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文档简介
2025届湖南省长沙市周南梅溪湖中学高三第三次测评数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,且,则的值为()A. B. C. D.2.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在各项均为正数的等比数列中,若,则()A. B.6 C.4 D.54.已知函数满足,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.5.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.6.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.07.复数满足,则复数等于()A. B. C.2 D.-28.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或9.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.10.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()A. B. C. D.11.已知、是双曲线的左右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A. B. C. D.12.如图,在直三棱柱中,,,点分别是线段的中点,,分别记二面角,,的平面角为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.给出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,结果为的式子的序号是_____.14.设满足约束条件,则的取值范围是______.15.已知数列递增的等比数列,若,,则______.16.根据如图所示的伪代码,输出的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图1,四边形为直角梯形,,,,,,为线段上一点,满足,为的中点,现将梯形沿折叠(如图2),使平面平面.(1)求证:平面平面;(2)能否在线段上找到一点(端点除外)使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.18.(12分)如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.19.(12分)已知函数(1)求函数在处的切线方程(2)设函数,对于任意,恒成立,求的取值范围.20.(12分)在三棱锥S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45∘,∠SAC=60°,D为棱AB的中点,SA=2(I)证明:SD⊥BC;(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.21.(12分)已知函数(,),.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数,使得,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
由及得到、,进一步得到,再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为,所以,又,所以,,所以.故选:A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.2、C【解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.3、D【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算.【详解】由题意.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.4、B【解析】
构造函数,利用导数研究函数的单调性,即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,,,即函数为减函数,,,则不等式等价为,则不等式的解集为,即的解为,,由得或,解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,根据函数的单调性解不等式,考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.5、B【解析】
由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故选B.【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.6、C【解析】
根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.7、B【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算,化简求解即可.【详解】复数满足,∴,故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算,复数模长的概念,属于基础题.8、D【解析】
由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.9、B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为010、A【解析】
结合所给数字特征,我们可将每层数字表示成2的指数的形式,观察可知,每层指数的和成等比数列分布,结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图,将数字塔中的数写成指数形式,可发现其指数恰好构成“杨辉三角”,前10层的指数之和为,所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选:A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题,逻辑推理,等比数列前项和公式应用,属于中档题11、A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x,不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c),与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣),∵点M在以线段F1F1为直径的圆外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.则e=>1.∴双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).故选:A.点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12、D【解析】
过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【详解】解:因为,,所以,即过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,设平面的法向量,则,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故选:D.【点睛】本题考查二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①②③【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案为:①②③【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.14、【解析】
作出可行域,将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或,分别计算出与,再由不等式的简单性质即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,显然当时,z=0;当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或显然,联立,所以则或,故或综上所述,故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.15、【解析】
,建立方程组,且,求出,进而求出的公比,即可求出结论.【详解】数列递增的等比数列,,,解得,所以的公比为,.
故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的性质、通项公式,属于基础题.16、7【解析】
表示初值S=1,i=1,分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.【详解】S=1,i=1第一次循环:S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循环:S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循环:S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循环结束,输出:i=7.故答案为:7【点睛】本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【解析】
(1)在直角梯形中,根据,,得为等边三角形,再由余弦定理求得,满足,得到,再根据平面平面,利用面面垂直的性质定理证明.(2)建立空间直角坐标系:假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,求得平面的一个法向量,再利用线面角公式求解.【详解】(1)证明:在直角梯形中,,,因此为等边三角形,从而,又,由余弦定理得:,∴,即,且折叠后与位置关系不变,又∵平面平面,且平面平面.∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)∵为等边三角形,为的中点,∴,又∵平面平面,且平面平面,∴平面,取的中点,连结,则,从而,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系:则,,则,假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,∵,∴,故,∴,又,该平面的法向量为,,令得,∴,解得或(舍),综上可知,存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的长;(2)利用面积得出,结合正弦定理可得.【详解】解:(1)由题可知.在中,,所以.(2),则.又,所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角较多时一般选用正弦定理,已知边较多时一般选用余弦定理.19、(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切线的点斜式方程,整理即可;(2)的取值范围满足,,求出,当时求出,的解,得到单调区间,极小值最小值即可.【详解】(1)由于,此时切点坐标为所以切线方程为.(2)由已知,故.由于,故,设由于在单调递增同时时,,时,,故存在使得且当时,当时,所以当时,当时,所以当时,取得极小值,也是最小值,故由于,所以,.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题,应用导数求最值是解题的关键,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.20、(I)证明见解析;(II)1【解析】
(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到证明.(II)过点D作DF⊥SE于F,证明DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,计算夹角得到答案.【详解】(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据角度的垂直关系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根据余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD⊂平面SED,故SD⊥BC.(II)过点D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF⊂平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【点睛】本题考查了线线垂直,线面
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