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文档简介

6.2

微积分基本公式

本节我们介绍微积分学的基本公式,也称为牛顿－莱布尼兹公式.它揭示了定积分和原函数之间的联系,提供了一个简便有效的计算定积分的方法，促成了微积分方法的大发展。定理6.1

微积分基本公式则设

在区间[a,b]上连续，是

的一个原函数，牛顿—莱布尼茨公式则定积分记为称为积分上限函数.是一个关于x的函数,设函数在区间[a,b]上连续,上的一点,并设x为[a,b]积分上限函数的概念或变上限积分.注意:如果

f(x)在[a,b]上连续,则积分上限函数在[a,b]上可导,定理6.2

积分上限函数的基本性质即且有由积分中值定理即证例6.7

设，求

.解令，则

推广练习例

解这是型未定式,应用洛必达法则及等价无穷小代换来计算.例求极限解这是

型未定式,分析用洛必达法则练习微积分基本公式的证明证设是的一个原函数，而

也是的一个原函数,注意到为了书写方便牛顿—莱布尼茨公式解例6.8

计算定积分

解例6.9

计算定积分

解例6.10

计算曲线在的平面图形的面积.上与x轴所围成面积例6.11

设

,求解解例6.12

计算

原式解因定积分是数值,于是例6.13

设

则等式两边在[0,1]上积分,得证令为单调增加函数.证明:只有一个实

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