专题14 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型压轴题六种模型全攻略（解析版）

专题14模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【类型二不含特殊角的非直角三角形】 6【类型三“独立”型】 11【类型四“背靠背”型】 14【类型五“叠合”型】 20【类型六“斜截”型】 24【典型例题】【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米?

【答案】汽车从A地到B地比原来少走千米【分析】过C作于D，在中，根据，，解直角三角形求出、的长度，然后在中，求出、的长度，用即可求解．【详解】解：过C作于D，如图所示：

在中，∵，，∴，，在中，∵，∴为等腰直角三角形，∴，，则．答：汽车从A地到B地比原来少走．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．

【答案】【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，可证得四边形为矩形，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理，可求得，的长度．【详解】如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点，则．∵，∴．∴．∴四边形为矩形．∴，．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．故答案为：10【点睛】本题主要考查矩形的判定及性质、勾股定理，牢记矩形的判定方法和性质是解题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【答案】(1)30海里(2)1小时【分析】（1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答；（2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度,最后求出时间即可解答．【详解】（1）解：由题意得：（海里）．∵，∴．∴．∴（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．（2）解：如图，过点C作于点P．∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．又∵，∴．在中，，∴（海里）．∴航行的时间为（时）．∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖（垂直于地面）的高度，小明从点看向无人机的仰角为．从无人机处测得看山崖顶端的仰角为，测得看山崖底部处的俯角为，无人机与山崖的水平距离为50米．（图中各点均在同一平面内）．

(1)求山崖的高度（结果保留根号）；(2)若点距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，）【答案】(1)米(2)135米【分析】（1）利用锐角三角函数求得和，根据，即可得到答案；（2）过点作于点，过点作于点，得矩形，进而求得，利用锐角三角函数求得，即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度约为米；（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，得矩形，

则，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距离约为135米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．【类型二不含特殊角的非直角三角形】例题：（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则．【答案】1【分析】取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据，得到．【详解】解：如图所示，取格点D，连接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等，添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023·广东汕头·校考三模）由边长为1的小正方形构成的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则．

【答案】【分析】先根据勾股定理求出，，，可知，再过点B作，然后根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】根据勾股定理，得，，，∴．过点B作，交于点D，∴．在中，，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．2．（2023·北京·校联考一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为．【答案】【分析】取格点D，连接，根据勾股定理分别求出，，，即得出，说明为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，取格点D，连接．∴，，，∴，∴为直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义．正确的连接辅助线是解题关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【详解】（1）解：过点作于点，则，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键．4．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，在中，，在中，，，；（2）解：如图3，过点作于点，，，，在中，又，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．【类型三“独立”型】例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）【参考数据：，，】

【答案】【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长【详解】过作于点，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教学楼的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；

【答案】【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【详解】解：如图，

由题意得：米，米，，在中，，，，甲楼的高为（）米；故答案：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．2．（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

【答案】此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，，，

由图可知，人垂直于地面，即垂直于地面，点到地面的高度为，即垂直于地面，且，∴四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此时风筝离地面的高度为．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．【类型四“背靠背”型】例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：，，，，）．

【答案】B，C两地的距离约是10千米．【分析】根据平行线的性质可知，推出，再根据正切的定义求出的长．【详解】解：如图：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C两地的距离约是10千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．【变式训练】1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为．

【答案】【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C两港之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．2．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C两点间的距离：（结果保留根号）(3)求这座大楼的高度．（结果保留根号）【答案】(1)；(2)米(3)米【分析】（1）根据俯角和仰角的定义求解即可；（2）设，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【详解】（1）如图，

由题意可得，，，，，，，∴,，故答案为：；；（2）设，则，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

(1)填空：______度，______度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度．【答案】(1)105，135(2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米(3)教学楼BC的高度为米【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可；（2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解；（3）在中，，则，即可求解．【详解】（1）解：如图：延长交于点，

由题意得：，，，∴，∵是的一个外角，∴，故答案为：105，135；（2）解：过点A作，垂足为F．

由题意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教学楼的高度为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．【类型五“叠合”型】例题：（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．

由题意得：米，米，．设米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．【变式训练】1．（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米．（参考数据：）

(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米）(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米）【答案】(1)A、B两栋楼的楼间距约为米；(2)对面B栋楼的高度约为米．【分析】（1）过点P作，交的延长线于点E，根据题意得，，根据三角形的外角性质得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；（2）根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点P作，交的延长线于点E，

由题意得：，，∵是的一个外角，∴，∴，∴米，在中，（米），∴米，∴A、B两栋楼的楼间距约为米；（2）解：如图：

由题意得：米，米，，在中，，∴（米），∴（米），∴对面B栋楼的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出结果（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．【详解】（1）由题意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【类型六“斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．

(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，）【答案】(1)200海里(2)无触暗礁危险【分析】（1）作于点E，设海里，则海里，根据可列出方程求得的值后即可求得的长；（2）根据（1）中结论得出的长，再与100比较即可得到答案．【详解】（1）解：作于点E，

由题意得：，，设海里，在中，，在中，，，解得：，，与C之间的距离等于（海里）；（2）解：由（1）知，（海里），，所以巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键．【变式训练】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的