北京市大兴区2024−2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

北京市大兴区2024−2025学年高二上学期期中检测数学试题一、单选题（本大题共10小题）1．直线的倾斜角的正切值为（

）A． B．C． D．2．已知两个向量，且，则（

）A． B．C． D．3．过点，的直线的斜率为，则（

）A． B．C． D．4．圆关于轴对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（

）A．直线在平面内 B．平行 C．相交但不垂直 D．垂直6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（

）A． B． C． D．7．在平行六面体中，，，则的长为（

）A． B．C． D．8．已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．29．已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线.给出下列四个结论：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③二、填空题（本大题共5小题）11．已知，，三点共线，则．12．已知圆，则圆心坐标为，当圆与轴相切时，实数的值为.13．已知平面过点三点，直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是．14．直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为．15．如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论：①存在，使得；②存在，使得平面；③当为线段中点时，三棱锥的体积最小；④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题）16．已知平面内两点.（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程．17．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程.（2）求直线：与圆相交的弦长.18．如图，在四棱锥中，平面，，，且．(1)求直线与直线所成角的大小；(2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．19．已知圆过三点，直线．(1)求圆的方程；(2)求圆关于直线对称的圆的方程；(3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．20．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，，，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21．已知圆：及其上一点．(1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；(2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程；(3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围．

参考答案1．【答案】A【详解】直线的斜率为，倾斜角为，所以.故选：A2．【答案】C【详解】由于，所以.故选：C3．【答案】B【详解】依题意，，解得，所以，所以.故选：B4．【答案】D【详解】圆的圆心为，半径为，因为关于轴对称的点为，所以对称圆的方程为，故选：D.5．【答案】C【详解】∵，，假设存在实数，使得，则，即无解.不存在实数，使得成立，因此l与α不垂直．由，可得直线l与平面α不平行．因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C6．【答案】C【详解】因为直线与直线平行，所以,解得，因为直线与直线所以它们之间的距离为．故选：C7．【答案】B【详解】依题意，，所以.所以.故选：B8．【答案】C【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接，则，当最小时，最小，，故的最小值为.故选：C.9．【答案】A【详解】设圆心为，易知，半径，当为等边三角形时，，而，因为，所以，当时，直线为：，而，所以，所以，所以为等腰三角形，因为，圆心到直线的距离为，即，所以圆心为的重心，同时也是的外心，所以为等边三角形，所以“为等边三角形”是“”的充要条件，故选：A.10．【答案】A【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，所以，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为,当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．11．【答案】【详解】因为，所以直线斜率存在，因为三点共线，所以，所以，解得，故答案为：.12．【答案】.4.【详解】由，配方得，所以圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得；故答案是，4.13．【答案】（答案不唯一）【详解】设平面的法向量为，因为，所以，所以，所以，取，所以，又因为直线与平面垂直，所以直线的方向向量与平面的法向量共线，所以可取方向向量为（不唯一，非零共线即可），故答案为：（答案不唯一）.14．【答案】【详解】令中，得，所以与轴交于，令中，得，所以与轴交于，由可得，所以两直线交于，所以围成的四边形面积为，故答案为：.15．【答案】②④【详解】建立如图所示空间直角坐标系设，①：因为，所以，当时，，解得，不符合题意，故①错误；②：当与重合时，因为，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，故②正确；③：设到平面的距离为，所以，且为定值，所以当最小时，三棱锥的体积最小，因为，所以，设平面的法向量为，所以，所以，取，所以，又，所以，当时有最小值，故③错误；④：设直线与直线所成角为，因为，所以，令，所以，所以，因为，所以时取最大值，此时取最小值，此时，即与重合，故④正确；故答案为：②④.16．【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为.试题解析：（1），∴的中点坐标为，∴的中垂线斜率为∴由点斜式可得∴的中垂线方程为（2）由点斜式∴直线的方程17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为且，∴由圆与相切，有，即可得.∴圆的标准方程为.（2）由（1）知：，，∴到直线的距离为，∴直线与圆相交的弦长为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）由于平面，平面，所以，由于，所以两两相互垂直.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设直线与直线所成角为，则，由于，所以.（2），，设平面的法向量为，则，故可设，设直线PD与平面PAC所成角为，则.19．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设圆的方程为，代入，则，解得，所以圆的方程为；（2）设，由对称关系可知，解得，所以，又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；（3）因为，由（2）可知关于直线的对称点为，所以，当且仅当共线时取等号，所以，即的最小值为.20．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）若选①，由于平面平面，且交线为，平面，，所以平面.若选②，由于，，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，，两两垂直，以为原点，分别所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，则，A0,0,0，，，所以，由（1）知平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面与平面夹角的为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）由已知得，，所以点到平面的距离为.21．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）圆