621排列622排列数（课件）高二数学下学期（人教A版2019选择性）

人教A版2019选择性必修第三册第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列6.2.2排列数在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐．能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢?为此，先来分析两个具体的问题．问题1

从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法?此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法．这6种不同的选法如图6.2-1所示．如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，cb，ca．问题1中的“顺序”是什么？问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数?显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为因而共可得到24个不同的三位数，如图6.2-2所示．由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432．问题2中的“顺序”是什么？上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗?问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．例1

某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛?分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法?（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法?分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列．前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式．探究第1位第2位图6.2-3第1位第2位图6.2-3现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：第1位第2位第3位第m位……填空可以分为m个步骤完成：……你能说一下排列数公式的特点吗？特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．例4

用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．百位十位个位图6.2-5解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：百位十位个位百位十位个位百位十位个位00对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法．解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．人教A版2019选择性必修第三册第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法?这一问题与节的问题1有什么联系与区别?探究在节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法．而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：．甲乙，甲丙，乙丙．将具体背景舍去，上述问题可以概括为：从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组?这就是我们要研究的问题．你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗?但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示．甲乙甲丙甲乙，乙甲甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙组合排列由此，节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合．校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题?（1）从中选3辆，有多少种不同的方法?（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?组合问题排列问题例5

平面内有A，B，C，D共4个点（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条?分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．例5

平面内有A，B，C，D共4个点（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条?利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数?类比排列数，我们引进组合数概念：探究前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数甲乙甲丙甲乙，乙甲甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙组合排列a

b

ca

b

cb

a

c

c

a

ba

c

bb

c

a

c

b

a

a

b

da

b

db

a

d

d

a

ba

d

bb

d

a

d

b

a

a

c

da

c

dc

a

d

d

a

ca

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cc

d

a

d

c

ab

c

db

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dc

b

d

d

b

cb

d

cc

d

b

d

c

b图6.2-8组合排列观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现?（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?例7在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法?（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．例7在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法?（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?例7在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?（3）方法1