专题03数列求通项（构造法倒数法）(典型例题题型归类练)

专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）二、典型例题例题1．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，，且.证明：为等比数列，并求的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2），左右两边同时加：“”解答过程：两边同时加“”：所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.感悟升华（核心秘籍）1、使用构造法模型的标准（类型1）：标准模型：（为常数，）或（为常数，）其中“待定系数”，作为核心模型直接记忆【答案】(1)证明见解析，解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.例题2．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足：.求数列的通项公式.思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2）左右两边同时除：“”解答过程：左右两边同时除：“”：由数列是首项、公差为的等差数列，即感悟升华（核心秘籍）1、使用构造法模型的标准（类型2）：①②③注意对比例题2,3,4的技巧【答案】.由知：，而，∴数列是首项、公差为的等差数列，即，∴.例题3．（2021·全国·高二专题练习）已知正项数列中，，，求数列{an}的通项公式．思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2）左右两边同时除：“”解答过程：左右两边同时除：“”：由令，则原式变为：为方便求解过程，换元判断模型，使用待定系数法两边同时加“”，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为所以，即，所以，【答案】.在递推公式的两边同时除以，得＝×＋，①令，则①式变为，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，即所以，例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，.求数列的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2）左右两边同时除：“”解答过程：左右两边同时除：“”：由所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；【答案】；因为，令，则，又，所以.对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合倒数法的标准模型（类型1），两边同时取倒数解答过程：两边同时取倒数：，即所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；感悟升华（核心秘籍）1、使用倒数法模型的标准：（类型1），此类型取倒数化简后，从而构造出新的等差数列【答案】.，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；例题6．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式.为方便解答，可换元为方便解答，可换元思路点拨：根据题意：，符合倒数法的标准模型（类型2），两边同时取倒数解答过程：两边同时取倒数：，即令，原式化简为：判断模型，可用构造法两边同时加“”所以数列是以为首项，为公比的等比数；感悟升华（核心秘籍）1、使用倒数法模型的标准：（类型2）形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：，再用待定系数法.【答案】(1)解：因为，所以，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以；三、题型归类练1．（2022·广东·广州市禺山高级中学高二期中）数列中，，，，则______．【答案】##0.5∵，，则，.故答案为：.2．（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；【答案】(1)(2)证明见解析；(1)解：设等差数列的公差为，因为，则，解得或（舍去），所以；(2)证明：因为，所以，即，所以，因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；3．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且．求数列的通项公式；【答案】(1)∵，等式两边同时加1整理得又∵，∴∴是首项为2，公比为2的等比数列．∴，

∴4．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列，，.求数列的前5项；【答案】前5项依次为；由题设，而，所以是首项、公比都为2的等比数列，则，故的前5项依次为.5．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列中，，.求证：是等比数列，并求的通项公式；【答案】(1)证明见解析，解：因为，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，求.【答案】解：因为，所以，而，∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，∴.7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，.求数列的通项公式；【答案】（1）因为，令，则，又，所以，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，故；8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足.求数列的通项公式；【答案】（1）解：（1）由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；9．（2022·重庆八中高三阶段练习）数列满足.令，求证：是等比数列；【答案】(1)证明见解析；∵，故，且，故，∴，，则，故是公比为的等比数列；10．（2022·全国·