数学素材：集合之间的关系与运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考与讨论答：A⊆B.如，A＝{x｜x是6的约数}，B＝｛x|x是12的约数｝，即集合A的特征性质p(x）是：x是6的约数；集合B的特征性质q(x）是:x是12的约数,显然“如果p（x)，那么q(x)"是正确命题．因为A＝｛1，2,3,6}，B＝{1，2,3,4，6，12},显然A⊆B.探索与研究答：由子集的定义可知：若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含以下几个方面：A＝;AB；A＝B。由以上知识，可以得到：若B＝{a｝，则其子集可以是,{a}，即集合中若有1个元素，其子集个数为2；若B＝｛a,b}，则其子集可以是，｛a},{b｝，{a，b}，即集合中若有2个元素,其子集个数为4；若B＝{a，b，c},则其子集可以是,｛a｝，{b}，{c}，{a,b}，｛a，c},{b，c｝，{a，b,c}，即集合中若有3个元素，其子集个数为8；若B＝{a，b，c，d}，则其子集可以是,{a}，｛b｝，{c}，{d｝,｛a，b}，｛a，c｝，｛a,d}，{b，c｝，{b，d｝,｛c，d}，{a，b，c｝，｛a，b，d}，｛a,c，d}，｛b,c，d｝，{a，b，c，d｝，即集合中若有4个元素，其子集个数为16。综上所述，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍．故从上到下依次填2，4,8,16，32。(1）“元素个数”与“子集数目”之间的对应关系为：元素个数子集数目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24……（2)若集合中有n个元素,则其子集的个数应为2n.非空子集的个数为2n－1，其真子集的个数应为2n－1，非空真子集的个数为2n－2。对于上述结论的证明不作要求．练习A1．(1)∈;（2)∈;（3)；（4)；(5）;（6)；(7)＝；（8）2．（1)AB。x是等边三角形⇒x是等腰三角形;(2）AB。x≥2⇒x＞1；（3）C＝D．x是等腰直角三角形⇔x是有一个角是45°的直角三角形．3．,{0}，｛1}，{2}，{3｝，｛0,1｝，{0，2｝，｛0,3}，｛1，2}，｛1，3}，{2,3｝,{0,1,2｝，{0,1，3｝，{0，2,3}，｛1，2，3}，{0,1，2，3}．4．如图，ABCD。练习B1．(1）＝;（2）＝；（3）．2．（1)E＝F，x是两组对边分别平行的四边形⇔x是一组对边平行且相等的四边形；(2)HG，x是能被3整除的数⇒x是能被6整除的数．3．如图，BA；CA;DA；DB；DC；B∩C＝D.4．（1）正确；（2)错误;(3）正确；（4)错误；（5)错误；（6)正确．思考与讨论1．答：可能．例如：A＝{1，2，4｝，B＝{3,5，6｝,则A∩B＝.实际上，两个非空集合的交集可以用Venn图进行研究，如图所示．设A,B是非空集合,则①若AB，则A∩B＝A②若BC，则A∩B＝B③若A＝B,则A∩B＝A（B）④若A，B互不包含,且有公共部分,则A∩B是A，B中的公共元素⑤若A，B互不包含，且没有公共部分，则A∩B＝2．答：设l1,l2为两条直线（平面内)．若l1，l2平行，用集合语言表示为l1∩l2＝；若l1，l2重合,用集合语言可表示为l1∩l2＝l1＝l2.探索与研究1．解：A＝{高一年级参加数学小组的学生}，B＝｛高一年级参加足球队的学生}，则A∩B是既参加数学小组又参加足球队的学生组成的集合，A∪B是参加数学小组和参加足球队的所有学生组成的集合．如图，在相应于A∩B的区域里先填上4（card（A∩B)＝4），再在A中不含A∩B的区域里填上16(card(A）－card（A∩B)＝16),在B中不含A∩B的区域里填上4(card(B）－card（A∩B)＝4），最后将这三部分中的数加起来得24，即card（A∪B)＝24.推广：容易发现：card(A∪B）＝card(A）＋card(B)－card(A∩B）．2．解：如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B区域里的元素个数;③表示A∩B区域里的元素个数．则card(A∪B）表示A和B区域里所有的不同的元素个数，即card（A∪B)＝①＋②＋③；card（A)表示集合A表示的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；card（B)表示集合B所示的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③；注意到card(A)＋card(B）中③出现过两次，故需减掉一次，故有card(A)＋card（B）－card（A∩B）＝（①＋③）＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card（A∪B),公式得证．练习A1．（1）A∩B＝｛3,4}，（2)A∩C＝{1，3，4｝,(3)A∪B＝{1,2，3，4,5,6｝；(4）A∪C＝｛1,2，3，4，6}；(5）B∩C＝｛3，4,6｝；(6)A∩＝；(7）B∪C＝{1，3,4,5,6}；（8）C∪＝{1，3，4,6}．2．A∩B＝{b,d};A∪B＝{a，b，c，d，e，f｝．3．如图，显然A∩B＝A，A∪B＝B。4．A∩B＝{x|x2－16＝0}∩｛x｜x2－x－12＝0｝＝｛x|x2＝16}∩｛x|(x－4)(x＋3）＝0}＝｛－4,4}∩{－3，4}＝｛4}，A∪B＝{－4，4｝∪｛－3,4｝＝{－4,－3，4｝．5．A∪N＋＝｛x|x＝0或x是正整数}＝N。练习B1．成立．2．A∩B＝,A∪B＝{x|x为斜三角形}．3．A∩B＝｛(x，y）｜2x＋3y＝1｝∩{（x,y）|3x－2y＝3｝＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（(x，y）\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，，3x－2y＝3））)）))＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(（x，y)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(11，13），,y＝－\f（3,13)）))）)）＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(11,13),－\f(3,13)））））.4．满足A∪B＝A的集合有8个,满足A∩B＝B的集合有8个．练习A1．∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2,7，8}．2．∁UA＝｛x|x≥2}．3．∁UA＝{x|x≤－1或x≥1｝，∁UA∩U＝{x｜x≤－1或x≥1}＝∁UA，∁UA∪U＝U＝R，A∩∁UA＝，A∪∁UA＝U＝R.4．∁UA＝B，∁UB＝A。练习B1．∁UA＝{3，4,6}，∁UB＝{1,6},∁UA∩∁UB＝｛6｝，∁UA∪∁UB＝{1,3,4，6}．2．A＝｛α|0°＜α＜90°}，B＝｛α|90°＜α＜180°}，∁UA＝｛α｜90°≤α＜180°｝，∁UB＝{α｜0°＜α≤90°}，∁UA∩B＝｛α|90°＜α＜180°}＝B，∁UA∪∁UB＝U＝{α｜0°＜α＜180°｝．∵A∪B＝｛α｜0°＜α＜90°或90°＜α＜180°}，∴∁U(A∪B）＝{α｜α＝90°}＝{x|x是直角｝．3．B∩∁UA＝{x｜x是10的正整数倍｝．习题1－2A1．（1)不正确,应是集合与集合间关系的符号，应改为2∈{x∈R｜x≤10｝；（2）正确；(3)正确；(4）不正确，空集应是任何非空集合的真子集，应改为{x∈R|x≤10｝；(5)不正确，原因同(4）；(6）正确．2．（1）A⊆B；(2）B⊆A。3．(1)A∩B＝{3,4｝；B∩C＝｛6,7}；A∩C＝.（2)A∪B＝{1,2，3,4,5，6,7};B∪C＝｛3,4,5,6,7，8,9｝；A∪C＝｛1,2,3，4，6,7，8,9｝．4．5．A∩B＝{x｜x既是菱形又是矩形｝＝｛x｜x是正方形｝．6．A∩B＝B，A∪B＝A。7．A∩B＝{2，3,5,7｝∩｛1,3，5，7，9}＝{3，5,7}；A∪B＝{2，3,5,7}∪｛1,3,5，7,9}＝｛1，2，3,5，7,9｝．8．∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m2∈A且m2≠1，∴m2＝3或m2＝m。解得m＝±eq\r（3）或m＝0或m＝1.又m≠±1，∴m＝±eq\r（3)或m＝0。9．（1）∁UA＝{1，2，6，7,8｝，∁UB＝{1，2，3，5,6｝,∁UA∩∁UB＝｛1,2,6},∁UA∪∁UB＝｛1，2,3，5,6,7，8｝．（2）∵A∩B＝{4},∴∁U（A∩B）＝{1,2,3，5，6，7，8}．∵A∪B＝｛3，4,5，7,8｝,∴∁U（A∪B)＝{1，2，6}．故有∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB,∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB.习题1－2B1．A∩B＝{0，2，4},A∪B＝｛0,1，2,3，4，5,6，8｝．(1）A∩B∩C＝{0,2，4｝∩{4，5,6｝＝{4}；(2)A∪B∪C＝{0，1,2,3,4，5，6,8}∪{4,5，6}＝{0，1,2,3，4，5,6,8}；（3）(A∩B）∪C＝｛0,2,4｝∪｛4,5，6}＝｛0,2,4,5，6｝；（4）(A∪B）∩C＝{0，1，2，3,4,5,6,8｝∩{4，5，6}＝{4，5，6｝．2．