用特征方程求数列的通项

1、.用特征方程求数列的通项一、递推数列特征方程的研究与探索递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的. （一）、 若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设 ，令，即，当时可得，知数列是以为公比的等比数列，将代入并整理，得. 故数列对应的特征方程是：x=cx+d（二）、二阶线性递推数列 仿上，用上述参数法我们来探求数列的特征：不妨设，则, 令 （ ）（1）若方程组（ ）有两组不同的实数解,则, , 即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列通项公式可得, ,

2、由上两式+消去可得 .（2）若方程组（ ）有两组相等的解，易证此时，则，,即是等差数列，由等差数列通项公式可知，所以 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（）消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程， 所以有结论： 若递推公式为 则其特征方程为 1、 若方程有两相异根、，则；2、 若方程有两等根，则. 其中、可由初始条件确定。（三）分式线性递推数列（），将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数，则， 令，即， 记的两根为， （1） 若，将分别代入式可得， 以上两式相除得，于是得到为等比数

3、列，其公比为，数列的通项可由求得； （2）若，将代入式可得,考虑到上式结构特点，两边取倒数得 由于时方程的两根满足， 于是式可变形为为等差数列，其公差为， 数列的通项可由求得这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程两根的相反数，于是我们得到如下结论：分式线性递推数列的特征方程为1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。

4、如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致， 三、例题例1、 已知数列且，求通项公式。解 设， 令 ， 可得， 于是，即是以为首项、为公差的等差数列，从而.例2、设数列满足. 解： 对等式两端同加参数得 令，解之得，代入上式 得 ， 两式相除得 即的等比数列，四、本课小结：1可用特征方程解决递推数列的三类模型线性递推关系： 已知齐次二阶线性递推关系： 已知 且 分式递推关系： 已知， 2. 特征根方程及求法的特征根方程为 x=px+q，其根为,则=p().的特征根方程为设两实根为,.若时,则=,其中,是由,确定. 若=时,则其中,是由,确定.的

5、特征根方程为若方程的两根为,若且,则即等比数列若且,则即 等差数列五、练习1已知数列满足：求2.已知数列满足=3,=6,=4-4求3. 已知数列满足=3,=6,=2+3求4. 各项均为正数的数列=a,=b，且对任意的m+n=p+q的正整数 m，n，p，q，都有当a=,b=时 ，求通项5:已知数列满足,求通项.6已知数列满足，求数列的通项7已知数列满足，求数列的通项8已知数列满足，求数列的通项9已知数列满足，求数列的通项练习答案1、解：作特征方程数列是以为公比的等比数列.于是=（）2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得=2故设=(+n),其中3=+,6=(+2).2， 所以=3,=0,则=3.3、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3,=-1所以=+其中3=+, 6=3-， 得=,=所以=.+4、解:由得将代入上式化简得考虑特征方程得特征根所以，所以数列是以为首项,公比为的等比数列，故 即5、解: 考虑特征方程，得特征根，所以数列是以为首项,公差为1的等差数列，故 即6解：其特征方程为，解得，令， 由，得， 7解：其特征方程为，解得，令，由，得