专题07巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题

专题07巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：单模长最值问题题型二：多模长之和差最值问题题型三：模长的范围问题【典型例题】题型一：单模长最值问题例1．（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以.故选：A例2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足：，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．例3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________.【答案】【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，则.故答案为：变式1．（2023春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__．【答案】【解析】在中，因为，所以.又，，所以.因为E为的中点，所以.因为M、E、N三点共线，所以，即，复数，所以，令，故当，取最小值.故答案为：变式2．（2023·高一课时练习）已知复数和，i为虚数单位，求的最大值和最小值．【解析】复数和，则由，可得则的最大值，最小值题型二：多模长之和差最值问题例4．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（16011665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.此时.故选：B.例5．（2023·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】复数满足，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则的表示圆上的点到和的距离，由图象可知，当点在处最小，最小为:，当点在处最大，最大为，则的取值范围是，故答案为：例6．（2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为的圆上，设圆上任意一点的坐标为.表示圆上的点到和两点距离之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案为：.变式3．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考）已知复数满足，求的最小值______．【答案】10【解析】复数，由，即，于是得，整理得，，即，表示点与点、距离的和，显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，，当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，所以的最小值是10.故答案为：10题型三：模长的范围问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】由，则z在复平面内对应的点Z是以为圆心，2为半径的圆上及圆内，所以表示Z到的距离，故其范围为.故答案为：.例8．（2023·全国·高一假期作业）设复数z满足，则的取值范围是_________.【答案】【解析】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为，所以取值范围为.故答案为：.例9．（2023春·全国·高一期末）已知复数z满足，那么的取值范围为_________.【答案】【解析】设，由可得即，表示点到点，的距离之和为2.又点，之间的距离为2，所以表示z对应的点的轨迹是以，为端点的线段表示z对应的点与的距离，如图在z取时有最小值3，z取或时有最大值，故取值范围为.故答案为：变式4．（2023·全国·高一专题练习）若，则取值范围是___．【答案】【解析】由题意设(),则其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差，由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小，则．的取值范围是．故答案为：．变式5．（2023·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知z为复数，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.故选:C.【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由可知，复数对应的点的轨迹是圆心为，半径为的圆，表示复数对应的点与原点之间的距离，因为，所以，即.故选：B2．（2023春·广东潮州·高一潮州市松昌中学校考期中）已知，且，（i为虚数单位），则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示以为圆心，为半径的圆，则圆心C到点的距离＝，则的最大值为.故选：A3．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）下列关于复数z的命题中真命题为（）A．若，则 B．若，则C．若，则的最大值为2 D．若，则【答案】C【解析】A：由得或，错误．B：由得：，错误；C：当|z+i|＝1时，复数z对应的点在以(0，1)为圆心，1为半径的圆上，故|z|的最大值为2，正确；D：当，时，，错误．故选：C二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）设复数z满足，令，则的（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为【答案】AD【解析】根据题意，有，且，于是为以点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，其取值范围是，因此的最小值为，最大值为．故选：AD.5．（2023春·江西宜春·高一校考期末）设，是虚数单位，复数.则下列说法正确的是（

）A．若为实数，则B．若为纯虚数，则C．当时，在复平面内对应的点为D．的最小值为【答案】ABD【解析】若为实数，则虚部为0，即，故正确；若为纯虚数，则实部为0，即，故正确；当时，，则在复平面内对应的点为，故错误；（当且仅当时取等号），故正确，故选:.6．（2023春·河北保定·高一统考期中）下列说法正确的是（

）A．若、互为共轭复数，则为实数B．若为虚数单位，为正整数，则C．已知是关于的方程的一个根，则D．复数满足，则的最大值为【答案】ACD【解析】对于A选项，设，则，所以，为实数，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程的两根，则，所以，，解得，所以，，C对；对于D选项，利用复数模的三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ACD.三、填空题7．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为______.【答案】【解析】复数是实数，所以，得.所以，当且仅当，取等号，所以的最小值为.故答案为：8．（2023·全国·高一专题练习）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【答案】②③【解析】对于①，因为为纯虚数，所以，解得，故①错误；对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；对于③，因为，，所以在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而表示点Z到点的距离，所以其最小值为，故④错误．故答案为：②③．9．（2023·全国·高三专题练习）已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是__________．【答案】.【解析】设，，且，则，因为是实数，所以，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，，则，当时，取到最值.故答案为：．10．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）已知z是虚数是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是__________．【答案】【解析】设（a，，且），则．因为是实数，所以，即．因为，所以，所以，则．因为，所以，所以，所以，因为，所以，解得，则．故答案为：11．（2023春·广东·高一校联考期末）若复数z满足，则的最小值为________．【答案】1【解析】设，由可得，轨迹是以原点为圆心以2为半径的圆，根据复数几何意义知，表示复平面内到的距离，则最小值为，故答案为：112．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）复数，，则的最大值是__________.【答案】【解析】由题意可得，由三角不等式可得.当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.13．（2023·全国·高一专题练习）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.【答案】【解析】因为复数对应的点为且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上又，所以为圆的直径，即关于原点对称所以因为所以又，，则所以即的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.14．（2023·上海·高三专题练习）如果复数满足，那么的最大值是_____.【答案】5【解析】设，，则，变形为，两边平方后得到，两边平方后得到，将代入，即，故，则，当时，取得最大值，最大值为5故答案为：515．（2023秋·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考期中）如果复数满足，则的最大值是___________.【答案】【解析】设，则因为，所以，即.令，则，当，即时，取得最大值为，即，所以的最大值是.故答案为：16．（2023·高一课时练习）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.【答案】【解析】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足设，表示复数对应的点到点的距离数形结合可知的最大值故答案为：17．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数（为虚数单位）满足，则实数a的取值范围为____．【答案】【解析】，，，，即，解得，故实数a的取值范围为．故答案为：．四、解答题18．（2023秋·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）设是实数，复数，（是虚数单位）．(1)在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；(2)求的最小值．【解析】（1），则，解得；（2），则，，，当时，的最小值为．19．（2023春·山西忻州·高一校联考期末）已知复数，，，，，(1)求实数的取值范围；(2)若，求|的最小值.【解析】(1)∵∴是实数，∴，即∴∵，∴，即，的实部的取值范围为；(2)，∵∴∵，∴∴当时，即时，取到最小值,由于，故的最小值为20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，在复平面坐标系中，为虚数单位，复数对应的点为．(1)求；(2)若复数z满足（为的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点之间的最小距离．【解析】（1）因为，，，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）可得，，曲线，即，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，如图，故与之间的距离为，所以与之间的最小距离为，21．（2023春·山东淄博·高一统考期中）（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；（2）复数的最大