数学素材：教材梳理第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别,但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.知识拓展利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明。利用这两个定理可以得出一些重要结论：如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形。应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程。二、圆内接四边形的判定定理1.定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆。疑点突破要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上。根据我们的经验，只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆。因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内,若作出对角线BD,设BD和圆交于D′，连结AD′、CD′，则ABCD′为圆内接四边形（如图2-图2三、判定四点共圆的方法(1）如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。（3）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆（因为四个顶点与斜边中点的距离相等）.问题·探究问题圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路。反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样?它有什么优点？思路:反证法是一种间接证法，它先是提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理,导致矛盾，从而否定原假设,达到肯定原命题正确的一种方法。探究:反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如:是/不是；存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于；等于/不等于;大（小)于/不大（小）于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n—1)个;至多有一个至少有两个;唯一至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法（结论的反面不止一种),如在上述定理证明中，假设点D不在圆上，则有点D在圆外和点D在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1）反设;(2）归谬；（3)结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.典题·热题例1如图2—图2思路分析:连结EF。由∠B+∠AEF=180°，∠B+∠C=180°，可得∠AEF=∠C.证明：连结EF.∵ABCD为平行四边形，∴∠B+∠C=180°。∵A、B、F、E内接于圆,∴∠B+∠AEF=180°。∴∠AEF=∠C.∴C、D、E、F四点共圆。深化升华要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.例2两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F。若∠EAB=∠DAB.求证：CD=EF。思路分析：要证CD=EF，只需证明△CBD≌△EBF即可.从图2—图2证明：∵ABEC为圆内接四边形，∴∠2=∠CEB.又∵∠1=∠ECB，且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB。∴BC=BE。在△CBD与△EBF中，∠C=∠E，∠D=∠F,BC=BE，∴△CBD≌△EBF。∴CD=EF。深化升华利用圆内接四边形的性质,直接写出∠2=∠CEB，简化了通过弧与角的计算推证∠2=∠CEB的过程,正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.例3在锐角△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DG⊥CE于G,EF⊥BD于F.求证：FG∥BC.思路分析：证FG∥BC，只需证∠DFG=∠DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路。证明:如图2-同理，Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，所以D、E、F、G四点共圆.图2于是，∠DEG=∠DFG.因此，∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC。例4如图2-图2求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆。思路分析：要证O、A、P、Q四点共圆，只需证∠CPO=∠AQO即可。为此，只要证△CPO≌△AQO即可。证明：连结OA、OC、OP、OQ。在△OCP和△OAQ中，OC=OA，由已知，CA=AB，AP=BQ,∴CP=AQ.又O是△ABC的外心，∴∠OCP=∠OAC。由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，∴∠OAC=∠OAQ，从而∠OCP=∠OAQ。∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO=∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆。深化升华本题也可证△OAP≌△OBQ，得到角相等，进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.例5如图2—2-图2思路分析：由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为2，则正方形面积为2。而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S四边形APQB=S△ABD，即证S△BPD=S△BPQ，即证DQ∥PB.因为BP⊥AE，所以,只需证DQ⊥AE。证明:∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心,∴AE、BF互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°，即∠DCQ=∠QED。∴D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ，则∠DCE+∠DQE=180°.∵AE为⊙O的直径，∴∠DCE=90°，∠DQE=90°。∵∠FOE=90°，进而DQ∥BF，∴S△BPQ=S△BPD。∴S△ABP+S△BPQ=S△A