专题7.2 万有引力定律-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）（含答案）

专题7.2万有引力定律-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）（含答案）专题7.2万有引力定律【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1万有引力定律的发现】 【题型2月地检验】 【题型3割补法的应用】 【题型4引力常量的测定】 【题型5对比问题】 【题型6图像问题】 【题型7定量计算】 【题型8与几何知识综合】 【题型1万有引力定律的发现】【例1】根据中国航天局提供的资料，天和核心舱运行高度约392km；速度约7.68km/s。关于天和核心舱的说法，下列符合各位物理学家观点的是（）A．由亚里士多德观点可知，天和核心舱之所以飞行是因为没有受到任何作用力B．由伽利略观点可知，天和核心舱之所以一直飞行是因为受到了某推力作用C．由笛卡尔观点可知，天和核心舱如果没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球飞行D．由牛顿观点可知，天和核心舱无论是否受力都会保持静止或做匀速直线运动【变式1-1】物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列关于物理学史的说法正确的是（）A．地心说的代表人物是托勒密B．牛顿提出了万有引力定律，并测出了引力常量C．伽利略理想斜面实验证明了力是维持物体运动的原因D．第谷通过开普勒的观测数据得出了行星运动的三大规律【变式1-2】关于万有引力定律发现过程中的发展史和物理方法，下列描述正确的是A.日心说的代表人物是托勒密

B.开普勒提出行星运动规律，并发现了万有引力定律

C.牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星引力的表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是类比法

D.牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出了万有引力常量【变式1-3】(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中,属于牛顿的猜想的是()A.使行星沿圆轨道运动,需要一个指向圆心的力,这个力就是太阳对行星的吸引力B.行星运动的半径越大,其做圆周运动的周期越大C.行星运动的轨道是一个椭圆D.任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力【题型2月地检验】【例2】1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月-地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律。那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月-地检验”，需要验证（）A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的【变式2-1】下列说法正确的是(

)A.两个微观粒子之间也存在万有引力

B.月-地检验的结果证明了引力与重力式两种不同性质的力

C.牛顿发现了万有引力定律并测定了引力常量

D.由公式F=Gm1m2【变式2-2】下列关于物理学史的说法中正确的是（）A．在牛顿之前，亚里士多德、伽利略、笛卡儿等人就有了对力和运动的正确认识B．伽利略所处的时代不具备能较精确地测量自由落体运动时间的工具C．牛顿若能得到月球的具体运动数据，就能通过“地月检验”测算出地球的质量D．开普勒通过观测天体运动，积累下大量的数据，总结出行星运动三大定律【变式2-3】在人类历史发展的长河中，围绕万有引力的研究，物理学家们经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是(    )A.开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律

B.丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点

C.卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人

D.伽利略利用“地-月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用【题型3割补法的应用】【例3】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)【变式3-1】如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度()A．一直增大 B．一直减小C．先增大后减小 D．先减小后增大【变式3-2】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)【变式3-3】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是()A．eq\f(kgd,Gρ) B．eq\f(kgd2,Gρ)C．eq\f(1－kgd,Gρ) D．eq\f(1－kgd2,Gρ)【题型4引力常量的测定】【例4】关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是()A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值【变式4-1】在物理学发展的过程中，有许多科学家做出了重要的贡献。下列说法正确的是（）A．卡文迪许利用扭秤装置比较精确地测出引力常量B．牛顿总结出万有引力定律并用实验测出引力常量C．爱因斯坦的相对论指出在不同的参照系中测量到的光速是不同的D．开普勒总结了行星运动的规律，并找出行星按照这些规律运动的原因【变式4-2】卡文迪许测量引力常量的扭秤实验涉及的物理思想方法是()A．猜想假设法 B．微量放大法C．极限分析法 D．建模法【变式4-3】“吃水不忘挖井人”，我们必须铭记物理学家们的艰苦研究，巨大贡献，他们的付出，带来了人类科学进步，下面关于科学家做的贡献，说法正确的是（）A．开普勒独立观测了行星数据并总结出了开普勒三大定律B．牛顿通过扭称实验测出了万有引力常量C．卡文迪许被称为“第一个称量地球质量的人”D．爱因斯坦发现了相对论并成功推翻牛顿力学体系【题型5对比问题】【例5】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1B．9∶2C．36∶1 D．72∶1【变式5-1】火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5【变式5-2】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的()A．0.5倍 B．2.0倍C．4倍 D．8.0倍【变式5-3】(多选)地球和月球在长期相互作用过程中，形成了“潮汐锁定”月球总是一面正对地球，另一面背离地球，月球绕地球的运动可看成匀速圆周运动。以下说法正确的是()A．月球的公转周期与自转周期相同B．地球对月球的引力大于月球对地球的引力C．月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度D．若测得月球公转的周期和半径可估测月球质量【题型6图像问题】【例6】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是()【变式6-1】（多选）若在探测器“奔向”火星的过程中，用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0以及引力常量G已知。下列判断正确的是（）A．火星的半径为h0B．火星表面的重力加速度大小为a1C．火星表面的重力加速度大小为a2D．火星的质量为【变式6-2】2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功软着陆。用h表示着陆器与火星表面的距离，用F表示它所受的火星引力大小，则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，能够描述F随h变化关系的大致图像是（）A．B．C．D．【变式6-3】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是()【题型7定量计算】【例7】[多选]如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是()A．地球对一颗卫星的引力大小为eq\f(GMm,r－R2)B．一颗卫星对地球的引力大小为eq\f(GMm,r2)C．两颗卫星之间的引力大小为eq\f(Gm2,3r2)D．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq\f(3GMm,r2)【变式7-1】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A．太阳引力远小于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【变式7-2】“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图所示)，设木星为一球体．求：(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；(2)木星的第一宇宙速度．【变式7-3】如图所示，两球的半径分别为r1和r2，均小于r，且两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为_____________。【题型8与几何知识综合】【例8】2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为()A.eq\f(3πG,T2sin3\f(θ,2)) B.eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))C.eq\f(3π,GT2sin3θ) D.eq\f(3πG,T2sin3θ)【变式8-1】如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于()A．sin3θ B.eq\f(1,sin3θ)C.eq\r(sin3θ) D.eq\r(\f(1,sin3θ))【变式8-2】[多选]宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则()A．飞船绕地球运动的线速度为eq\f(2πR,Tsin\f(α,2))B．一天内飞船经历“日全食”的次数为eq\f(T,T0)C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为eq\f(αT0,2π)D．飞船周期为T＝eq\f(2πR,sin\f(α,2))eq\r(\f(R,GMsin\f(α,2)))【变式8-3】如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，下列说法不正确的是()A．轨道半径越大，周期越长B．张角越大，速度越大C．若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度

参考答案【题型1万有引力定律的发现】【例1】根据中国航天局提供的资料，天和核心舱运行高度约392km；速度约7.68km/s。关于天和核心舱的说法，下列符合各位物理学家观点的是（）A．由亚里士多德观点可知，天和核心舱之所以飞行是因为没有受到任何作用力B．由伽利略观点可知，天和核心舱之所以一直飞行是因为受到了某推力作用C．由笛卡尔观点可知，天和核心舱如果没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球飞行D．由牛顿观点可知，天和核心舱无论是否受力都会保持静止或做匀速直线运动【答案】C【解析】天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，万有引力指向地心，若没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球运行。【变式1-1】物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列关于物理学史的说法正确的是（）A．地心说的代表人物是托勒密B．牛顿提出了万有引力定律，并测出了引力常量C．伽利略理想斜面实验证明了力是维持物体运动的原因D．第谷通过开普勒的观测数据得出了行星运动的三大规律【答案】A【解析】地心说的代表人物是“托勒密”，故A正确；牛顿提出了万有引力定律，但卡文迪许最早用实验的方法测出了引力常量的数值，故B错误；伽利略用理想斜面实验证明了力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因，故C错误；开普勒通过第谷的观测数据得出了行星运动的三大规律，故D错误。故选A。【变式1-2】关于万有引力定律发现过程中的发展史和物理方法，下列描述正确的是A.日心说的代表人物是托勒密

B.开普勒提出行星运动规律，并发现了万有引力定律

C.牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星引力的表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是类比法

D.牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出了万有引力常量【答案】C【解析】托勒密是地心说的代表人物，故A错误；开普勒提出行星运动规律，牛顿发现了万有引力定律，故B错误；牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是类比法，故C正确；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验计算得出万有引力常量，故D错误;故选C。

【变式1-3】(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中,属于牛顿的猜想的是()A.使行星沿圆轨道运动,需要一个指向圆心的力,这个力就是太阳对行星的吸引力B.行星运动的半径越大,其做圆周运动的周期越大C.行星运动的轨道是一个椭圆D.任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力答案：AD解析：牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间),行星沿圆或椭圆运动,需要指向圆心或椭圆焦点的力,这个力是太阳对它的引力,选项AD正确;行星运动的半径越大,其做圆周运动的周期越大及行星运动的轨道是一个椭圆是由开普勒分析得出的结论,选项BC错误。【题型2月地检验】【例2】1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月-地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律。那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月-地检验”，需要验证（）A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的【答案】D【解析】“地月检验”是检验地球上的物体受到地球的引力与月球受到地球的引力是否时同一性质的力，在地球表面上在月球所在位置可得因此月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。【变式2-1】下列说法正确的是(

)A.两个微观粒子之间也存在万有引力

B.月-地检验的结果证明了引力与重力式两种不同性质的力

C.牛顿发现了万有引力定律并测定了引力常量

D.由公式F=Gm1m2【答案】A

【变式2-2】下列关于物理学史的说法中正确的是（）A．在牛顿之前，亚里士多德、伽利略、笛卡儿等人就有了对力和运动的正确认识B．伽利略所处的时代不具备能较精确地测量自由落体运动时间的工具C．牛顿若能得到月球的具体运动数据，就能通过“地月检验”测算出地球的质量D．开普勒通过观测天体运动，积累下大量的数据，总结出行星运动三大定律【答案】B【解析】在牛顿之前，伽利略、笛卡儿等人就有了对力和运动的正确认识，而亚里士多德认为力是维持物体运动的原因，这一认识是错误的，A错误；伽利略通过斜面实验研究匀变速直线运动，再合理外推到竖直方向，从而证明自由落体运动是匀变速直线运动，伽利略这样研究的原因是为了延长运动时间，可见当时并不具备能较精确地测量自由落体运动时间的工具，B正确；牛顿通过“地月检验”证明了天上月球受到的引力，与地上物体受到的引力是同一种力，即万有引力，通过“地月检验”并不能得到地球的质量，C错误；开普勒通过研究第谷观测天体运行得到的大量数据，从而总结出行星运动三定律，D错误。故选B。【变式2-3】在人类历史发展的长河中，围绕万有引力的研究，物理学家们经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是(    )A.开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律

B.丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点

C.卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人

D.伽利略利用“地-月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用【答案】C【解析】开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结出行星的运动三大定律，牛顿发现了万有引力定律，故A错误；哥白尼提出了“日心说”的观点，故B错误；卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人，故C正确；

牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用，故D错误。故选：C。【题型3割补法的应用】【例3】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)解析：选D若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为eq\f(R,2)的球，易知其质量为eq\f(1,8)M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正确。【变式3-1】如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度()A．一直增大 B．一直减小C．先增大后减小 D．先减小后增大解析：选D设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·eq\f(ρ·\f(4,3)πr3·m,r2)＝eq\f(4,3)πGρmr，物体的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(4,3)πGρr，由题意可知r先减小后增大，故选项D正确。【变式3-2】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)解析：选D由题意知，所挖出小球的半径为eq\f(R,2)，质量为eq\f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))2)＝eq\f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),2R2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，D选项正确。【变式3-3】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是()A．eq\f(kgd,Gρ) B．eq\f(kgd2,Gρ)C．eq\f(1－kgd,Gρ) D．eq\f(1－kgd2,Gρ)解析：选D如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝Geq\f(ρVm,d2)，解得：V＝eq\f(1－kgd2,Gρ)，D正确。【题型4引力常量的测定】【例4】关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是()A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值答案D解析开普勒对天体的运行做了多年的研究，最终得出了行星运行三大定律，故A错误；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用，引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比，故B错误；牛顿通过比较月球公转的周期，根据万有引力充当向心力，对万有引力定律进行了“月地检验”，故C错误；牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许，故D正确．【变式4-1】在物理学发展的过程中，有许多科学家做出了重要的贡献。下列说法正确的是（）A．卡文迪许利用扭秤装置比较精确地测出引力常量B．牛顿总结出万有引力定律并用实验测出引力常量C．爱因斯坦的相对论指出在不同的参照系中测量到的光速是不同的D．开普勒总结了行星运动的规律，并找出行星按照这些规律运动的原因【答案】A【解析】牛顿总结出万有引力定律，卡文迪许利用扭秤装置比较精确地测出引力常量，故A正确，B错误；爱因斯坦的相对论指出在不同的参照系中测量到的光速是相同的，故C错误；开普勒总结了行星运动的规律，她并没有找出行星按照这些规律运动的原因，故D错误。故选A。【变式4-2】卡文迪许测量引力常量的扭秤实验涉及的物理思想方法是()A．猜想假设法 B．微量放大法C．极限分析法 D．建模法解析卡文迪许测量引力常量的扭秤实验采用了微量放大的思想方法，正确选项为B。答案B【变式4-3】“吃水不忘挖井人”，我们必须铭记物理学家们的艰苦研究，巨大贡献，他们的付出，带来了人类科学进步，下面关于科学家做的贡献，说法正确的是（）A．开普勒独立观测了行星数据并总结出了开普勒三大定律B．牛顿通过扭称实验测出了万有引力常量C．卡文迪许被称为“第一个称量地球质量的人”D．爱因斯坦发现了相对论并成功推翻牛顿力学体系【答案】C【解析】开普勒通过研究他的老师第谷的观测的行星数据，总结出了开普勒三大定律，故A错误；卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量G，被称为第一个“称”出地球质量的人，故B错误，C正确；以牛顿运动定律和万有引力定律为基础的经典力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，爱因斯坦发现的相对论并没有推翻牛顿力学体系，只是说明牛顿的体系不适用于微观、高速的领域，故D错误。【题型5对比问题】【例5】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1B．9∶2C．36∶1 D．72∶1解析：选B在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力，则F祝＝Geq\f(M火m祝,R火2)，F玉＝Geq\f(M月m玉,R月2)，其中，eq\f(M火,M月)＝eq\f(9,1)，eq\f(R火,R月)＝eq\f(2,1)，eq\f(m祝,m玉)＝eq\f(2,1)，代入数据解得：F祝∶F玉＝9∶2,故B正确，A、C、D错误。【变式5-1】火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析万有引力表达式为F＝Geq\f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，选项B正确．【变式5-2】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的()A．0.5倍 B．2.0倍C．4倍 D．8.0倍解析由题可知该星球的M＝2M0，R＝eq\f(1,2)R0，R0为地球半径，M0为地球的质量，设宇航员质量m，则宇航员在星球上的万有引力为F＝eq\f(GMm,R2)，在地球上的万有引力为F0＝eq\f(GM0m,Req\o\al(2,0))，可求得F＝8F0，故本题正确选项为D。答案D【变式5-3】(多选)地球和月球在长期相互作用过程中，形成了“潮汐锁定”月球总是一面正对地球，另一面背离地球，月球绕地球的运动可看成匀速圆周运动。以下说法正确的是()A．月球的公转周期与自转周期相同B．地球对月球的引力大于月球对地球的引力C．月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度D．若测得月球公转的周期和半径可估测月球质量解析：选AC“潮汐锁定”月球总是一面正对地球，另一面背离地球，分析可知，月球的公转周期与自转周期相同，故A正确；根据牛顿第三定律，可知地球对月球的引力等于月球对地球的引力，故B错误；由于月球总是一面正对地球，所以月球上远地端与近地端角速度相同，根据公式a＝ω2r可知，半径大的向心加速度大，即月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度，故C正确；若测得月球公转的周期和半径可估测地球的质量，月球质量被约去，不可估测月球质量，故D错误。【题型6图像问题】【例6】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是()答案A解析因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝eq\f(GM1m,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πx3ρ·m,x2)＝eq\f(4,3)Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝eq\f(GMm,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πR3ρ·m,x2)＝eq\f(4GπρmR3,3x2)∝eq\f(1,x2)，故选项A正确．【变式6-1】（多选）若在探测器“奔向”火星的过程中，用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0以及引力常量G已知。下列判断正确的是（）A．火星的半径为h0B．火星表面的重力加速度大小为a1C．火星表面的重力加速度大小为a2D．火星的质量为【答案】BD【解析】分析题图可知，万有引力提供向心力，有当h=h0时，有联立解得R=h0故A错误；D正确；当h=0时，探测器绕火星表面运行，火星表面的重力加速度大小为a1。故B正确；C错误。【变式6-2】2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功软着陆。用h表示着陆器与火星表面的距离，用F表示它所受的火星引力大小，则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，能够描述F随h变化关系的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由万有引力定律可得着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，随着h减小，F非线性增大，对比图线可知，C选项的图像符合题意。【变式6-3】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是()答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.【题型7定量计算】【例7】[多选]如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是()A．地球对一颗卫星的引力大小为eq\f(GMm,r－R2)B．一颗卫星对地球的引力大小为eq\f(GMm,r2)C．两颗卫星之间的引力大小为eq\f(Gm2,3r2)D．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq\f(3GMm,r2)解析：选BC由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos30°＝eq\r(3)r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。【变式7-1】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A．太阳引力远小于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异解析根据F＝Geq\f(Mm,R2)可得，eq\f(F太,F月)＝eq\f(M太Req\o\al(2,月),M月Req\o\al(2,太))，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力，A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，D正确，C错误。答案D【变式7-2】“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图所示)，设木星为一球体．求：(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；(2)木星的第一宇宙速度．答案(1)eq\f(vt,2πN)(2)eq\f(v,\r(sin\f(θ,2)))解析(1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r，由v＝eq\f(2πr,T)可得：r＝eq\f(vT,2π)由题意可知，T＝eq\f(t,N)联立解得r＝eq\f(vt,2πN)(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，Geq\f(mM,r2)＝meq\f(v2,r).设木星的第一宇宙速度为v0，有，Geq\f(m′M,R2)＝m′eq\f(v\o\al(2,0),R)联立解得：v0＝eq\r(\f(r,R))v由题意可知R＝rsineq\f(θ,2)，解得：v0＝eq\f(v,\r(sin\f(θ,2))).【变式7-3】如图所示，两球的半径分别为r1和r2，均小于r，且两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为_____________。【答案】【解析】根据万有引力定律可知【题型8与几何知识综合】【例8】2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为()A.eq\f(3πG,T2sin3\f(θ,2)) B.eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))C.eq\f(3π,GT2sin3θ) D.eq\f(3πG,T2sin3θ)解析：选B“04星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，设地球半径为R，则由题图知rsineq\f(θ,2)＝R，而M＝eq\f(4πR3,3)ρ，联立得ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，B对。【变式8-1】如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于()A．sin3θ B.eq\f(1,sin3θ)C.eq\r(sin3θ) D.eq\r(\f(1,sin3θ))解析：选D设M、N的轨道半径分别为RM、RN。据题，卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：根据几何关系有RN＝RMsinθ，根据开普勒第三定律有：eq\f(RM3,RN3)＝eq\f(TM2,TN2)联立解得eq\f(TM,TN)＝eq\r(\f(1,sin3θ))，故D正确。【变式8-2】[多选]宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则()A．飞船绕地球运动的线速度为eq\f(2πR,Tsin\f(α,2))B．一天内飞船经历“日全食”的次数为eq\f(T,T0)C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为eq\f(αT0,2π)D．飞船周期为T＝eq\f(2πR,sin\f(α,2))eq\r(\f(R,GMsin\f(α,2)))解析：选AD由题意得，飞船绕地球做匀速圆周运动的线速度v＝eq\f(2πr,T)，由几何关系得sineq\f(α,2)＝eq\f(R,r)，故v＝eq\f(2πR,Tsin\f(α,2))，A正确；又eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝eq\f(2πR,sin\f(α,2))eq\r(\f(R,GMsin\f(α,2)))，D正确；飞船每次经历“日全食”过程的时间等于飞船相对地球转过α角的时间，即eq\f(α,2π)T，C错误；地球自转一圈的时间为T0，飞船绕地球一圈的时间为T，飞船绕一圈会经历一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，一天内飞船经历“日全食”的次数为eq\f(T0,T)，B错误。【变式8-3】如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，下列说法不正确的是()A．轨道半径越大，周期越长B．张角越大，速度越大C．若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度解析：选D根据开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可知轨道半径越大，飞行器的周期越长，故A正确；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，由几何关系得R＝rsineq\f(θ,2)，由以上两式可得张角越大，轨道半径越小，速度越大，故B正确；又由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，星球的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，可知：若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故C正确；由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但是星球的半径未知，不能求出星球的平均密度，故D错误。专题7.2万有引力定律【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1万有引力定律的发现】 【题型2月地检验】 【题型3割补法的应用】 【题型4引力常量的测定】 【题型5对比问题】 【题型6图像问题】 【题型7定量计算】 【题型8与几何知识综合】 【题型1万有引力定律的发现】【例1】根据中国航天局提供的资料，天和核心舱运行高度约392km；速度约7.68km/s。关于天和核心舱的说法，下列符合各位物理学家观点的是（）A．由亚里士多德观点可知，天和核心舱之所以飞行是因为没有受到任何作用力B．由伽利略观点可知，天和核心舱之所以一直飞行是因为受到了某推力作用C．由笛卡尔观点可知，天和核心舱如果没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球飞行D．由牛顿观点可知，天和核心舱无论是否受力都会保持静止或做匀速直线运动【答案】C【解析】天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，万有引力指向地心，若没有受到力的作用，它将沿直线运动而不会绕地球运行。【变式1-1】物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列关于物理学史的说法正确的是（）A．地心说的代表人物是托勒密B．牛顿提出了万有引力定律，并测出了引力常量C．伽利略理想斜面实验证明了力是维持物体运动的原因D．第谷通过开普勒的观测数据得出了行星运动的三大规律【答案】A【解析】地心说的代表人物是“托勒密”，故A正确；牛顿提出了万有引力定律，但卡文迪许最早用实验的方法测出了引力常量的数值，故B错误；伽利略用理想斜面实验证明了力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因，故C错误；开普勒通过第谷的观测数据得出了行星运动的三大规律，故D错误。故选A。【变式1-2】关于万有引力定律发现过程中的发展史和物理方法，下列描述正确的是A.日心说的代表人物是托勒密

B.开普勒提出行星运动规律，并发现了万有引力定律

C.牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星引力的表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是类比法

D.牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出了万有引力常量【答案】C【解析】托勒密是地心说的代表人物，故A错误；开普勒提出行星运动规律，牛顿发现了万有引力定律，故B错误；牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是类比法，故C正确；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验计算得出万有引力常量，故D错误;故选C。

【变式1-3】(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中,属于牛顿的猜想的是()A.使行星沿圆轨道运动,需要一个指向圆心的力,这个力就是太阳对行星的吸引力B.行星运动的半径越大,其做圆周运动的周期越大C.行星运动的轨道是一个椭圆D.任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力答案：AD解析：牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间),行星沿圆或椭圆运动,需要指向圆心或椭圆焦点的力,这个力是太阳对它的引力,选项AD正确;行星运动的半径越大,其做圆周运动的周期越大及行星运动的轨道是一个椭圆是由开普勒分析得出的结论,选项BC错误。【题型2月地检验】【例2】1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月-地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律。那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月-地检验”，需要验证（）A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的【答案】D【解析】“地月检验”是检验地球上的物体受到地球的引力与月球受到地球的引力是否时同一性质的力，在地球表面上在月球所在位置可得因此月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。【变式2-1】下列说法正确的是(

)A.两个微观粒子之间也存在万有引力

B.月-地检验的结果证明了引力与重力式两种不同性质的力

C.牛顿发现了万有引力定律并测定了引力常量

D.由公式F=Gm1m2【答案】A

【变式2-2】下列关于物理学史的说法中正确的是（）A．在牛顿之前，亚里士多德、伽利略、笛卡儿等人就有了对力和运动的正确认识B．伽利略所处的时代不具备能较精确地测量自由落体运动时间的工具C．牛顿若能得到月球的具体运动数据，就能通过“地月检验”测算出地球的质量D．开普勒通过观测天体运动，积累下大量的数据，总结出行星运动三大定律【答案】B【解析】在牛顿之前，伽利略、笛卡儿等人就有了对力和运动的正确认识，而亚里士多德认为力是维持物体运动的原因，这一认识是错误的，A错误；伽利略通过斜面实验研究匀变速直线运动，再合理外推到竖直方向，从而证明自由落体运动是匀变速直线运动，伽利略这样研究的原因是为了延长运动时间，可见当时并不具备能较精确地测量自由落体运动时间的工具，B正确；牛顿通过“地月检验”证明了天上月球受到的引力，与地上物体受到的引力是同一种力，即万有引力，通过“地月检验”并不能得到地球的质量，C错误；开普勒通过研究第谷观测天体运行得到的大量数据，从而总结出行星运动三定律，D错误。故选B。【变式2-3】在人类历史发展的长河中，围绕万有引力的研究，物理学家们经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是(    )A.开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律

B.丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点

C.卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人

D.伽利略利用“地-月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用【答案】C【解析】开普勒通过分析第谷的天文观测数据，总结出行星的运动三大定律，牛顿发现了万有引力定律，故A错误；哥白尼提出了“日心说”的观点，故B错误；卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人，故C正确；

牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用，故D错误。故选：C。【题型3割补法的应用】【例3】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)解析：选D若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为eq\f(R,2)的球，易知其质量为eq\f(1,8)M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正确。【变式3-1】如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度()A．一直增大 B．一直减小C．先增大后减小 D．先减小后增大解析：选D设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·eq\f(ρ·\f(4,3)πr3·m,r2)＝eq\f(4,3)πGρmr，物体的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(4,3)πGρr，由题意可知r先减小后增大，故选项D正确。【变式3-2】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)解析：选D由题意知，所挖出小球的半径为eq\f(R,2)，质量为eq\f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))2)＝eq\f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),2R2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，D选项正确。【变式3-3】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是()A．eq\f(kgd,Gρ) B．eq\f(kgd2,Gρ)C．eq\f(1－kgd,Gρ) D．eq\f(1－kgd2,Gρ)解析：选D如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝Geq\f(ρVm,d2)，解得：V＝eq\f(1－kgd2,Gρ)，D正确。【题型4引力常量的测定】【例4】关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是()A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值答案D解析开普勒对天体的运行做了多年的研究，最终得出了行星运行三大定律，故A错误；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用，引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比，故B错误；牛顿通过比较月球公转的周期，根据万有引力充当向心力，对万有引力定律进行了“月地检验”，故C错误；牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许，故D正确．【变式4-1】在物理学发展的过程中，有许多科学家做出了重要的贡献。下列说法正确的是（）A．卡文迪许利用扭秤装置比较精确地测出引力常量B．牛顿总结出万有引力定律并用实验测出引力常量C．爱因斯坦的相对论指出在不同的参照系中测量到的光速是不同的D．开普勒总结了行星运动的规律，并找出行星按照这些规律运动的原因【答案】A【解析】牛顿总结出万有引力定律，卡文迪许利用扭秤装置比较精确地测出引力常量，故A正确，B错误；爱因斯坦的相对论指出在不同的参照系中测量到的光速是相同的，故C错误；开普勒总结了行星运动的规律，她并没有找出行星按照这些规律运动的原因，故D错误。故选A。【变式4-2】卡文迪许测量引力常量的扭秤实验涉及的物理思想方法是()A．猜想假设法 B．微量放大法C．极限分析法 D．建模法解析卡文迪许测量引力常量的扭秤实验采用了微量放大的思想方法，正确选项为B。答案B【变式4-3】“吃水不忘挖井人”，我们必须铭记物理学家们的艰苦研究，巨大贡献，他们的付出，带来了人类科学进步，下面关于科学家做的贡献，说法正确的是（）A．开普勒独立观测了行星数据并总结出了开普勒三大定律B．牛顿通过扭称实验测出了万有引力常量C．卡文迪许被称为“第一个称量地球质量的人”D．爱因斯坦发现了相对论并成功推翻牛顿力学体系【答案】C【解析】开普勒通过研究他的老师第谷的观测的行星数据，总结出了开普勒三大定律，故A错误；卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量G，被称为第一个“称”出地球质量的人，故B错误，C正确；以牛顿运动定律和万有引力定律为基础的经典力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，爱因斯坦发现的相对论并没有推翻牛顿力学体系，只是说明牛顿的体系不适用于微观、高速的领域，故D错误。【题型5对比问题】【例5】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1B．9∶2C．36∶1 D．72∶1解析：选B在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力，则F祝＝Geq\f(M火m祝,R火2)，F玉＝Geq\f(M月m玉,R月2)，其中，eq\f(M火,M月)＝eq\f(9,1)，eq\f(R火,R月)＝eq\f(2,1)，eq\f(m祝,m玉)＝eq\f(2,1)，代入数据解得：F祝∶F玉＝9∶2,故B正确，A、C、D错误。【变式5-1】火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析万有引力表达式为F＝Geq\f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，选项B正确．【变式5-2】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的()A．0.5倍 B．2.0倍C．4倍 D．8.0倍解析由题可知该星球的M＝2M0，R＝eq\f(1,2)R0，R0为地球半径，M0为地球的质量，设宇航员质量m，则宇航员在星球上的万有引力为F＝eq\f(GMm,R2)，在地球上的万有引力为F0＝eq\f(GM0m,Req\o\al(2,0))，可求得F＝8F0，故本题正确选项为D。答案D【变式5-3】(多选)地球和月球在长期相互作用过程中，形成了“潮汐锁定”月球总是一面正对地球，另一面背离地球，月球绕地球的运动可看成匀速圆周运动。以下说法正确的是()A．月球的公转周期与自转周期相同B．地球对月球的引力大于月球对地球的引力C．月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度D．若测得月球公转的周期和半径可估测月球质量解析：选AC“潮汐锁定”月球总是一面正对地球，另一面背离地球，分析可知，月球的公转周期与自转周期相同，故A正确；根据牛顿第三定律，可知地球对月球的引力等于月球对地球的引力，故B错误；由于月球总是一面正对地球，所以月球上远地端与近地端角速度相同，根据公式a＝ω2r可知，半径大的向心加速度大，即月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度，故C正确；若测得月球公转的周期和半径可估测地球的质量，月球质量被约去，不可估测月球质量，故D错误。【题型6图像问题】【例6】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是()答案A解析因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝eq\f(GM1m,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πx3ρ·m,x2)＝eq\f(4,3)Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝eq\f(GMm,x2)＝eq\f(G·\f(4,3)πR3ρ·m,x2)＝eq\f(4GπρmR3,3x2)∝eq\f(1,x2)，故选项A正确．【变式6-1】（多选）若在探测器“奔向”火星的过程中，用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0以及引力常量G已知。下列判断正确的是（）A．火星的半径为h0B．火星表面的重力加速度大小为a1C．火星表面的重力加速度大小为a2D．火星的质量为【答案】BD【解析】分析题图可知，万有引力提供向心力，有当h=h0时，有联立解得R=h0故A错误；D正确；当h=0时，探测器绕火星表面运行，火星表面的重力加速度大小为a1。故B正确；C错误。【变式6-2】2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功软着陆。用h表示着陆器与火星表面的距离，用F表示它所受的火星引力大小，则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，能够描述F随h变化关系的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由万有引力定律可得着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，随着h减小，F非线性增大，对比图线可知，C选项的图像符合题意。【变式6-3】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是()答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.【题型7定量计算】【例7】[多选]如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是()A．地球对一颗卫星的引力大小为eq\f(GMm,r－R2)B．一颗卫星对地球的引力大小为eq\f(GMm,r2)C．两颗卫星之间的引力大小为eq\f(Gm2,3r2)D．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq\f(3GMm,r2)解析：选BC由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos30°＝eq\r(3)r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。【变式7-1】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A．太阳引力远小于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异解析根据F＝Geq\f(Mm,R2)可得，eq\f(F太,F月)＝eq\f(M太Req\o\al(2,月),M月Req\o\al(2,太))，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力，A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，D正确，C错误。答案D【变式7-2】“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图所示)，设木星为一球体．求：(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；(2)木星的第一宇宙速度．答案(1)eq\f(vt,2πN)(2)eq\f(v,\r(sin\f(θ,2)))解析(1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r，由v＝eq\f(2πr,T)可得：r＝eq\f(vT,2π)由题意可知，T＝eq\f(t,N)联立解得r＝eq\f(vt,2πN)(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，Geq\f(mM,r2)＝meq\f(v2,r).设木星的第一宇宙速度为v0，有，Geq\f(m′M,R2)＝m′eq\f(v\o\al(2,0),R)联立解得：v0＝eq\r(\f(r,R))v由题意可知R＝rsineq\f(θ,2)，解得：v0＝eq\f(v,\r(sin\f(θ,2))).【变式7-3】如图所示，两球的半径分别为r1和r2，均小于r，且两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为_____________。【答案】【解析】根据万有引力定律可知【题型8与几何知识综合】【例8】2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为()A.eq\f(3πG,T2sin3\f(θ,2)) B.eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))C.eq\f(3π,GT2sin3θ) D.eq\f(3πG,T2sin3θ)解析：选B“04星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，设地球半径为R，则由题图知rsineq\f(θ,2)＝R，而M＝eq\f(4πR3,3)ρ，联立得ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，B对。【变式8-1】如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于()A．sin3θ B.eq\f(1,sin3θ)C.eq\r(sin3θ) D.eq\r(\f(1,sin3θ))解析：选D设M、N的轨道半径分别为RM、RN。据题，卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：根据几何关系有RN＝RMsinθ，根据开普勒第三定律有：eq\f(RM3,RN3)＝eq\f(TM2,TN2)联立解得eq\f(TM,TN)＝eq\r(\f(1,sin3θ))，故D正确。【变式8-2】[多选]宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则()A．飞船绕地球运动的线速度为eq\f(2πR,Tsin\f(α,2))B．一天内飞船经历“日全食”的次数为eq\f(T,T0)C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为eq\f(αT0,2π)D．飞船周期为T＝eq\f(2πR,sin\f(α,2))eq\r(\f(R,GMsin\f(α,2)))解析：选AD由题意得，飞船绕地球做匀速圆周运动的线速度v＝eq\f(2πr,T)，由几何关系得sineq\f(α,2)＝eq\f(R,r)，故v＝eq\f(2πR,Tsin\f(α,2))，A正确；又eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝eq\f(2πR,sin\f(α,2))eq\r(\f(R,GMsin\f(α,2)))，D正确；飞船每次经历“日全食”过程的时间等于飞船相对地球转过α角的时间，