高一（上）期末测试卷（A卷基础巩固）-2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

高一（上）期末测试卷（A卷基础巩固）高一数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2019·四川·棠湖中学高一期末）已知集合，集合，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，结合各选项知B正确．选B．2．（2021·江苏·高一课时练习）若，且，则是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【详解】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，，，同时满足，则的终边在三象限．3．（2021·天津三中高一期中）下列函数中与相等的函数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若两个函数是相等函数，则两个函数的定义域相等，对应关系相同，依次判断选项.【详解】的定义域为，A.的定义域为，所以不是同一函数；B.的定义域是，并且，对应关系也相同，所以是同一函数；C.的定义域为，但，对应关系不相同，所以不是同一函数；D.的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数.故选：B4．（2021·广东潮阳·高一期末）设，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据分段函数，结合指数，对数运算计算即可得答案.【详解】解：由于,所以.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，指数运算，分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.5．（2019·四川·棠湖中学高一期末）函数（，）的部分图象如图所示，则、的值分别是（）A．4， B．2， C．4， D．2，【答案】D【分析】利用正弦函数的周期性可得，进而求得，再利用时取得最大值可求得值.【详解】由图观察可知，函数的周期满足，由此可得，解得，函数表达式为.又∵当时,取得最大值2，∴，可得，∵，∴取，得.故选：D.【点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.6．（2021·黑龙江大庆·高一阶段练习）已知，则A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【详解】，，故选C.【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．7．（2020·四川·射洪中学高一期末（理））给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在轴的下方；②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④函数的图像关于对称的函数解析式为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断;对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于③根据对数函数值域为R时,判别式满足的条件,即可求得的取值范围;对于④根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断.【详解】对于①函数,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在时单调递增,在时单调递减.即在处取得最大值.所以,所以函数图像恒在轴的下方,所以①正确;对于②的图像经过先关于轴对称,可得;再向右平移1个单位可得,所以②正确;对于③函数的值域为,则满足能取到所有的正数.即满足,解不等式可得或,所以③错误.对于④函数的图像关于对称的函数为的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为,所以④正确.综上可知,正确的有①②④故选:C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.8．（2020·四川·射洪中学高一期末（文））幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【分析】由题意得，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解.【详解】BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了幂函数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.9．（2021·四川郫都·高一期末）将函数，的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则函数的一个对称中心为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】将函数，的图象，向左平移个单位后，得到的图象，所得图象关于轴对称，，，，函数．令，，求得，则函数的对称中心为，，只有B符合.故选：B．10．（2021·四川郫都·高一期末）已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则的值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得是周期为4的周期函数，则有，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，奇函数的图象关于直线对称，即，即，则，则函数是周期为4的周期函数，，当时，，则，则，故选：．11．（2021·四川郫都·高一期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围．【详解】解：由于，，可得，，当时，则，在不恒成立；故，由在单调递增，在单调递减，可得在单调递增，则的最大值为，由题意可得，即有，解得，故选：．【点睛】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据函数的解析式作出函数的图象，然后利用换元法将关于的方程恰有3个不同的实数根，转化为有两个不同的实数根，且，，或，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式组，求解即可得到答案．【详解】解：因为函数，作出函数图象如图所示，因为关于的方程恰有3个不同的实数根，所以令，根据图象可得，有两个不同的实数根，且，，，或，，当，时，即，所以，所以，解得或，不符题意；当，时，则，解得，则，解得或，符合题意；当，时，记，则有，解得，综上实数的取值范围为．故选：．【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数图象的作法、二次方程根的分布、方程的根与函数图象之间关系的应用，解题的关键是利用换元法将原方程进行转化，解决方程根的个数问题或是函数零点个数问题一般会选用数形结合的方法．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2021·广东·深圳技术大学附属中学高一期中）幂函数的图象过点，则___________.【答案】9【分析】根据幂函数的一般解析式，因为其过点，求出幂函数的解析式，从而求出.【详解】幂函数的图象过点，，解得，，.故答案为：914．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时.【答案】24【详解】由题意得：，所以时，.考点：函数及其应用.15．（2021·全国·高一专题练习）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度与耗氧量之间满足函数关系.若两岁燕子耗氧量达倒个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，耗氧量达到__________单位．【答案】320【详解】因为，因此16．（2019·四川·棠湖中学高一期末）关于函数有以下四个命题：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．其中正确命题的序号是__________．【答案】①②③④【分析】①根据函数的对应法则，可得不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．【详解】①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，即不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，故②正确；③由于非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为①②③④．【点睛】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2019·四川·棠湖中学高一期末）（1）计算（2）已知，求的值．【答案】（1）4；(2)1.【分析】（1）利用指数和对数运算公式，可求得值为.（2）已知条件可化为，要求解的式子上下同时除以，可转化为只有的式子，由此求得值为.【详解】（1）原式；（2）解法一：，，=；解法二：，=.18．（2019·四川·棠湖中学高一期末）已知函数，对于任意的，都有,当时，，且.(I)求的值；(II)当时，求函数的最大值和最小值；(III)设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围.【答案】（I）；（II）；（III）当时，函数最多有个零点.【分析】（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根据单调性可得x2﹣2|x|﹣m＝0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m∈（﹣1，0）．【详解】（I）令得，得.令得，令得(II)任取且，则，因为，即，令则.由已知时，且，则，所以，，所以函数在R上是减函数，故在单调递减.所以，又，由，得，，故.(III)令代入，得，所以，故为奇函数.∴==，令,即，因为函数在R上是减函数，所以，即，所以当时，函数最多有4个零点.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，关键是利用函数的性质及赋值法解决问题，属于难题．19．（2020·四川·射洪中学高一期末（理））已知函数．（1）求的最大值及取得最大值时的值；（2）若方程在(0，π)上的解为，，求的值．【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1；（2）cos(x1－x2)＝．【分析】（1）利用正弦函数的性质计算可得．（2）求出函数图象的对称轴，利用方程在上的解，与对称轴的关系，即可得出．【详解】解：（1）．当，即时，函数取最大值，且最大值为1．（2）因为，令，解得即函数图象的对称轴为，当时，对称轴为．又方程在上的解为，．，则，，又，故．20．（2021·四川郫都·高一期末）已知函数.（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）求不等式的解集.【答案】（1）为偶函数，证明见解析；（2）【分析】（1）先判断为偶函数，用定义法证明；（2）把不等式转化为或，直接求出解集.【详解】（1）为偶函数，下面进行证明：对于函数，当时，，此时，∴成立；当时，，此时，∴成立；当，，满足综上：对任意x，都有，故为偶函数.（2）不等式可化为或，解得：或，即，∴原不等式的解集为.【点睛】对函数奇偶性的判断可以用定义法、图像法、四则运算法等，而奇偶性的证明只能用定义：或.21．（2021·四川郫都·高一期末）已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元.设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且.（1）求年利润(万元)关于年产量(台)的函数解析式；（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润.【答案】（1）；（2）当年产量为49台时，获得的年利润最大，最大为1780万元．【分析】（1）由分段写出函数解析式；（2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论．【详解】解：（1）当时，；当时，．