浙江省杭州市拱墅区慧澜中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区慧澜中学八年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10题，每题3分，共30分）1．（3分）以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（）A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．5，12，173．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（）A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＜﹣2b4．（3分）下列命题中，假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形5．（3分）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a≥3 D．a≤36．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝90° B．∠1＝30° C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠37．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．29．（3分）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则△BCD的面积为（）A．96 B．48 C．32 D．1610．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠CAD＝30°；②∠PAD+∠PEC＝30°；③△PAE为等边三角形；④CE＝CP+2PD．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.填空题（共6题，每题3分，共18分）11．（3分）用不等式表示“x的4倍大于3”为．12．（3分）如果等腰三角形两边长分别为3和6，那么这个等腰三角形的周长为．13．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，若BC＝3，AC＝4，则CD＝．14．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点点D落在边BC上，若∠B＝61°，则∠EDC的度数是．15．（3分）如图，货车车高AC＝4m，卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A、B、C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝2m，则BC＝．16．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，且EG＝GC．若∠BEC＝126°，则∠B的度数是．三.解答题（共8题，共72分，解答应写出演算步骤）17．（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC的边BC上的高AD；（2）△ABC的面积为．18．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD．（1）求证：AB＝DE．（2）若∠A＝34°，∠EFD＝105°，求∠B的度数．19．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状，请说明理由；（2）若a＝2，b＝5，且c是奇数，求△ABC的周长．20．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'．求证：（1）Rt△ACD≌Rt△A'C'D'；（2）Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．21．（8分）如图，小明的一款等腰直角三角板形状的玩具，恰好落在了两堆竖直摆放的砖块之间．（1）证明：△ADC≌△CEB；（2）小明通过测量发现，两堆砖块之间的空隙DE＝54cm．请你帮小明求出每块砖的厚度大小（每块砖的厚度相等）．22．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：△CEF是等腰三角形；（3）若CD＝6，求DF的长．23．（10分）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；（2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD．（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD，求证：AD平分∠CAB．24．（12分）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）求∠ACB的度数；（2）当点D在射线AM上运动时满足AD：CE＝2：3，求点D，E的运动时间t的值；（3）当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区慧澜中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10题，每题3分，共30分）1．（3分）以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．【解答】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形，故选：D．【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（）A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．5，12，17【分析】根据三角形的三边关系解答即可．【解答】解：A．∵1+1＝2＜3，∴以1，1，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；B．∵2+3＝5，∴以2，3，5为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；C．∵3+4＝7＞5，∴以3，4，5为边能组成三角形，故本选项符合题意；D．∵5+12＝17，∴以5，12，17为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．3．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（）A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＜﹣2b【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：已知a＞b，A、a+2＞b+2，故A选项错误；B、a﹣2＞b﹣2，故B选项错误；C、2a＞2b，故C选项错误；D、﹣2a＜﹣2b，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．解题时注意不等号是否变方向．4．（3分）下列命题中，假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（3分）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a≥3 D．a≤3【分析】利用不等式的性质判断即可．【解答】解：∵若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，∴a＜3，故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝90° B．∠1＝30° C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3【分析】在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠1+∠2＝90°，由CD⊥AB于点D，可得出∠ADC＝∠BDC＝90°，利用三角形内角和定理，可得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再结合等角的余角相等，即可得出∠1＝∠4，∠2＝∠3，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3．∴不一定成立的是∠1＝30°．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及余角，利用“三角形内角和是180°”及“等角的余角相等”，找出∠1+∠2＝90°，∠1＝∠4，∠2＝∠3是解题的关键．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．【解答】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∴AE就是∠PRQ的平分线，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA+PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．9．（3分）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则△BCD的面积为（）A．96 B．48 C．32 D．16【分析】根据等腰三角形的判定和性质求出BD，再根据勾股定理求出CE，最后根据三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∴△DCB是等腰三角形，∴DC＝CB，∵∠DAB＝∠DBA，∴AD＝DB，∵AC＝AD+DC＝DB+DC＝22，∵△BCD的周长＝DC+DB+CB＝34，∴CB＝32﹣22＝10，∴DC＝10，∴BD＝22﹣10＝12，∴DE＝BD＝×12＝6，∴CE＝＝＝8，∴△BCD的面积为BD•CE＝×12×8＝48，故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠CAD＝30°；②∠PAD+∠PEC＝30°；③△PAE为等边三角形；④CE＝CP+2PD．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①②；由三角形内角和定理可求∠PEA＝∠PAE＝60°，可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断④．【解答】解：如图，连接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，∵AP＝PE，∴AP＝PB＝PE，∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠CAD＝∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①②正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE＝∠PEA＝60°，∴△PAE是等边三角形，故③正确；如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等边三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD＝P′D，∵CD⊥AB，∴C、P、D、P′共线，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴CE﹣CP＝2PD．故④正确；所以其中正确的结论是①②③④．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．二.填空题（共6题，每题3分，共18分）11．（3分）用不等式表示“x的4倍大于3”为4x＞3．【分析】根据题意，可以用含x的代数式表示出x的4倍大于3．【解答】解：x的4倍大于3可以表示为4x＞3，故答案为：4x＞3．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．12．（3分）如果等腰三角形两边长分别为3和6，那么这个等腰三角形的周长为15．【分析】由于未说明两边长哪个是腰长哪个是底边长，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：（1）当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时，3+3＝6，不能够组成三角形．（2）当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时，3，6，6能够组成三角形，此时周长为6+6+3＝15．则这个等腰三角形的周长是15．故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰长和底边长的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，若BC＝3，AC＝4，则CD＝1．【分析】依题意得△ABC≌△BED，则BD＝AC＝7，然后再根据CD＝BD﹣BC即可得出答案．【解答】解：如图所示的“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，∴△ABC≌△BED，∴BD＝AC＝4，又∵BC＝3，∴CD＝BD﹣BC＝4﹣3＝1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．14．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点点D落在边BC上，若∠B＝61°，则∠EDC的度数是58°．【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE＝61°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝61°，∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝58°．故答案为：58°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．15．（3分）如图，货车车高AC＝4m，卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A、B、C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝2m，则BC＝1.5m．【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2，进而解答即可．【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°，设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，即：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5．答：BC的长为1.5m．故答案为：1.5．【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．16．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，且EG＝GC．若∠BEC＝126°，则∠B的度数是36°．【分析】连接DE，如图所示，证得DG是线段CE的垂直平分线，得到DE＝DC，根据等腰三角形的性质有∠DEG＝∠DCG，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到BE＝DE，从而∠B＝∠EDB，结合三角形外角性质有∠BDE＝2∠DCG，最后根据三角形内角和定理得到3α+126°＝180°，解方程求出α＝8°，从而得到∠B的度数．【解答】解：连接DE，如图所示：∵DG⊥CE于点G，且EG＝GC，∴DG是线段CE的垂直平分线，∴DE＝DC，∴∠DEG＝∠DCG，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，CE是AB边上的中线，∴BE＝DE，∴∠B＝∠EDB，∵∠BDE是△CDE的一个外角，∴∠BDE＝2∠DCG，设∠DCG＝α，则∠B＝2α，在△BCE中，∠BEC＝126°，∵3α+126°＝180°，解得α＝18°，∴∠B＝2α＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查角的计算，三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键．三.解答题（共8题，共72分，解答应写出演算步骤）17．（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC的边BC上的高AD；（2）△ABC的面积为8．【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．【解答】解：（1）如图所示：AD即为所求；（2）S△ABC＝＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．18．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD．（1）求证：AB＝DE．（2）若∠A＝34°，∠EFD＝105°，求∠B的度数．【分析】（1）由AF＝CD可得AC＝DF，再根据AAS证明△ABC≌△DEF，即可得AB＝DE；（2）根据“全等三角形对应角相等”可得∠BCA＝∠EFD＝105°，再根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AF＝CD，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB＝DE．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝∠EFD＝105°，∵∠A＝34°，∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠A＝180°﹣105°﹣34°＝41°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是证明△ABC≌△DEF（AAS）．19．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状，请说明理由；（2）若a＝2，b＝5，且c是奇数，求△ABC的周长．【分析】（1）直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC的三边长分别为a，b，c，a＝2，b＝5，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∵c为奇数，∴c＝5，∴△ABC的周长＝5+2+5＝12．【点评】本题考查的是三角形三边关系，非负数的性质：绝对值，熟知以上知识是解题的关键．20．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'．求证：（1）Rt△ACD≌Rt△A'C'D'；（2）Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．【分析】（1）根据HL证明Rt△ACD和Rt△A'C'D'全等；（2）由（1）Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，进而利用全等三角形的性质得出CD＝C'D'，进而利用SAS证明全等即可．【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，，∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL）；（2）由（1）得Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，∴CD＝C'D'，∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，∴CB＝C'B'，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．【点评】此题考查直角三角形全等的判定，关键是根据HL证明Rt△ACD和Rt△A'C'D'全等解答．21．（8分）如图，小明的一款等腰直角三角板形状的玩具，恰好落在了两堆竖直摆放的砖块之间．（1）证明：△ADC≌△CEB；（2）小明通过测量发现，两堆砖块之间的空隙DE＝54cm．请你帮小明求出每块砖的厚度大小（每块砖的厚度相等）．【分析】（1）由题意知∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，即可得出∠BCE＝∠DAC，即可得证；（2）由（1）知DC＝BE，CE＝AD，则AD+BE＝CE+DC＝DE即可解答．【解答】（1）证明：由题意知：∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：设每块砖的厚度为acm，由（1）知DC＝BE，CE＝AD，∴AD+BE＝CE+DC＝DE＝9a＝54cm，∴a＝6cm．答：每块砖的厚度为6cm．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题关键．22．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：△CEF是等腰三角形；（3）若CD＝6，求DF的长．【分析】（1）根性等边三角形的性质及直角三角形的性质可得答案；（2）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到△CEF为等腰三角形；（3）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°．∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°．（2）证明：∵DE∥AB，∴∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF；∴△CEF为等腰三角形．（3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝6．又∵CE＝CF，∴CF＝6．∴DF＝DC+CF＝6+6＝12．【点评】此题考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．23．（10分）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；（2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD．（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD，求证：AD平分∠CAB．【分析】（1）根据共边直角三角形的概念作图；（2）连接AE，DE，根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可；（3）分别延长AC、BD交于点F，证明BD＝DF，根据等腰三角形的性质证明．【解答】（1）解：作出△ABC的共边直角三角形如图1所示△ABD即为所求作的三角形（答案不唯一）；