专题2.8 电磁感应中的平衡、动力学问题-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第二册）（含答案）

专题2.8电磁感应中的平衡、动力学问题-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第二册）（含答案）专题2.8电磁感应中的平衡、动力学问题【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1电磁感应中的平衡问题】 【题型2一根导体杆沿水平面判断切割的动力学问题】 【题型3一根导体棒沿斜面平动切割中的动力学问题】 【题型4导线框平动切割中的动力学问题】 【题型5动态分析问题】 【题型1电磁感应中的平衡问题】【例1】轻质细线吊着一质量为m＝0.42kg、边长为L＝1m、匝数n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10m/s2)(1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针；(2)求线圈的电功率；(3)求在t＝4s时轻质细线的拉力大小。【变式1-1】如图所示，MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d，导轨所在平面与水平面成θ角，M、P间接阻值为R的电阻．匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B.质量为m、阻值为r的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动．已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g.求：(1)金属棒产生的感应电动势E；(2)通过电阻R的电流I；(3)拉力F的大小．【变式1-2】如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求：(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；(2)金属棒运动速度的大小．【变式1-3】如图所示，两根相距L＝1m的足够长的光滑金属导轨，一组导轨水平，另一组导轨与水平面成37°角，拐角处连接一阻值R＝1Ω的电阻．质量均为m＝2kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，导轨电阻不计，两杆的电阻均为R＝1Ω.整个装置处于磁感应强度大小B＝1T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆静止．g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)水平拉力的功率；(2)现让cd杆静止，求撤去拉力后ab杆产生的焦耳热．【题型2一根导体杆沿水平面切割的动力学问题】【例2】(多选)如图，水平固定的光滑U型金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L.一金属棒从导轨右端以大小为v的速度滑上导轨，金属棒最终停在导轨上，已知金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R，金属棒与导轨始终接触良好，不计导轨的电阻，则()A．金属棒静止前做匀减速直线运动B．金属棒刚滑上导轨时的加速度最大C．金属棒速度为eq\f(v,2)时的加速度是刚滑上导轨时加速度的eq\f(1,2)D．金属棒从滑上导轨到静止的过程中产生的热量为eq\f(B2L3v,R)【变式2-1】如图所示，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上，t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。【变式2-2】如图甲所示，水平面内的直角坐标系的第一象限内有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，沿x轴方向的变化趋势如图乙所示，B与x的函数关系为B＝eq\f(1,x)。顶角θ＝45°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨接触良好。已知t＝0时，导体棒位于顶点O处，导体棒的质量m＝2kg，OM、ON接触处O点的接触电阻R＝0.5Ω，其余电阻不计。导体棒产生的感应电动势E与时间t的关系如图丙所示，图线是过原点的直线，求：(1)t＝2s时流过导体棒的电流I2的大小；(2)1～2s时间内回路中流过的电荷量q的大小；(3)导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式。【变式2-3】如图甲所示，间距为L＝0.5m的两条平行金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.2T，轨道左侧连接一定值电阻R＝1Ω.垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，并始终与导轨接触良好．t＝0时刻，导体棒从静止开始做匀加速直线运动，力F随时间t变化的规律如图乙所示．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒和导轨的电阻均不计．取g＝10m/s2，求：(1)导体棒的加速度大小；(2)导体棒的质量．【题型3一根导体棒沿斜面平动切割中的动力学问题】【例3】(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动．整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8N，经过2s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨．已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1kg、电阻为1Ω，磁感应强度大小为1T，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列说法正确的是()A．拉力F是恒力B．拉力F随时间t均匀增加C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12ND．金属杆运动的加速度大小为2m/s2【变式3-1】如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2Ω的电阻．匀强(1)金属棒产生的感应电动势的最大值；(2)当金属棒速度为向上3m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率；(3)金属棒在0<t<2s、2s<t<4s内外力F随时间t变化的函数关系式．【变式3-2】如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R＝2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度为a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求：(1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零；(2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率；(3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系．【变式3-3】(多选)如图所示，两根足够长、电阻不计且相距L＝0.2m的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶端接有一盏额定电压U＝4V的小灯泡，两导轨间有一磁感应强度大小B＝5T、方向垂直斜面向上的匀强磁场．今将一根长为L、质量为m＝0.2kg、电阻r＝1.0Ω的金属棒垂直于导轨放置在顶端附近无初速度释放，金属棒与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.25，已知金属棒下滑到速度稳定时，小灯泡恰能正常发光，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则()A．金属棒刚开始运动时的加速度大小为3m/s2B．金属棒刚开始运动时的加速度大小为4m/s2C．金属棒稳定下滑时的速度大小为9.6m/sD．金属棒稳定下滑时的速度大小为4.8m/s【题型4导线框平动切割中的动力学问题】【例4】(多选)如图甲所示，光滑绝缘水平面，虚线MN的右侧存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场，MN的左侧有一质量为m＝0.1kg的矩形线圈bcde，bc边长L1＝0.2m，电阻R＝2Ω.t＝0时，用一恒定拉力F拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过1s，线圈的bc边到达磁场边界MN，此时立即将拉力F改为变力，又经过1s，线圈恰好完全进入磁场，在整个运动过程中，线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示．则()A．恒定拉力大小为0.05NB．线圈在第2s内的加速度大小为1m/s2C．线圈be边长L2＝0.5mD．在第2s内流过线圈的电荷量为0.2C【变式4-1】(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是()A．甲和乙都加速运动B．甲和乙都减速运动C．甲加速运动，乙减速运动D．甲减速运动，乙加速运动【变式4-2】如图，足够长的磁铁在空隙产生一个径向辐射状磁场，一个圆形细金属环与磁铁中心圆柱同轴，由静止开始下落，经过时间t，速度达最大值v，此过程中环面始终水平。已知金属环质量为m、半径为r、电阻为R，金属环下落过程中所经过位置的磁感应强度大小均为B，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（）A.在俯视图中，环中感应电流沿逆时针方向B.环中最大的感应电流大小为C.环下落过程中一直处于超重状态D.t时间内通过金属环横截面的电荷量为【变式4-3】（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1:4，高为线框在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是()A.边刚进入磁场时，线框的速度为B.边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为C.边刚进入磁场时，线框加速度的大小为D.从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为【题型5动态分析问题】【例5】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则()A．S拨到2的瞬间，L1中的电流大于L2B．S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d【变式5-1】(多选)如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，倾角为θ，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现由静止释放金属棒ab，假定电容器不会被击穿，忽略一切电阻，则下列说法正确的是()A．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势B．金属棒ab匀加速下滑C．金属棒ab最终可能匀速下滑D．金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能【变式5-2】(多选)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后()A．金属框的速度大小趋于恒定值B．金属框的加速度大小趋于恒定值C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值【变式5-3】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则()A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝eq\f(Blv0R,R＋r)，且a点电势高于b点电势B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝eq\f(mv0,m＋B2l2C)D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势参考答案【题型1电磁感应中的平衡问题】【例1】轻质细线吊着一质量为m＝0.42kg、边长为L＝1m、匝数n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10m/s2)(1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针；(2)求线圈的电功率；(3)求在t＝4s时轻质细线的拉力大小。解析：(1)由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向。(2)由法拉第电磁感应定律得E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝n·eq\f(1,2)L2eq\f(ΔB,Δt)＝0.5V则P＝eq\f(E2,r)＝0.25W。(3)通过线圈的电流I＝eq\f(E,r)＝0.5A，由题图乙可知当t＝4s时，B＝0.6T，线圈受到的安培力F安＝nBIL由平衡条件得F安＋F线＝mg联立解得F线＝1.2N。答案：(1)逆时针(2)0.25W(3)1.2N【变式1-1】如图所示，MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d，导轨所在平面与水平面成θ角，M、P间接阻值为R的电阻．匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B.质量为m、阻值为r的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动．已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g.求：(1)金属棒产生的感应电动势E；(2)通过电阻R的电流I；(3)拉力F的大小．答案(1)Bdv(2)eq\f(Bdv,R＋r)(3)mgsinθ＋eq\f(B2d2v,R＋r)解析(1)根据法拉第电磁感应定律得E＝Bdv.(2)根据闭合电路欧姆定律得I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(Bdv,R＋r)(3)导体棒的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有F－F安－mgsinθ＝0，又因为F安＝BId＝eq\f(B2d2v,R＋r)，所以F＝mgsinθ＋eq\f(B2d2v,R＋r).【变式1-2】如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求：(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；(2)金属棒运动速度的大小．答案(1)mg(sinθ－3μcosθ)(2)(sinθ－3μcosθ)eq\f(mgR,B2L2)解析(1)由于ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是相等，cd也做匀速直线运动．设导线的张力的大小为FT，右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为FN2，对于ab棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得甲乙2mgsinθ＝μFN1＋FT＋F ①FN1＝2mgcosθ ②对于cd棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得mgsinθ＋μFN2＝FT′＝FT ③FN2＝mgcosθ ④联立①②③④式得：F＝mg(sinθ－3μcosθ) ⑤(2)设金属棒运动速度大小为v，ab棒上的感应电动势为E＝BLv ⑥回路中电流I＝eq\f(E,R) ⑦安培力F＝BIL ⑧联立⑤⑥⑦⑧得：v＝(sinθ－3μcosθ)eq\f(mgR,B2L2).【变式1-3】如图所示，两根相距L＝1m的足够长的光滑金属导轨，一组导轨水平，另一组导轨与水平面成37°角，拐角处连接一阻值R＝1Ω的电阻．质量均为m＝2kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，导轨电阻不计，两杆的电阻均为R＝1Ω.整个装置处于磁感应强度大小B＝1T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆静止．g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)水平拉力的功率；(2)现让cd杆静止，求撤去拉力后ab杆产生的焦耳热．答案(1)864W(2)864J解析(1)cd杆静止，由平衡条件可得mgsinθ＝BIL，解得I＝12A由闭合电路欧姆定律得2I＝eq\f(BLv,R＋\f(R,2))，得v＝36m/s水平拉力F＝2BIL＝24N，水平拉力的功率P＝Fv＝864W(2)撤去外力后ab杆在安培力作用下做减速运动，安培力做负功，先将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为整个电路产生的焦耳热，即焦耳热等于杆的动能的减小量，有Q＝ΔEk＝eq\f(1,2)mv2＝1296J而Q＝I′2·eq\f(3,2)R·t，ab杆产生的焦耳热Q′＝I′2·R·t，所以Q′＝eq\f(2,3)Q＝864J.【题型2一根导体杆沿水平面切割的动力学问题】【例2】(多选)如图，水平固定的光滑U型金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L.一金属棒从导轨右端以大小为v的速度滑上导轨，金属棒最终停在导轨上，已知金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R，金属棒与导轨始终接触良好，不计导轨的电阻，则()A．金属棒静止前做匀减速直线运动B．金属棒刚滑上导轨时的加速度最大C．金属棒速度为eq\f(v,2)时的加速度是刚滑上导轨时加速度的eq\f(1,2)D．金属棒从滑上导轨到静止的过程中产生的热量为eq\f(B2L3v,R)答案BC解析导体棒切割磁感线产生的电动势为E＝BLv，产生的电流为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BLv,R)，则导体棒受水平向右的安培力，产生的加速度为a＝eq\f(F,m)＝eq\f(BIL,m)＝eq\f(B2L2v,mR)，故导体棒做加速度减小且速度减小的变加速直线运动，而金属棒刚滑上轨道时速度最大，加速度最大，故A错误，B正确；金属棒的加速度a＝eq\f(BIL,m)＝eq\f(B2L2v,mR)，a∝v，当速度变为eq\f(v,2)时，加速度变为原来的eq\f(1,2)，故C正确；金属棒从滑上导轨到静止，仅受安培力作用，安培力做负功，则减少的动能转化为增加的电能，转变为热能，故由能量守恒定律有Q＝eq\f(1,2)mv2，故D错误．【变式2-1】如图所示，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上，t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。[解析](1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma①设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v＝at0②当金属杆以速度v在磁场中匀速运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为E＝Blv ③联立①②③式可得E＝Blt0。 ④(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq\f(E,R) ⑤式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为F安＝BlI⑥因金属杆做匀速运动，有F－μmg－F安＝0⑦联立④⑤⑥⑦式得R＝eq\f(B2l2t0,m)。[答案](2)eq\f(B2l2t0,m)【变式2-2】如图甲所示，水平面内的直角坐标系的第一象限内有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，沿x轴方向的变化趋势如图乙所示，B与x的函数关系为B＝eq\f(1,x)。顶角θ＝45°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨接触良好。已知t＝0时，导体棒位于顶点O处，导体棒的质量m＝2kg，OM、ON接触处O点的接触电阻R＝0.5Ω，其余电阻不计。导体棒产生的感应电动势E与时间t的关系如图丙所示，图线是过原点的直线，求：(1)t＝2s时流过导体棒的电流I2的大小；(2)1～2s时间内回路中流过的电荷量q的大小；(3)导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式。解析：(1)根据E­t图像分析可知t＝2s时，感应电动势E2＝4V，I2＝eq\f(E2,R)＝eq\f(4,0.5)A＝8A。(2)由题意可知，回路中电流与电动势成正比，故可判断I­t图线是一条过原点的直线，由题图可知，当t＝1s时，E1＝2V，I1＝eq\f(E1,R)＝eq\f(2,0.5)A＝4A，则q＝eq\f(I1＋I2,2)Δt＝6C。(3)因θ＝45°，可知任意t时刻回路中导体棒切割磁感线的有效长度L＝x，故电动势E＝BLv＝Bxv，因电动势E与时间t成正比，分析可知导体棒做匀加速直线运动，由题图知Bx＝1T·m，E＝2tV，故有v＝2tm/s，可知导体棒运动的加速度a＝2m/s2，导体棒受到的安培力F安＝BIL＝BIx＝Bx·eq\f(Bxv,R)＝eq\f(B2x2v,R)＝eq\f(B2x2\r(2ax),R)，导体棒做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F－F安＝ma，则F＝F安＋ma＝eq\f(B2x2\r(2ax),R)＋ma＝(4eq\r(x)＋4)N。答案：(1)8A(2)6C(3)F＝(4eq\r(x)＋4)N【变式2-3】如图甲所示，间距为L＝0.5m的两条平行金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.2T，轨道左侧连接一定值电阻R＝1Ω.垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，并始终与导轨接触良好．t＝0时刻，导体棒从静止开始做匀加速直线运动，力F随时间t变化的规律如图乙所示．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒和导轨的电阻均不计．取g＝10m/s2，求：(1)导体棒的加速度大小；(2)导体棒的质量．答案(1)5m/s2(2)0.1kg解析(1)设导体棒的质量为m，导体棒做匀加速直线运动的加速度大小为a，某时刻t，导体棒的速度为v，所受的摩擦力为Ff，则导体棒产生的电动势：E＝BLv回路中的电流I＝eq\f(E,R)导体棒受到的安培力：F安＝BIL由牛顿第二定律：F－F安－Ff＝ma由题意v＝at联立解得：F＝eq\f(B2L2a,R)t＋ma＋Ff根据题图乙可知，0～10s内图象的斜率为0.05N/s，即eq\f(B2L2a,R)＝0.05N/s，解得a＝5m/s2(2)由F－t图象纵截距可知：ma＋Ff＝1.0N又Ff＝μmg解得m＝0.1kg.【题型3一根导体棒沿斜面平动切割中的动力学问题】【例3】(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动．整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8N，经过2s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨．已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1kg、电阻为1Ω，磁感应强度大小为1T，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列说法正确的是()A．拉力F是恒力B．拉力F随时间t均匀增加C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12ND．金属杆运动的加速度大小为2m/s2答案BCD解析t时刻，金属杆的速度大小为v＝at，产生的感应电动势为E＝Blv，电路中的感应电流I＝eq\f(Blv,R)，金属杆所受的安培力大小为F安＝BIl＝eq\f(B2l2at,R)，由牛顿第二定律可知F＝ma＋mgsin37°＋eq\f(B2l2at,R)，可见F是t的一次函数，选项A错误，B正确；t＝0时，F最小，代入数据可求得a＝2m/s2，t＝2s时，F＝12N，选项C、D正确．【变式3-1】如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2Ω的电阻．匀强(1)金属棒产生的感应电动势的最大值；(2)当金属棒速度为向上3m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率；(3)金属棒在0<t<2s、2s<t<4s内外力F随时间t变化的函数关系式．答案(1)2.4V(2)3.48W(3)见解析解析(1)当金属棒速度最大时，感应电动势最大，故有E＝BLv0＝0.4×1×6V＝2.4V.(2)当金属棒速度为v＝3m/s时，加速度大小为a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(6,2)m/s2＝3m/s2，FA′＝BIL＝eq\f(B2L2v,R＋r)＝0.16N，由牛顿第二定律得：－μmgcosθ－mgsinθ－FA′＋F＝－ma解得F＝μmgcosθ＋mgsinθ＋FA′－ma＝1.16N故有P＝Fv＝3.48W.(3)由题图乙可知速度大小v＝6－3t(m/s)上滑阶段安培力大小FA上＝BIL＝eq\f(B2L2v,R＋r)＝0.32－0.16t上滑阶段由牛顿第二定律得－mgsinθ－μmgcosθ－FA上＋F＝－ma代入得F＝1.32－0.16t(N)(0<t<2s)下滑阶段，摩擦力和安培力方向改变，下滑阶段的安培力大小FA下＝0.16t－0.32有－mgsinθ＋μmgcosθ＋FA下＋F＝－ma可得F＝0.52－0.16t(N)(2s<t<4s)．【变式3-2】如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R＝2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度为a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求：(1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零；(2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率；(3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系．答案(1)eq\f(5mgrsinθ,2B2L2a)(2)eq\f(m2g2rsin2θ,2B2L2)(3)F＝m(gsinθ＋a)＋eq\f(3B2L2a,5r)t解析(1)棒ab对挡板的压力为零时，受力分析可得BIabL＝mgsinθ设经时间t0棒ab对挡板的压力为零，棒cd产生的电动势为E，则E＝BLat0I＝eq\f(E,r＋R外)R外＝eq\f(Rr,R＋r)＝eq\f(2,3)rIab＝eq\f(R,R＋r)I解得t0＝eq\f(5mgrsinθ,2B2L2a)(2)棒ab对挡板压力为零时，cd两端电压为Ucd＝E－Ir解得Ucd＝eq\f(mgrsinθ,BL)此时电阻R的电功率为P＝eq\f(U\o\al(2,cd),R)解得P＝eq\f(m2g2rsin2θ,2B2L2)(3)对cd棒，由牛顿第二定律得F－BI′L－mgsinθ＝maI′＝eq\f(E′,r＋R外)E′＝BLat解得F＝m(gsinθ＋a)＋eq\f(3B2L2a,5r)t.【变式3-3】(多选)如图所示，两根足够长、电阻不计且相距L＝0.2m的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶端接有一盏额定电压U＝4V的小灯泡，两导轨间有一磁感应强度大小B＝5T、方向垂直斜面向上的匀强磁场．今将一根长为L、质量为m＝0.2kg、电阻r＝1.0Ω的金属棒垂直于导轨放置在顶端附近无初速度释放，金属棒与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.25，已知金属棒下滑到速度稳定时，小灯泡恰能正常发光，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则()A．金属棒刚开始运动时的加速度大小为3m/s2B．金属棒刚开始运动时的加速度大小为4m/s2C．金属棒稳定下滑时的速度大小为9.6m/sD．金属棒稳定下滑时的速度大小为4.8m/s答案BD解析金属棒刚开始运动时初速度为零，不受安培力作用，由牛顿第二定律得mgsinθ－μmgcosθ＝ma，代入数据得a＝4m/s2，故选项A错误，B正确；设金属棒稳定下滑时速度为v，感应电动势为E，回路中的电流为I，由平衡条件得mgsinθ＝BIL＋μmgcosθ，由闭合电路欧姆定律得I＝eq\f(E－U,r)，由法拉第电磁感应定律得E＝BLv，联立解得v＝4.8m/s，故选项C错误，D正确．【题型4导线框平动切割中的动力学问题】【例4】(多选)如图甲所示，光滑绝缘水平面，虚线MN的右侧存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场，MN的左侧有一质量为m＝0.1kg的矩形线圈bcde，bc边长L1＝0.2m，电阻R＝2Ω.t＝0时，用一恒定拉力F拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过1s，线圈的bc边到达磁场边界MN，此时立即将拉力F改为变力，又经过1s，线圈恰好完全进入磁场，在整个运动过程中，线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示．则()A．恒定拉力大小为0.05NB．线圈在第2s内的加速度大小为1m/s2C．线圈be边长L2＝0.5mD．在第2s内流过线圈的电荷量为0.2C答案ABD解析在第1s末，i1＝eq\f(E,R)，E＝BL1v1，v1＝a1t1，F＝ma1，联立得F＝0.05N，A项正确．在第2s内，由题图乙分析知线圈做匀加速直线运动，第2s末i2＝eq\f(E′,R)，E′＝BL1v2，v2＝v1＋a2t2，解得a2＝1m/s2，B项正确．在第2s内，veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1)＝2a2L2，得L2＝1m，C项错误．q＝eq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(BL1L2,R)＝0.2C，D项正确．【变式4-1】(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是()A．甲和乙都加速运动B．甲和乙都减速运动C．甲加速运动，乙减速运动D．甲减速运动，乙加速运动解析：选AB由题意知，两线圈体积相同，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的电阻的4倍；两线圈到达磁场上边界时两线圈的速度相同，设乙线圈的匝数为n，两线圈的边长均为l，两线圈进入磁场后，乙受到的安培力F乙＝nBIl＝eq\f(n2B2l2v,R)，甲受到的安培力F甲＝eq\f(4n2B2l2v,4R)＝eq\f(n2B2l2v,R)，可见，甲、乙受到的安培力大小相同，重力也相同，则运动情况相同，A、B正确。【变式4-2】如图，足够长的磁铁在空隙产生一个径向辐射状磁场，一个圆形细金属环与磁铁中心圆柱同轴，由静止开始下落，经过时间t，速度达最大值v，此过程中环面始终水平。已知金属环质量为m、半径为r、电阻为R，金属环下落过程中所经过位置的磁感应强度大小均为B，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（）A.在俯视图中，环中感应电流沿逆时针方向B.环中最大的感应电流大小为C.环下落过程中一直处于超重状态D.t时间内通过金属环横截面的电荷量为【答案】B【解析】根据题意，由右手定则可知，在金属环下落过程中，在俯视图中，环中感应电流沿顺时针方向，故A错误；根据题意可知，当重力等于安培力时，环下落的速度最大，根据平衡条件有当环速度最大时，感应电动势为感应电流为联立可得故B正确；根据题意可知，金属环下落过程做加速运动，具有向下的加速度，则环下落过程中一直处于失重状态，故C错误；设t时间内通过金属环横截面的电荷量为，由题意可知，环下落速度为时的感应电流大小为由于环中感应电流不断增大，则t时间内通过金属环横截面的电荷量取向下为正方向，由动量定理有又有联立解得故D错误。故选B。【变式4-3】（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1:4，高为线框在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是()A.边刚进入磁场时，线框的速度为B.边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为C.边刚进入磁场时，线框加速度的大小为D.从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为答案：BD解析：A.设边刚进入磁场时速度为，线框的电阻为，则，根据动能定理解得A错误；边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，则此时安培力的大小为线框中感应电流的瞬时电功率为B正确；刚进入磁场时加速度为0，则有设边刚进入磁场前匀速运动时速度为，线框切割磁感应线的有效长度为线框匀速运动时有联立解得从线框开始到边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得联立解得D正确；刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为由闭合电路欧姆定律得由牛顿第二定律得解得C错误；故选BD。【题型5动态分析问题】【例5】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则()A．S拨到2的瞬间，L1中的电流大于L2B．S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d解析：选D电源给电容器充电，稳定后，S拨到2的瞬间，电容器相当于电源和导体棒L1和L2组成闭合电路，由于L1的电阻大于L2，则L1中的电流小于L2中的电流，A错误；S拨到2的瞬间，L1中的电流小于L2中的电流，根据F＝BIL可得，则L1受到的安培力小于L2受到的安培力，根据牛顿第二定律，L1的加速度小于L2的加速度，B错误；S拨到2后，导体棒L1和L2受到安培力作用，则导体棒向右运动，运动稳定后，两导体棒产生的电动势等于电容器两端的电压，此时电容器C的电荷量不为零，导体棒L1和L2的速度相等，因为L1的加速度小于L2的加速度，运动时间相等，则L1的位移小于L2的位移，即运动稳定后，两棒之间的距离大于d，故C错误，D正确。【变式5-1】(多选)如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，倾角为θ，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现由静止释放金属棒ab，假定电容器不会被击穿，忽略一切电阻，则下列说法正确的是()A．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势B．金属棒ab匀加速下滑C．金属棒ab最终可能匀速下滑D．金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能答案AB解析金属棒ab下滑过程中，金属棒ab切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可判断出金属棒a端为正极，所以M板电势高于N板电势，选项A正确；金属棒ab下滑过程中由于产生感应电动势和感应电流，对电容器充电，由I＝eq\f(Δq,Δt)，C＝eq\f(Δq,ΔU)，ΔU＝BLΔv，金属棒ab受到安培力F＝BIL，对金属棒受力分析，有mgsinθ－F＝ma，联立解得a＝eq\f(mgsinθ,m＋CB2L2)，加速度为恒量，说明金属棒ab下滑时做加速度恒定的匀加速直线运动，选项B正确，C错误；金属棒ab下滑过程中减少的重力势能等于其增加的动能和电容器储存的电场能之和，选项D错误．【变式5-2】(多选)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后()A．金属框的速度大小趋于恒定值B．金属框的加速度大小趋于恒定值C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值答案BC解析当金属框在恒力F作用下向右加速运动时，bc边产生从c向b的感应电流i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1；MN中感应电流从M流向N，MN在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则有Bil＝ma2，当金属框和MN都运动后，金属框速度为v1，MN速度为v2，则电路中的感应电流为i＝eq\f(Blv1－v2,R)，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从eq\f(F,M)开始减小，加速度差值减小．当a1＝a2时，得F＝(M＋m)a，a＝eq\f(F,M＋m)恒定，由F安＝ma可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，据i＝eq\f(Blv1－v2,R)知金属框与MN的速度差保持不变，v－t图象如图所示，故A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框的速度，则MN到金属框bc边的距离越来越大，故D错误．【变式5-3】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则()A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝eq\f(Blv0R,R＋r)，且a点电势高于b点电势B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝eq\f(mv0,m＋B2l2C)D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势答案ACD解析当杆ab刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv0，杆ab两端的电压U＝eq\f(ER,R＋r)＝eq\f(Blv0R,R＋r)，根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点电势，A正确；通过电阻R的电流I＝eq\f(Blv,R＋r)，由于杆ab速度减小，则电流减小，安培力减小，所以杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误；当杆ab以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Beq\x\to(I)l·Δt＝－Blq＝mv－mv0，联立可得v＝eq\f(mv0,m＋B2l2C)，C正确；杆稳定后，电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确．专题2.8电磁感应中的平衡、动力学问题【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1电磁感应中的平衡问题】 【题型2一根导体杆沿水平面判断切割的动力学问题】 【题型3一根导体棒沿斜面平动切割中的动力学问题】 【题型4导线框平动切割中的动力学问题】 【题型5动态分析问题】 【题型1电磁感应中的平衡问题】【例1】轻质细线吊着一质量为m＝0.42kg、边长为L＝1m、匝数n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10m/s2)(1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针；(2)求线圈的电功率；(3)求在t＝4s时轻质细线的拉力大小。解析：(1)由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向。(2)由法拉第电磁感应定律得E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝n·eq\f(1,2)L2eq\f(ΔB,Δt)＝0.5V则P＝eq\f(E2,r)＝0.25W。(3)通过线圈的电流I＝eq\f(E,r)＝0.5A，由题图乙可知当t＝4s时，B＝0.6T，线圈受到的安培力F安＝nBIL由平衡条件得F安＋F线＝mg联立解得F线＝1.2N。答案：(1)逆时针(2)0.25W(3)1.2N【变式1-1】如图所示，MN、PQ是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d，导轨所在平面与水平面成θ角，M、P间接阻值为R的电阻．匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B.质量为m、阻值为r的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v匀速向上运动．已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g.求：(1)金属棒产生的感应电动势E；(2)通过电阻R的电流I；(3)拉力F的大小．答案(1)Bdv(2)eq\f(Bdv,R＋r)(3)mgsinθ＋eq\f(B2d2v,R＋r)解析(1)根据法拉第电磁感应定律得E＝Bdv.(2)根据闭合电路欧姆定律得I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(Bdv,R＋r)(3)导体棒的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有F－F安－mgsinθ＝0，又因为F安＝BId＝eq\f(B2d2v,R＋r)，所以F＝mgsinθ＋eq\f(B2d2v,R＋r).【变式1-2】如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求：(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；(2)金属棒运动速度的大小．答案(1)mg(sinθ－3μcosθ)(2)(sinθ－3μcosθ)eq\f(mgR,B2L2)解析(1)由于ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是相等，cd也做匀速直线运动．设导线的张力的大小为FT，右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为FN2，对于ab棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得甲乙2mgsinθ＝μFN1＋FT＋F ①FN1＝2mgcosθ ②对于cd棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得mgsinθ＋μFN2＝FT′＝FT ③FN2＝mgcosθ ④联立①②③④式得：F＝mg(sinθ－3μcosθ) ⑤(2)设金属棒运动速度大小为v，ab棒上的感应电动势为E＝BLv ⑥回路中电流I＝eq\f(E,R) ⑦安培力F＝BIL ⑧联立⑤⑥⑦⑧得：v＝(sinθ－3μcosθ)eq\f(mgR,B2L2).【变式1-3】如图所示，两根相距L＝1m的足够长的光滑金属导轨，一组导轨水平，另一组导轨与水平面成37°角，拐角处连接一阻值R＝1Ω的电阻．质量均为m＝2kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，导轨电阻不计，两杆的电阻均为R＝1Ω.整个装置处于磁感应强度大小B＝1T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆静止．g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)水平拉力的功率；(2)现让cd杆静止，求撤去拉力后ab杆产生的焦耳热．答案(1)864W(2)864J解析(1)cd杆静止，由平衡条件可得mgsinθ＝BIL，解得I＝12A由闭合电路欧姆定律得2I＝eq\f(BLv,R＋\f(R,2))，得v＝36m/s水平拉力F＝2BIL＝24N，水平拉力的功率P＝Fv＝864W(2)撤去外力后ab杆在安培力作用下做减速运动，安培力做负功，先将棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为整个电路产生的焦耳热，即焦耳热等于杆的动能的减小量，有Q＝ΔEk＝eq\f(1,2)mv2＝1296J而Q＝I′2·eq\f(3,2)R·t，ab杆产生的焦耳热Q′＝I′2·R·t，所以Q′＝eq\f(2,3)Q＝864J.【题型2一根导体杆沿水平面切割的动力学问题】【例2】(多选)如图，水平固定的光滑U型金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L.一金属棒从导轨右端以大小为v的速度滑上导轨，金属棒最终停在导轨上，已知金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R，金属棒与导轨始终接触良好，不计导轨的电阻，则()A．金属棒静止前做匀减速直线运动B．金属棒刚滑上导轨时的加速度最大C．金属棒速度为eq\f(v,2)时的加速度是刚滑上导轨时加速度的eq\f(1,2)D．金属棒从滑上导轨到静止的过程中产生的热量为eq\f(B2L3v,R)答案BC解析导体棒切割磁感线产生的电动势为E＝BLv，产生的电流为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BLv,R)，则导体棒受水平向右的安培力，产生的加速度为a＝eq\f(F,m)＝eq\f(BIL,m)＝eq\f(B2L2v,mR)，故导体棒做加速度减小且速度减小的变加速直线运动，而金属棒刚滑上轨道时速度最大，加速度最大，故A错误，B正确；金属棒的加速度a＝eq\f(BIL,m)＝eq\f(B2L2v,mR)，a∝v，当速度变为eq\f(v,2)时，加速度变为原来的eq\f(1,2)，故C正确；金属棒从滑上导轨到静止，仅受安培力作用，安培力做负功，则减少的动能转化为增加的电能，转变为热能，故由能量守恒定律有Q＝eq\f(1,2)mv2，故D错误．【变式2-1】如图所示，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上，t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。[解析](1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma①设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v＝at0②当金属杆以速度v在磁场中匀速运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为E＝Blv ③联立①②③式可得E＝Blt0。 ④(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq\f(E,R) ⑤式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为F安＝BlI⑥因金属杆做匀速运动，有F－μmg－F安＝0⑦联立④⑤⑥⑦式得R＝eq\f(B2l2t0,m)。[答案](2)eq\f(B2l2t0,m)【变式2-2】如图甲所示，水平面内的直角坐标系的第一象限内有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，沿x轴方向的变化趋势如图乙所示，B与x的函数关系为B＝eq\f(1,x)。顶角θ＝45°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON向右滑动，导体棒在滑动过程中始终与导轨接触良好。已知t＝0时，导体棒位于顶点O处，导体棒的质量m＝2kg，OM、ON接触处O点的接触电阻R＝0.5Ω，其余电阻不计。导体棒产生的感应电动势E与时间t的关系如图丙所示，图线是过原点的直线，求：(1)t＝2s时流过导体棒的电流I2的大小；(2)1～2s时间内回路中流过的电荷量q的大小；(3)导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式。解析：(1)根据E­t图像分析可知t＝2s时，感应电动势E2＝4V，I2＝eq\f(E2,R)＝eq\f(4,0.5)A＝8A。(2)由题意可知，回路中电流与电动势成正比，故可判断I­t图线是一条过原点的直线，由题图可知，当t＝1s时，E1＝2V，I1＝eq\f(E1,R)＝eq\f(2,0.5)A＝4A，则q＝eq\f(I1＋I2,2)Δt＝6C。(3)因θ＝45°，可知任意t时刻回路中导体棒切割磁感线的有效长度L＝x，故电动势E＝BLv＝Bxv，因电动势E与时间t成正比，分析可知导体棒做匀加速直线运动，由题图知Bx＝1T·m，E＝2tV，故有v＝2tm/s，可知导体棒运动的加速度a＝2m/s2，导体棒受到的安培力F安＝BIL＝BIx＝Bx·eq\f(Bxv,R)＝eq\f(B2x2v,R)＝eq\f(B2x2\r(2ax),R)，导体棒做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F－F安＝ma，则F＝F安＋ma＝eq\f(B2x2\r(2ax),R)＋ma＝(4eq\r(x)＋4)N。答案：(1)8A(2)6C(3)F＝(4eq\r(x)＋4)N【变式2-3】如图甲所示，间距为L＝0.5m的两条平行金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.2T，轨道左侧连接一定值电阻R＝1Ω.垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，并始终与导轨接触良好．t＝0时刻，导体棒从静止开始做匀加速直线运动，力F随时间t变化的规律如图乙所示．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒和导轨的电阻均不计．取g＝10m/s2，求：(1)导体棒的加速度大小；(2)导体棒的质量．答案(1)5m/s2(2)0.1kg解析(1)设导体棒的质量为m，导体棒做匀加速直线运动的加速度大小为a，某时刻t，导体棒的速度为v，所受的摩擦力为Ff，则导体棒产生的电动势：E＝BLv回路中的电流I＝eq\f(E,R)导体棒受到的安培力：F安＝BIL由牛顿第二定律：F－F安－Ff＝ma由题意v＝at联立解得：F＝eq\f(B2L2a,R)t＋ma＋Ff根据题图乙可知，0～10s内图象的斜率为0.05N/s，即eq\f(B2L2a,R)＝0.05N/s，解得a＝5m/s2(2)由F－t图象纵截距可知：ma＋Ff＝1.0N又Ff＝μmg解得m＝0.1kg.【题型3一根导体棒沿斜面平动切割中的动力学问题】【例3】(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动．整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8N，经过2s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨．已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1kg、电阻为1Ω，磁感应强度大小为1T，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列说法正确的是()A．拉力F是恒力B．拉力F随时间t均匀增加C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12ND．金属杆运动的加速度大小为2m/s2答案BCD解析t时刻，金属杆的速度大小为v＝at，产生的感应电动势为E＝Blv，电路中的感应电流I＝eq\f(Blv,R)，金属杆所受的安培力大小为F安＝BIl＝eq\f(B2l2at,R)，由牛顿第二定律可知F＝ma＋mgsin37°＋eq\f(B2l2at,R)，可见F是t的一次函数，选项A错误，B正确；t＝0时，F最小，代入数据可求得a＝2m/s2，t＝2s时，F＝12N，选项C、D正确．【变式3-1】如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2Ω的电阻．匀强(1)金属棒产生的感应电动势的最大值；(2)当金属棒速度为向上3m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率；(3)金属棒在0<t<2s、2s<t<4s内外力F随时间t变化的函数关系式．答案(1)2.4V(2)3.48W(3)见解析解析(1)当金属棒速度最大时，感应电动势最大，故有E＝BLv0＝0.4×1×6V＝2.4V.(2)当金属棒速度为v＝3m/s时，加速度大小为a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(6,2)m/s2＝3m/s2，FA′＝BIL＝eq\f(B2L2v,R＋r)＝0.16N，由牛顿第二定律得：－μmgcosθ－mgsinθ－FA′＋F＝－ma解得F＝μmgcosθ＋mgsinθ＋FA′－ma＝1.16N故有P＝Fv＝3.48W.(3)由题图乙可知速度大小v＝6－3t(m/s)上滑阶段安培力大小FA上＝BIL＝eq\f(B2L2v,R＋r)＝0.32－0.16t上滑阶段由牛顿第二定律得－mgsinθ－μmgcosθ－FA上＋F＝－ma代入得F＝1.32－0.16t(N)(0<t<2s)下滑阶段，摩擦力和安培力方向改变，下滑阶段的安培力大小FA下＝0.16t－0.32有－mgsinθ＋μmgcosθ＋FA下＋F＝－ma可得F＝0.52－0.16t(N)(2s<t<4s)．【变式3-2】如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R＝2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度为a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求：(1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零；(2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率；(3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系．答案(1)eq\f(5mgrsinθ,2B2L2a)(2)eq\f(m2g2rsin2θ,2B2L2)(3)F＝m(gsinθ＋a)＋eq\f(3B2L2a,5r)t解析(1)棒ab对挡板的压力为零时，受力分析可得BIabL＝mgsinθ设经时间t0棒ab对挡板的压力为零，棒cd产生的电动势为E，则E＝BLat0I＝eq\f(E,r＋R外)R外＝eq\f(Rr,R＋r)＝eq\f(2,3)rIab＝eq\f(R,R＋r)I解得t0＝eq\f(5mgrsinθ,2B2L2a)(2)棒ab对挡板压力为零时，cd两端电压为Ucd＝E－Ir解得Ucd＝eq\f(mgrsinθ,BL)此时电阻R的电功率为P＝eq\f(U\o\al(2,cd),R)解得P＝eq\f(m2g2rsin2θ,2B2L2)(3)对cd棒，由牛顿第二定律得F－BI′L－mgsinθ＝maI′＝eq\f(E′,r＋R外)E′＝BLat解得F＝m(gsinθ＋a)＋eq\f(3B2L2a,5r)t.【变式3-3】(多选)如图所示，两根足够长、电阻不计且相距L＝0.2m的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶端接有一盏额定电压U＝4V的小灯泡，两导轨间有一磁感应强度大小B＝5T、方向垂直斜面向上的匀强磁场．今将一根长为L、质量为m＝0.2kg、电阻r＝1.0Ω的金属棒垂直于导轨放置在顶端附近无初速度释放，金属棒与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.25，已知金属棒下滑到速度稳定时，小灯泡恰能正常发光，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则()A．金属棒刚开始运动时的加速度大小为3m/s2B．金属棒刚开始运动时的加速度大小为4m/s2C．金属棒稳定下滑时的速度大小为9.6m/sD．金属棒稳定下滑时的速度大小为4.8m/s答案BD解析金属棒刚开始运动时初速度为零，不受安培力作用，由牛顿第二定律得mgsinθ－μmgcosθ＝ma，代入数据得a＝4m/s2，故选项A错误，B正确；设金属棒稳定下滑时速度为v，感应电动势为E，回路中的电流为I，由平衡条件得mgsinθ＝BIL＋μmgcosθ，由闭合电路欧姆定律得I＝eq\f(E－U,r)，由法拉第电磁感应定律得E＝BLv，联立解得v＝4.8m/s，故选项C错误，D正确．【题型4导线框平动切割中的动力学问题】【例4】(多选)如图甲所示，光滑绝缘水平面，虚线MN的右侧存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场，MN的左侧有一质量为m＝0.1kg的矩形线圈bcde，bc边长L1＝0.2m，电阻R＝2Ω.t＝0时，用一恒定拉力F拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过1s，线圈的bc边到达磁场边界MN，此时立即将拉力F改为变力，又经过1s，线圈恰好完全进入磁场，在整个运动过程中，线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示．则()A．恒定拉力大小为0.05NB．线圈在第2s内的加速度大小为1m/s2C．线圈be边长L2＝0.5mD．在第2s内流过线圈的电荷量为0.2C答案ABD解析在第1s末，i1＝eq\f(E,R)，E＝BL1v1，v1＝a1t1，F＝ma1，联立得F＝0.05N，A项正确．在第2s内，由题图乙分析知线圈做匀加速直线运动，第2s末i2＝eq\f(E′,R)，E′＝BL1v2，v2＝v1＋a2t2，解得a2＝1m/s2，B项正确．在第2s内，veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1)＝2a2L2，得L2＝1m，C项错误．q＝eq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(BL1L2,R)＝0.2C，D项正确．【变式4-1】(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是()A．甲和乙都加速运动B．甲和乙都减速运动C．甲加速运动，乙减速运动D．甲减速运动，乙加速运动解析：选AB由题意知，两线圈体积相同，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的电阻的4倍；两线圈到达磁场上边界时两线圈的速度相同，设乙线圈的匝数为n，两线圈的边长均为l，两线圈进入磁场后，乙受到的安培力F乙＝nBIl＝eq\f(n2B2l2v,R)，甲受到的安培力F甲＝eq\f(4n2B2l2v,4R)＝eq\f(n2B2l2v,R)，可见，甲、乙受到的安培力大小相同，重力也相同，则运动情况相同，A、B正确。【变式4-2】如图，足够长的磁铁在空隙产生一个径向辐射状磁场，一个圆形细金属环与磁铁中心圆柱同轴，由静止开始下落，经过时间t，速度达最大值v，此过程中环面始终水平。已知金属环质量为m、半径为r、电阻为R，金属环下落过程中所经过位置的磁感应强度大小均为B，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（）A.在俯视图中，环中感应电流沿逆时针方向B.环中最大的感应电流大小为C.环下落过程中一直处于超重状态D.t时间内通过金属环横截面的电荷量为【答案】B【解析】根据题意，由右手定则可知，在金属环下落过程中，在俯视图中，环中感应电流沿顺时针方向，故A错误；根据题意可知，当重力等于安培力时，环下落的速度最大，根据平衡条件有当环速度最大时，感应电动势为感应电流为联立可得故B正确；根据题意可知，金属环下落过程做加速运动，具有向下的加速度，则环下落过程中一直处于失重状态，故C错误；设t时间内通过金属环横截面的电荷量为，由题意可知，环下落速度为时的感应电流大小为由于环中感应电流不断增大，则t时间内通过金属环横截面的电荷量取向下为正方向，由动量定理有又有联立解得故D错误。故选B。【变式4-3】（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1:4，高为线框在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是()A.边刚进入磁场时，线框的速度为B.边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为C.边刚进入磁场时，线框加速度的大小为D.从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为答案：BD解析：A.设边刚进入磁场时速度为，线框的电阻为，则，根据动能定理解得A错误；边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，则此时安培力的大小为线框中感应电流的瞬时电功率为B正确；刚进入磁场时加速度为0，则有设边刚进入磁场前匀速运动时速度为，线框切割磁感应线的有效长度为线框匀速运动时有联立解得从线框开始到边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得联立解得D正确；刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为由闭合电路欧姆定律得由牛顿第二定律得解得C错误；故选BD。【题型5动态分析问题】【例5】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流