专题11-2022年江苏高考数学满分限时题集

专题11大题限时练111．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，．（1）求外接圆的直径；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，得，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以，所以外接圆的直径；（2）由正弦定理得，，因为，所以，由余弦定理得，即，结合，可得，所以，所以的面积．2．随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上、等电商平台和以为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评80对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量，求对商品和服务全为好评的次数的分布列和数学期望．附临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828的观测值：（其中【答案】见解析【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物中，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，其中，，，．的分布列为：0123由于，则的数学期望．3．已知数列的前项和为，，条件①：；条件②：．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求．【答案】见解析【详解】，（1）选择条件①：；则，时，．．时也成立，．选择条件②：．时，，相减可得：，即，时，，．数列是等比数列，首项为1，公比为2，．（2），．数列的前项和，，，．4．如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，，在棱上且满足，连接，．（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：在中，因为，分别为，的中点，，所以为重心，所以，又，所以．平面，平面，平面．（2）解：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，连结，则，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，0，，，1，，，0，，，0，，所以，，，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，，所以平面的一个法向量为，，，所以，，所以直线和平面所成角的正弦值为．5．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交抛物线于点（异于原点，抛物线上点处的切线交轴于点，设线段的中点为，连结线段交于点．（1）求的值；（2）过点作圆的切线交于另一点，设直线的斜率为，证明：为定值．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）设，，则在点处的切线方程为，，联立方程组，消去整理可得：，由，解得，则切线方程为，则，，联立方程组，解得，即即为的中点，所以；（2）证明：当直线的斜率不存在时，其直线为，解得，，，，则，当直线的斜率存在时，设方程为，由题意知，，因为直线与圆相切，所以，即，联立方程组，得到，设，，，，，则，又，则，综上可知为定值2．6．已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）若曲线在点，（1）处的切线斜率为，求的值；（2）对于给定的常数，若对恒成立，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）解：因为，所以切线斜率为（1），即，构造