专题55函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（真题测试）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）

专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（真题测试）一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像.【详解】易知f(x)是偶函数，排除B，C项；当时，，所以，排除A项.故选：D2.（江西省赣州市20212022学年高一下学期期末考数学试题）将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.【详解】将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得；再将图象上各点向左平移个单位长度，可得.故选：C3．（2022·北京·人大附中高一期末）已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求出，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，可求出，由直线是该函数图象的一条对称轴，可得，从而线结合已知条件可求出，进而可求得函数的解析式【详解】因为函数的最大值为4，最小值为0，所以，解得，因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，所以，所以，所以，得，所以，因为直线是该函数图象的一条对称轴，所以，得，因为，所以，所以，故选：B4．（广西柳州市20212022学年高一下学期期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出，得到的最大值.【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数，在上为增函数，所以，即，即，所以的最大值为1.故选：A.5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则A． B． C． D．【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．6．（2017·全国·高考真题（理））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.7．（2018·天津·高考真题（文））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】A【解析】【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.8．（2019·全国·高考真题（理））关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点

④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④

正确，故选C．【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．二、多选题9．（2022·河北承德·高一阶段练习）将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．的图像关于直线对称C．的图像关于点对称 D．在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】由平移和伸缩变换判断A；采用代入法判断BC；由正弦函数的单调性判断D.【详解】由题意得，，A错误．，B正确．因为，所以的图像关于点对称，C正确．由，得，所以在上不单调递增，D错误．故选：BC10.（2022·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（

）A．最小正周期的最大值为B．最小正周期的最大值为C．当的最小正周期取最大值时，平移后的函数在上单调递增D．当的最小正周期取最大值时，平移后的函数在上单调递减【答案】AC【解析】【分析】先化简，再根据平移法则可得的图象关于y轴对称，即可得到，，，从而可以判断各选项的真假．【详解】因为，所以其图象向右平移个单位后得到函数的图象，因为其函数图象关于y轴对称，所以，，所以，，，所以，所以．又因为，令，，所以，，当时，，所以在上单调递增．故选：AC．11．（2022·贵州·六盘水市第二中学高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称C．在上为增函数 D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像【答案】ABC【解析】【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】解：由已知，，，，，，又，，，对于A，，故A正确；对于B，令，得，，时，，故B正确；对于C，时，令，在上递增，故C正确；对于D，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，故D错误.故选：ABC.12．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）若函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在上为增函数【答案】BD【解析】【分析】由三角函数的恒等变换化简，再由三角函数的平移变换可判断A；求出可判断B、C；先判断在上为增函数，即可判断在的单调性.【详解】由题意，．函数的图象向右平移个单位长度可得到，故A错误；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；函数在上为增函数，时，，故函数在上单调递增，所以函数在上为增函数，故D正确．故选：BD．三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】当时故答案为：14．（2021·长岭县第二中学高三三模）函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______．【答案】【分析】先将分离常数，找到与奇函数的关系，再利用平移求出对称中心及最大值与最小值之和.【详解】，记，是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称.则的最大值和最小值之和为，把的图象向上平移一个单位得到的图象，即的图象关于点对称，且．故答案为：；.15．（2014·重庆·高考真题（文））将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，则______.【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，所以所以答案应填：.16．（2021·山东高三月考）已知定义在上函数（）振幅为2，满足，且．则上零点个数最少为______．【答案】16【分析】根据题意可得，要使零点个数最少，周期需最大，应为与两个相邻的交点，从而求出，进而求出周期，为了使区间零点最少，将第一个零点放在原点，得出，即可求解.【详解】振幅为2，，，，要使零点个数最少，周期需最大，应为与两个相邻的交点，，，，，由，为了使区间零点最少，将第一个零点放在原点，，最后个零点恰好在处不在区间中，，所以上零点个数最少为16.故答案为：16四、解答题17．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.【答案】(1)，对称中心为，．(2)单调递减区间为；，．【解析】【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．（2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．(1)解：根据函数，，的部分图像，可得，，．再根据五点法作图，，，故有．根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，．(2)解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，再向右平移个单位，得到的图像，即，令，，解得，，可得的减区间为，，结合，可得在上的单调递减区间为．又，故当，时，取得最大值，即；当，时，取得最小值，即．18.（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，求的解析式.【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的周期性奇偶性，分别求出和，从而可求得的解析式（2）令，则利用换元法可得，从而可求出其最大值，（3）利用三角函数图象变换规律可求出函数解析式【详解】（1），因为图象的相邻两对称轴间的距离为所以，得，因为为奇函数，所以，即，因为，所以，所以，（2），令，则，因为对称轴为，所以当时，取得最大值，（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数19．（2022·上海市新场中学高一期末）已知函数，(1)求函数的最小正周期；(2)若求的值域；(3)将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的零点.【答案】(1)；(2)；(3)或，.【解析】【分析】（1）应用降幂公式化简，由正弦函数性质求最小正周期；（2）根据正弦型函数的性质求的区间值域；（3）由图象平移得，令结合三角函数的性质求零点即可.(1)由，所以的最小正周期.(2)由，则，即，所以.(3)由题设，令，即，可得，所以或，，即或，.故的零点为或，.20．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．(1)当时，求1号座舱与地面的距离；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)【解析】【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得；（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；(1)解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，则，，所以依题意，所以，当时，所以，故，所以，即当时，求1号座舱与地面的距离为；(2)解：令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或时1号座舱与地面的距离为17米；(3)解：依题意，，所以令，解，所以当时取得最大值，依题意可得21.（2015·福建·高考真题（文））已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．（ⅰ）求函数的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；

（ⅱ）证明见解析.【解析】【详解】（Ⅰ）因为．所以函数的最小正周期．（Ⅱ）（Ⅰ）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象．又已知