四川省2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试题 含解析

四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高二数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.【详解】因为为常数，故直线的倾斜角为.故选：A.2.直线与之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.【详解】因为直线和平行，由两条平行直线间的距离公式可得．故选：D．3.圆与圆的公切线条数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.【详解】圆，则圆心，半径，圆，则圆心，半径，则，由于，即，故圆与圆相交，其公切线条数为．故选：C．4.过点作圆的切线，则切线的斜率为（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出或．【详解】因为圆的圆心为，半径为，易知过点的切线斜率存在，设的方程为，即，则，解得或．故选：A．5.若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为个．其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有：，共9个，故．故选：B．6.在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值.【详解】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，取的中点为，连接，则，A1,0,0，，则，又因为，，，平面，故平面，所以为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．故选：D．7.如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，然后根据模的坐标求法求出最值即可.【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，则.故，当时取到最大值．故选：C．8.如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设关于平面的对称点为，则，设平面的法向量，则即令，则，所以为平面的一个法向量，所以与到平面的距离，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（）A.点与点关于轴对称B.点与点关于轴对称C.点与点关于平面对称D.坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分【答案】AC【解析】【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分.【详解】A选项，点与点关于轴对称，A正确；B选项，点关于轴的对称点是，B错误；C选项，点与点关于平面对称，C正确；D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误．故选：AC．10.已知直线在轴上的截距大于0，直线与轴交于点，则（）A. B.恒过定点2,1C.点到直线的距离可能为3 D.不存在使得【答案】BD【解析】【分析】运用截距概念求解即可判断A、C；运用消去参数判断B；根据恒过定点判断D【详解】对于A，把代入，得，所以或，A错误；对于B，将直线改写为，所以，所以，所以恒过定点，B正确；对于C，对于，令可得，易得当时，点到直线的距离取得最大值，C错误；对于D，因为直线恒过的定点也在直线上，即至少有一个交点，D正确．故选：BD．11.已知平面内一动点到坐标原点的距离为1，以为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则（）A.存在唯一的圆，使得两点重合 B.C.若存在，则其不可能为等边三角形 D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由给定条件可得坐标原点与点之一重合，利用动圆与圆的位置关系判断A；由圆上的点与定点距离最值判断B；求出最大值判断C；由余弦定理求解判断D.【详解】依题意，坐标原点与点之一重合，不妨设坐标原点为，圆的圆心，半径，对于A，当动圆与圆内切或外切时，均有两点重合，A错误；对于B，点在以为圆心、1为半径的圆上运动，，，B正确；对于C，，要使为等边三角形，则，而，当且仅当点共线时取等号，则不可能为等边三角形，C正确；对于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此时，，D正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量满足，则______．【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.【详解】因为，故，解得．故答案为：413.已知圆过三点，则圆的面积为______．【答案】【解析】【分析】设圆的一般方程，将3点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.【详解】设圆方程为，代入三点坐标可得解得所以圆的方程为，其标准方程为，故其面积．故答案为：14.在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为______.【答案】【解析】【分析】过点作的平行线交于点，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】正三棱锥中，因为平面，又平面，因此，故，故，则，延长交于点，过点作的平行线交于点，易知两两垂直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，则，设，则，，设直线与所成的角为，则，当或时，取最大值．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三点，点在圆上运动．（1）若直线与圆有唯一公共点，求；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线与圆相切，且唯一公共点为点，由勾股定理求出切线长；（2）设Px,y，且，表达出，而，故当时，取得最小值．【小问1详解】由题意知，圆的圆心为，半径，故，由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点，在中，由勾股定理可得．【小问2详解】设Px,y，且，故，而，当时，取得最小值．16.已知在中，，分别在线段上，且．（1）求边上的高所在直线的斜截式方程；（2）若的面积为面积的，求直线的一般式方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的斜率和垂直关系可得边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可.（2）先由题意得，即为的中点，接着由中点坐标公式、直线的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线的方程，再转化成一般式即可.【小问1详解】由题直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，化为斜截式为.【小问2详解】因为的面积为面积的分别在线段上，且，所以为的中点，即，又直线的斜率为，所以直线的斜率也为，所以直线的方程为，即，所以直线的一般式方程为.17.如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）．（1）以为基底表示；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）-1【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，；（2）设，得到，求出，当时，取得最小值.【小问1详解】由题意可得，所以；【小问2详解】设，因为，所以，故当时，取得最小值，最小值为．18.已知在空间直角坐标系中，点．（1）证明：不共面；（2）求点到平面的距离；（3）设为平面上的一个动点，且，求的夹角取得最小值时，的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）用反正法证明即可；（2）求出和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可；（3）求出和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求解余弦值，进而可知正弦值，利用向量的模长公式求解即可.【小问1详解】由题意假设存在，使得成立，则，即，可得此方程组无解，所以假设不成立，故不共面．【小问2详解】由题意可得，设平面的法向量为n=x,y,z，所以令，则，故平面的一个法向量为，故点到平面距离．【小问3详解】设的夹角为，则．所以，所以．19.现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”．若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”．已知圆．（1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；（2）已知圆，且均为圆“”的“牵连点”．（ⅰ）求直线的方程；（ⅱ）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得（和分别为直线和的斜率）恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆．（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，【解析】【分析】（1）由“上进点”的定义知C是圆的“上进点”，则，（其中是圆的半径），由此得点的轨迹.（2）（ⅰ）由“牵连点”的定义知，若均为圆“”的“牵连点”，则均同时为圆与圆的“上进点”，所以应为圆、圆的“上进点”所成的两轨迹（圆）的交点，由此可求直线的方程；（ⅱ）先求出圆的方程，设，假设轴上存在点，使得.则，联立结合韦达定理可求解.【小问1详解】因为点为圆的“上进点”，所以，即，所以轨迹方程为，所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆．【小问2详解】（ⅰ）∵为圆“”的“牵连点”，∴同时为圆与圆的“上