数学课堂导学案：平面向量数量积的物理背景及其含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】已知|a|=5，｜b｜=4，a与b的夹角为120°，求：(1）a·b；(2）（a+b）2；(3）a2-b2；（4）（2a—b）·（a+3b思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·(a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2解:（1）a·b=｜a｜|b|cos120°=5×4×（—)=—10。（2）（a+b）2=a2+2a·b+b=|a｜2+2a·b+｜b｜2(3)a2—b2=|a|2—|b｜2=25—16=9.（4)(2a-b）·（a+3b）=2a2+5a·b=2|a|2+5a·b-3|b|=2×25+5×(-10）-3×16=—48。温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律,故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b)2=a2±2a·b+b2,（a+b）·（a—b）=a2—b2（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a【例2】已知a与b的夹角为30°,且｜a｜=,｜b|=1，求向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦。思路分析：利用cosθ=确定p，q的夹角，必先求pq及｜p|｜q|,而求|p|及|q|利用模长公式|p｜2=p2,|q｜2=q2.解:∵|p｜=｜a+b｜=,|q｜=｜a—b｜=∴cosθ=.温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时,主要利用公式|a|2=a2及cosθ=。（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误。2。平面向量数量积的应用【例3】已知｜a|=4，｜b｜=3，a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，（1)c⊥d;（2）c∥思路分析:依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件。解:设c与d的夹角为θ，则由已知,得c·d=（a+2b）·（2a+kb=2a2+（4+k）a·b+2kb=2×42+(4+k）×4×3×cos120°+2k·32=8+12k。｜c|=|a+2b｜==。|d｜=|2a+kb|===∴cosθ=(1）要使c⊥d，只要cosθ=0，即6k+4=0,∴k=-.（2）要使c∥d，只需cosθ=±1，即=±（6k+4），解得k=4。综上,当k=—时，c⊥d;当k=4时，c∥d。温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a·b=|a｜｜b｜或a·b=-｜a｜｜b｜.而两向量垂直,夹角为90°,所以a·b=0，反之也成立。3。正确理解两向量夹角的定义【例4】Rt△ABC中,已知|AB|=3，｜BC｜=3，｜CA｜=，求·+·+·的值。思路分析：只需求出向量与，与，与的夹角，利用数量积定义求解。解：∵∠A=∠C=45°，∴与夹角为135°，与夹角为135°，与夹角为90°.∴·+·+·=·+·=3×3·cos135°+3×3·cos135°=-18。温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。各个击破类题演练1已知|a|=4，｜b｜=3，若:（1）a∥b；(2）a⊥b；(3）a与b的夹角为60°，分别求a·b。解：（1）当a∥b时，若a与b同向,则它们的夹角θ=0°，a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12；若a与b反向,则a与b的夹角θ=180°，a·b=|a||b|cos180°=4×3×（—1）=—12.（2）当a⊥b时,a与b的夹角为90°，a·b=｜a｜｜b｜cos90°=0，(3）当a与b的夹角θ=60°时。a·b=｜a|｜b|cos60°=4×3×=6。变式提升1设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°,则（2e1-e2）·（—3e1+2e2）等于（）A。-B.C.-8D。8解析：(2e1-e2)·（-3e1+2e2)=-6e12+7e1·e2-2e22=—6｜e1｜2+7｜e1｜|e2｜cos60°—2|e2|2=-6+—2=—。答案:A类题演练2已知｜a|=2，|b｜=1，a与b的夹角为，求向量a+b与a—2b的夹角的余弦.解：a·b=｜a｜|b|cos=2×1×=1.a2=4,b2=1.（a+b)·（a—2b）=a2—a·b-2b2=4—1—2=1。｜a+b|2=(a+b）2=a2+2a·b+b=4+2+1=7。|a—2b｜2=(a-2b）2=a2—4a·b+4b=4—4×1+4×1=4。设a+b与a—2b的夹角为θ，则cosθ=.变式提升2设向量a，b满足|a｜=｜b|=1，｜3a—2b|=3，求|3a+解：∵｜3a-2b｜=3，∴9a2—12a·b+4∵｜a｜=|b｜=1，∴a·b=.∵｜3a+b|2=9｜a|2+6a·b+｜b|2=9+6×故|3a+b|=.类题演练3已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为60°,试问当k为何值时，向量ka—b与a+2b垂直？解：若(ka-b)⊥(a+2b），则(ka—b）·（a+2b)=0.即ka2+(2k-1)a·b—2b2=0。k×52+(2k-1）×5×4×cos60°—2×42=0。∴k=.∴所以当k=时，向量ka-b与向量a+2b垂直。变式提升3已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a—2b垂直，求a与解：设a、b的夹角为θ,则cosθ=。又∵a+3b垂直于7a-5b，a-4b垂直于7a-2∴即∴2a·b=b2代入①式，得a2=b2.∴|a|=｜b｜。∴cosθ=.∴θ=60°.类题演练4如右图,已知△ABC中，a=5,b=8，∠C=60°,求·。解：因为||=a=5，｜|=b=8，设与的夹角为θ，则θ=180°—∠C=180°-60°=120°,所以·=｜||｜cosθ=5×8cos120°=-20。变式提升4在△ABC中，=a,=b，且a·b>0，则△ABC是（）A。锐角三角形B。直角三角形