(n)

abⁿ-1u(n

1)的卷积和(|a|>|b|)。

解：x(n)和h(n)的Z变换分别为23例题3-18所以其Z反变换为：

y(n)＝x(n)*h(n)＝Z

1[Y(z)]＝bⁿu(n)在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，|b|<|a|，Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图3-17所示。24例题3-18图3-17[aⁿu(n)]

[bⁿu(n)

abⁿ-1(n1)]的Z变换收敛域，|b|<|a|故收敛域扩大了253.3.8序列相乘若y(n)＝x(n)h(n)，且那么

(3-41)263.3.8序列相乘其中C+是哑变量v平面上X(z/v)与H(z)公共收敛域内环绕坐标原点的一条反时针旋转的简单闭合曲线，同时满足(3-42)273.3.8序列相乘由两不等式相乘后，得v平面收敛域为

(3-43)283.3.8序列相乘由于乘积x(n)h(n)的先后次序可以互调，所以下列等式同样成立；

(3-44)293.3.8序列相乘且闭合曲线C+所在的收敛域为式(3-41)和式(3-44)有时也称为Z域的复卷积定理，可用留数定理来求解式(3-41)和式(3-44)复卷积的积分。(3-45)

303.3.9初值定理如果n<0，x(n)=0，即x(n)是因果序列，那么有(3-49)3.3.10终值定理若x(n)是因果序列，且X(z)＝Z[x(n)]的极点处于单位圆|z|＝1以内，那么

(3-50)313.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理利用复卷积定理可以得到帕塞瓦尔定理。若且Rx

Rh

<1<Rx+Rh+(3-51)则

(3-52)“

”表示取复共轭

323.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理C+应在X(v)和H*(1/v*)的公共收敛域内，即

如果X(z)、H(z)在单位圆上都收敛，则C+可取为单位圆，即333.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理那么，式(3-52)可化为

(3-53)343.3.11

帕塞瓦(Parseval)定理如果h(n)＝x(n)，可以得到式(3-53)、式(3-54)是序列及其傅立叶变换的帕塞瓦尔公式。(3-54)

35序列Z

变换收敛域x(n)X(z)Rx−<|z|<Rx+h(n)H(z)Rh−<|z|<Rh+ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(z)max[Rx−,Rh−]<|z|<min[Rx+,Rh+]x(n−m)z−mX(z)Rx−<|z|<Rx+anx(n)X(z/a)|a|Rx−<|z|<|a|Rx+nmx(n)(−zd/dz)mX(z)Rx−<|z|<Rx+x*(n)X*(z*)Rx−<|z|<Rx+x(−n)X(1/z)1/Rx+<|z|<1/Rx−x*(−n)X*(1/z*)1/Rx+<|z|<1/Rx−表3-2Z变换的主要性质36Re[x(n)]1/2[X(z)+X*(z*)]Rx−<|z|<Rx+Im[x(n)]1/2j[X(z)

−X*(z*)]Rx−<|z|<Rx+X(z)|z|>max[Rx−,1]x(n)为因果序列x(n)*h(n)X(z)H(z)max[Rx−,Rh−]<|z|<min[Rx+,Rh+]x(n)

h(n)Rx−Rh−<|z|<Rx+R