专题14导数与函数的单调性（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练专题14导数与函数单调性练高考明方向1．(2021年高考全国甲卷理科)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．2.（2022·北京卷T20）已知函数．（1）求曲线在点处切线方程；（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）略3．(2021年高考全国乙卷理科)设，，．则 ()A． B． C． D．4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.讨论的单调性；5、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．6、【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；7、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．（1）讨论的单调性；8．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则 ()(A)(B)(C)(D)9．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ()A． B．C． D．导数与函数的单调性导数与单调性的关系导数与函数的单调性导数与单调性的关系求函数的单调区间单调性与参数范围函数单调性的判断含参函数中的分类讨论类型一、利用导数判断函数单调性基础知识：1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是单调递减．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．基础题型：1．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝|lnx| B．f(x)＝x2＋eq\f(3,x2)C．f(x)＝eq\f(1,2)x＋x2 D．f(x)＝x(ex－e－x)2．(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是()A．在区间(2,4)内单调递减B．在区间(2,3)内单调递增C．x＝－3是极小值点D．x＝4是极大值点基本方法：充分、必要条件与导数及函数单调性(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．类型二、利用导数求函数的单调区间基础知识：1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是单调递减．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．注意：(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．基本题型：1．（求单调区间）函数f(x)＝eq\f(xlnx,x－1)(x∈[e，＋∞))的单调递增区间为__________．2．（求单调区间）已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是________．3.（由f′(x)的零点引起的分类讨论）已知函数（为常数）.若，讨论函数的单调性.4.（二次项系数引起的分类讨论）已知函数f(x)＝ax2－lnx－x，a≠0.试讨论函数f(x)的单调性．5.（二次项系数及f′(x)的零点引起的分类讨论）已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋a)，求函数f(x)的单调区间．6.（判别式引起的分类讨论）已知函数f(x)＝eq\f(x2－1－2axlnx,x)，讨论函数f(x)的单调性．7．(f′(x)的零点与函数定义域引起的分类讨论)设函数f(x)＝eq\f(1,x＋a)＋2lnx，其中a∈R且a≠0.试讨论函数f(x)的单调性．基本方法：1、确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、求导后，若导函数可分解且首项系数无参数或参数不影响时，可求出f′(x)的零点，注意判断零点是否在定义域内，另外若有两个零点且这两零点的大小关系无法确定，则就无法确定f′(x)>0或f′(x)<0的解集，进而无法确定函数f(x)的单调区间，此时必须对零点的大小关系分类讨论．设f′(x)两个零点x1，x2，往往分成x1>x2，x1＝x2，x1<x2三类讨论．可归纳为“首项系数无参数，根的大小定胜负．定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．3、求导后，若导函数中的二次三项式能因式分解需考虑首项系数是否含有参数．若首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论．可归纳为“首项系数含参数，先分系数零正负”．4、求导后，若导函数转化为一个二次型函数的含参问题，首先考虑二次三项式是否存在零点，即对判别式Δ进行Δ≤0和Δ>0两类讨论，可归纳为“有无实根判别式，两种情形需知晓”．5、一般地，需要讨论导函数f′(x)的零点是否含在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要进行分类讨论．类型三、已知函数单调性求参数范围基础知识：若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．即“f′(x)>0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．基本题型：1、已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则()A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3C．a＝3 D．a∈(－∞，3]2．若函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－(b－1)x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))存在单调递减区间，则实数b的取值范围是()A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))3．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.4．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx在区间(2，e)上单调递增，则a的取值范围是_______.5．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______.基本方法：求参数范围的常见类型和解题技巧1、已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，要注意“＝”是否取到；2、已知可导函数f(x)在某一区间上存在单调区间：实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题；3、已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数：先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围；4、已知f(x)在区间D上不单调：f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点。类型四、构造函数利用单调性解不等式基本题型：1．定义在上函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（）A． B．C． D．3．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．4．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0,当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．基本方法：1、当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．2、当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．3、当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′”，构造可导函数y＝eq\f(fx,gx)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．新预测破高考1．函数f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的单调递增区间是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值3．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinx B．y＝xexC．y＝x3＋x D．y＝lnx－x4．设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若3f(x)＋f′(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(0,1)5．已知当时，，则以下判断正确的是（）．A． B．C． D．与的大小关系不确定6、已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜eq\f(1,2)，f(1)＝1，则不等式f(x)＜eq\f(x,2)＋eq\f(1,2)的解集为()A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}C．{x|x＜－1或x＞1} D．{x|－1＜x＜1}7、设函数，则不等式的解集为_____________.8、，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______9、已知函数，其中.则函数的单调增区间为________。10．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4的单调减区间是[－1,4]，则a＝________.11．若函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1,1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．12、设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)＋lnx，且f(1)＝0.若函数f(x)在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围是________．13．已知f(x)＝x－eq\f(ax,ex)(e为自然对数的底数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝2lnx＋x2－5x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,2)，k))上为单调函数，则实数k的取值范围是________．15、已知函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax,x＋a)(a>1)，讨论f(x)的单调性．16、