（模块化思维提升）专题7-钟面追击发车间隔及错车问题-小升初数学思维拓展行程问题专项训练（人教版）

专题7钟面追击、发车间隔及错车问题小升初数学思维拓展行程问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）一、时钟问题钟面追及问题。

基本思路：封闭曲线上的追及问题．

1、关键问题。

（1）确定分针与时针的初始位置；

（2）确定分针与时针的路程差；

2．基本方法。（1）分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格．分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走分格．

（2）度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转度，即6°，时针每分钟×60度，即0.5度．

3、在钟面上总是分针追赶时针的局面，或是分针超越时针的局面．这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程．因此钟面上两针的运动是一类典型的追及行程问题．二、发车间隔问题。1、一般间隔发车问题．用3个公式迅速作答；

汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔

汽车间距=（汽车速度行人速度）×追及事件时间间隔

汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔

2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数．

标准方法是：画图尽可能多的列3个好使公式结合s全程=v×t结合植树问题数数．

三、错车问题。列车错车问题最终都是转化为直线上的相遇或追及问题；相向而行错车相当于相遇问题，同向而行错车相当于追及问题．但在实际解题过程中我们会发现：同样是错车，如果给出的题设条件不同，则错车时所计算的路程与车长有关．【典例一】一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出．他从乙站到甲站用了分钟．【分析】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程．骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发，骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆．电车共发出9辆，共有8个间隔．于是：（分．【解答】解：由题意可得骑车人一共看见12辆电车，因每隔5分钟有一辆电车开出，而全程需15分，所以骑车人从乙站出发时，第4辆车正从甲站开出，骑车人到达甲站时，第12辆车正从甲站开出，所以，骑车人从乙站到甲站所用时间就是第4辆电车从甲开出到第12辆电车由甲开出之间的时间，即（分．故答案为：40．【点评】明确骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，并由此推算出骑车人从乙站这段时间内从甲站发出的电车数是完成本题的关键．【典例二】两列火车相向而行，甲车每小时行72千米，乙车每小时行36千米，两车错车时，乙车上一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了13秒，求甲车的车长是多少米？【分析】甲车的车长就是二车错车时经过的距离，所以用时间乘速度和即可．【解答】解：甲速：72千米小时米秒，乙速：36千米小时米秒，甲车长：（米答：甲车全长390米．【点评】此题属相遇问题，关键是明白甲车的车长就是二车错车时经过的距离．【典例三】小宇以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面而来．如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终点站隔多少分钟发一辆电车．【分析】设隔分钟发一辆车．小宇12分钟走的路等于电车分钟走的路，小宇4分钟走的路等于电车分钟走的路，的3倍就是，解这个方程即可求解．【解答】解：设隔分钟发一辆车，由题意得：，，，；答：起点站和终点站隔6分钟发一辆电车．【点评】小宇与同向行驶的车是追击问题，相对行驶的车可以看成相遇问题，由此找出路程之间的关系，列出方程求解．一．选择题（共3小题）1．一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每隔10分钟有一辆公交车超过一个行人．每隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？A．10 B．8 C．6 D．42．钟面上，时针和分针转动速度的比是A． B． C． D．3．一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长200米，慢车的车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟二．填空题（共8小题）4．小明放学回家，他沿一路电车路线步行，他发现每隔6分钟，有一辆一路电车迎面开来，每隔12分钟，有一辆一路电车从后面开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每分钟发车一辆．5．小明在一条笔直的马路上匀速行走，他发现每隔8分钟就有一辆102路公共汽车迎面驶来，他还发现每隔12分钟，就有一辆102路公共汽车从他背后驶过，若102路公共汽车发车的时间间隔是固定的，且车子保持匀速行进，那么，发车的时间间隔是分钟．6．龟兔赛跑，全程2500米．龟兔同时出发，龟每分爬25米，兔的速度比龟快9倍，但兔子每跑500米就停下来休息20分钟．比赛结果是．7．一个铁路工人在路基下原地不动，一列火车从他身边驶过用了40秒，如果这个工人以每小时6千米的速度迎着火车开来的方向行走，则这列火车从他身边驶过只用37.5秒，则这列火车每小时行千米．8．一列慢车车身长125米，车速是每秒17米，一列快车车身长140米，车速是每秒22米，相距70米，快车从后面追上并完全超过需要秒．9．一列客车长190米，一列货车长260米，两车分别以每小时90千米和72千米的速度相向行驶，在双轨道路上交会时，从车头相遇到车尾相遇共需时间．10．在钟面上7点多的时候，时针与分针成直线和重合的时刻分别是成直线；重合．11．江边的旅游码头，原计划每8分钟发出1条船，每条船在江上航行80分钟，回到码头时，恰好遇到按时发出的另一条船，按此计划，该码头现有的条船恰好够用。此时，若又有2条新船投入使用，那么，发船的时间间隔可比原计划减少分钟。三．解答题（共15小题）12．车站每隔相同的时间发一次车，有一个人骑着自行车，发现背后每隔12分钟开过来一辆汽车，而迎面每隔4分钟有一辆汽车驶过去．车站每隔多少分钟发一辆车？13．101路公交车每隔十分钟发一班，第一班开出，小明走到101路车站的时间是，在此之前一共发出了多少班车？14．有两列火车，一列长130米，每秒行23米，另一列长250米，每秒行15米，现在两车在双轨车道上相向而行，问从相遇到相离需要几秒钟？15．某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆．问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间车站不能正点发车？16．小明放学回家沿某公共汽车路线以每小时16千米的速度骑自行车回家，沿途该公共汽车每12分就有一辆车从后面超过他，每4分钟就遇到迎面开来的一辆车．如果公共汽车按相等的时间间隔，以同一速度不停地行驶，那么公共汽车发车时间间隔是多少分？17．甲、乙两地相距120千米．一辆大客车从甲地出发前往乙地．开始时每小时行50千米，中途减速为每小时行40千米．大客车出发1小时后，一辆小轿车也从甲地出发前往乙地，每小时行80千米，结果两辆车同时到达乙地，问大客车从甲地出发多少时间后才降低速度？18．小刚在铁路旁边沿铁路方向公路边散步，他散步的速度是每秒2米．这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了18秒．已知火车的全长是324米，则这列火车的速度是每秒多少米？19．12点整时，钟面上的时针、分针、秒针刚好重合．请你计算，再过多长时间，钟面上的时针与分针再次重和？重合时，时针、分针分别走了几圈几格？20．在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明．已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？21．某钟表，在4月26日零点比标准时间慢6分钟，它按此速度走到5月3日8时，比标准时间快4分钟，这只表所指时间恰好为正确的时刻几月几日几时几分？22．一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔有一辆公共汽车超过行人，每隔有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少发一辆公共汽车？23．小青和小红都经常去图书馆借书．小青每3天去一次，小红每6天去一次．今年的4月1日两人同时去图书馆借书后，最早几月几日她们再次一起去图书馆借书？24．机场停着10架飞机，第一架飞机起飞后，每隔4分钟有一架飞机起飞，在每一架飞机起飞后2分钟，有一架飞机在机场降落，以后每隔6分钟飞回一架降落在机场的飞机，又依次相隔4分钟，在原有的10架飞机后起飞，问从第一架飞机起飞后，经过多少时间机场上才没有飞机停留？25．城西站是48路和82路公交车的起始站，82路车每隔12分钟发一辆车，48路车每隔8分钟发一辆车．两路车都从凌晨6时整发车，这两路车第二次同时发车是几时几分？在7时40分前这两路车同时发车几次？26．小王以每秒3米的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长147米的火车，它的行驶速度每秒18米．问：火车经过小王身旁的时间是多少？

参考答案一．选择题（共3小题）1．【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公共车和人，公共车和自行车，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与步行人的速度之差为：；公共汽车与自行车人的速度差为：．由此可求得人的速度为：，由此即可解决问题．【解答】解：设每辆公共汽车的间隔为1，则根据题意可得公共汽车与步行人的速度之差为：，公共汽车与自行车人的速度差为：，因为自行车人的速度是步行人的3倍，所以步行人的速度为：则公共汽车的速度是：，（分钟），答：每隔8分钟发一辆车．故选：．【点评】此题考查了追及问题中，间隔距离、速度差与追及时间之间关系的灵活运用．2．【答案】【分析】把钟面看作单位“1”，平均分成12个大格子，时针一小时走一个大格，分针一小时走12个大格；然后用比的意义解答即可。【解答】解：时针一小时走一个大格，分针一小时走12个大格，所以钟面上，时针和分针转动速度的比是。故选：。【点评】解决此题要先把钟面看作单位“1”，平均分成12份，再根据时针、分针每经过1小时走动的格子数解答。3．【答案】【分析】相遇问题公式“相遇路程速度和相遇时间”；坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，这时相遇路程是快车的全长，根据“路度和相遇路程相遇时间”计算出两车的速度和；坐在快车上的旅客看到慢车驶过，这时相遇路程是慢车的全长，根据“相遇时间相遇路程速度和”解答即可。【解答】解：（秒答：坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是7.5秒。故选：。【点评】灵活运用相遇问题公式，确定两次相遇的相遇路程是解答本题的关键。二．填空题（共8小题）4．【分析】设隔分钟发一辆车．12分钟走的路等于电车分钟走的路，6分钟走的路等于电车分钟走的路，的2倍就是，解这个方程即可求解．【解答】解：设隔分钟发一辆车，由题意得：；答：一路电车每隔8分钟发车一辆．故答案为：8．【点评】小明与同向行驶的车是追击问题，相对行驶的车可以看成相遇问题，由此找出路程之间的关系，列出方程求解．5．【分析】设发车间隔为单位1，人车速度和为，人车速度差为，根据和差问题，可以求出车速，然后再用间隔距离1除以速度即可．【解答】解：（分钟）答：发车的时间间隔是9.6分钟．故答案为：9.6．【点评】小明与同向行驶的车是追及问题，相对行驶的车可以看成相遇问题，由此找出路程之间的关系，根据和差问题求出车速．6．【分析】据题意可知，龟到达终点要分钟，兔子不休息的话需要的时间是：分钟，段，共有4个间隔，即兔子中途休息的时间有分钟，则兔子需要的全部时间是：分钟，所以比赛结果是兔子先到达终点．【解答】解：龟到达终点需要：（分钟）；兔子到达终点需要：，，（分钟）；．所以，兔子选到达终点．故答案为：兔子先到达终点．【点评】完成本题要注意间隔段数．7．【分析】6千米小时米秒，当行人对列车相对而行时，列火车从他身边驶过只用37.5秒，则行人在这一时间内行了千米；列车经过行人时所行的长度都为列车的长度，由于当行人原地不同时，火车从他身边驶过用了40秒，所以火车在分钟内所行的距离为62.5米，所以火车的速度为每秒米．【解答】解：6千米小时米秒，（米秒），25米秒千米秒．答：这列火车每小时行90千米．故答案为：90．【点评】根据行人静止不动与和行人相对而行时火车经过行人所行的路程差及所用时间差求出火车的速度是完成本题的关键．8．【分析】根据题意，快车在后面追上慢车的车尾到完全超过慢车，那么快车比慢车多行了这两辆车身的长度，也就是追及路程是米，再除以两车的速度差即可求出追及时间．【解答】解：（秒答：快车从后面追上并完全超过需要67秒．故答案为：67．【点评】本题的关键是求出追及路程，然后再根据追及路程速度差追及时间进行解答．9．【分析】把每小时90千米和72千米分别化为25米秒和20米秒；因为两车是相向行驶，所以两车从车头相遇到车尾相离，要行驶米的距离，速度和为米秒．求错车时间，列式为，解决问题．【解答】解：90千米每小时米秒，72千米小时米秒，，（秒；答：从车头相遇到车尾相遇共需10秒．故答案为：10秒．【点评】两辆车相向而行，从车头相遇到车尾相离，是错车问题，所需时间是：（甲车身长乙车身长）（甲车速度乙车速度）．10．【分析】由于钟面共分60小格，分针一分钟走一小格，分针走60格时，时针走5格，即时针是分针速度的，设分针的速度是1，则时针的速度是，所以两者的速度差为，由于当7点整时，分针和时针相差35格，当时针和分针相差30格时，时针和分针成一条直线，要想成直线，分针应追上时针5个小格，则追及时间为分钟，即当7时分时时针与分针成直线；当两针重合，分针则需要追35格，同理求出追及时间即可．【解答】解：时针是分针速度的，设分针的速度是1，则时针的速度是；要想成直线，分针应追上时针5个小格，则追及时间为：，（分钟）．即当7时分时时针与分针成直线；当两针重合，分针则需要追35格，则追及时间为：，（分钟）．即7时分，两针重合．答：时针与分针成直线和重合的时刻分别是7时分成直线；7时分重合．故答案为：7时分、7时分．【点评】根据钟面的结构及分针与时针的速度进行分析，利用追及距离速度差追及时间进行解答是完成本题的关键．11．【答案】。【分析】第一条船返回时，第条船刚好出发，一共有个间隔，根据间隔数总时间出发间隔时间，求出，再根据出发间隔时间总时间间隔数，求出新的出发间隔时间，与原时间作差即可。【解答】解：（分钟）（分钟）答：发船的时间间隔可比原计划减少分钟。故答案为：。【点评】本题主要考查了发车间隔问题，注意本题的路线为封闭路线，间隔数等于船数。三．解答题（共15小题）12．【分析】把间隔时间内车行驶的距离看作单位“1”，由题意可得，发现背后每隔12分钟开过来一辆汽车，看作追及问题人车的速度差就是；同理，迎面每隔4分钟有一辆汽车驶过去，看作相遇问题，则人车的速度和是，所以车的速度是，然后用1除以车的速度就是车站每隔多少分钟发一辆车．【解答】解：（分钟）答：车站每隔6分钟发一辆车．【点评】本题考查了行程问题和工程问题的综合应用，关键是理解人与同向行驶的车是追击问题，相对行驶的车可以看成相遇问题，由此找出速度和与差解决问题．13．【分析】根据题干分析可得，7时35分距离第一班车开出时间6时已过了：7时35分时时35分分，所以一共经历了个10分钟间隔余5分，所以一共发出了辆车，即7时35分之前开出的是第10班车；据此解答即可．【解答】解：7时35分时时35分分个10分钟间隔余5分（辆答：7时35分之前开出的是第10班车．【点评】此题问题原型属于植树问题中的两端都要栽的情况：发车辆数间隔数，据此即可解答．14．【分析】从车头相遇到车尾离开，两车所行距离之和恰为两列车长之和，故用相遇问题中的路程和除以速度和求得时间即可．【解答】解：（秒；答：从相遇到相离需要10秒钟．【点评】此题看成相遇问题，根据时间路程速度和这一关系求解．15．【分析】车站原有车6辆，发车的时间周期是4分钟，回车的时间周期是6分钟，又在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，此时车站还有车6辆，当车站内无车时，出发的车数应比回来的车数多6辆，因此可设回车数是辆，则发车数是辆，又当两车用时相同时，则车站内无车，由此可得：．解此方程后，根据其时间周期即能求得经过最少多少时间车站不能正点发车．【解答】解：设回车数是辆，则发车数是辆，当两车用时相同时，则车站内无车，由此可得：，，；，（分钟）；即68分钟时车站内正好无车，则（分钟）时不能正点发车．答：经过最少72分钟时车站不能正点发车．【点评】明确当两车用时相同时，则车站内无车，根据其发车及回车时间周期列出等量关系式是完成本题的关键．16．【分析】把两辆公交车之间的距离看作单位“1”，则小明和公共汽车的速度差是，因为这时是追及问题；小明和公共汽车的速度和是，因为这时是相遇问题；那么公共汽车的速度是：，所以公共汽车发车时间间隔是：（分钟），据此解答．【解答】解：，，（分钟）；答：公共汽车发车时间间隔是6分．【点评】本题是比较难的综合行程问题，它包括追及问题、相遇问题、工程问题、和差问题；关键是求出小明和公共汽车的速度差和速度和，然后按和差问题求出公共汽车的速度，进而按工程问题求出发车时间间隔．17．【分析】据题意可知，小汽车行完全程用时：（小时），由于两车同时到达乙地，所以大客车用时（小时），由此可设大客车从甲地出发小时后开始降速，由此可得等量关系式：，解此方程即可．【解答】解：轿车用时：（小时）；则货车用时：（小时）；设小时后变速，得方程：，．答：大客车从甲地出发2小时后才降低速度．【点评】完成本题的关键是先据小汽车行完全程的时间求出大车所用时间从则列出等量关系式．18．【分析】小刚和火车相对而行，18秒共行的路程是324米，所以速度和是米秒，然后减去他散步的速度2米秒，就是火车的速度．【解答】解：（米秒）答：这列火车的速度是每秒16米．【点评】解答错车问题，关键是确定行驶的方向，由此求出速度和或速度差．19．【分析】分针每分钟走，时针每分钟走，因此再次重合分针超时针，分针与时针再次重合时，分针与时针相差，可设再过分钟时针和分针再次重合，列方程解答即可求出再过多长时间；60分钟分针走1圈，重合时间减去60分钟，就是分针与时针走的小格数．【解答】解：设再过分钟时针和分针再次重合．（分，此时分针走了1圈5格（小格），时针走了格（小格）答：设再过分钟时针和分针再次重合；重合时此时分针走了1圈格（小格），时针走了格（小格）．【点评】此题是考查时间与钟面问题，关键弄清分针、时针每分钟走的度数，再次复合时，分针比时针多走一圈．20．【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公共车和小光，公共车和小明，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与小光的速度之差为：；公共汽车与小明的速度差为：．由此可求得人的速度为：，由此即可解决问题．【解答】解：设每两辆公共汽车间隔（即追及路程）为1；由此可以得出公共汽车与小光的速度之差为：；公共汽车与小明的速度差为：；因为小明骑车速度是小光速度的3倍；所以小光的速度为：；则公共汽车的速度是：；（分钟）．答：每隔8分钟发一辆车．【点评】此题考查了追及问题中，间隔距离、速度差与追及时间之间关系的灵活运用．21．【分析】题目要求这只钟表时间恰好为正确时刻是什么时候，也就是问这只钟表读数和标准时间一样的时候（即已开始它比标准时间慢6分钟，到他们一样，也就是要追上6分钟实际用的时间）．先求出从4月26日到5月3日，实际一共用的时间；再求出这段时间内，这个钟表比标准时间多走过分钟；最后求出追上6分钟实际所用的时间，即可求出答案．【解答】解：（1）从4月26日到5月3日，一共是7天零8个小时，也就是小时，这个是实际所用的时间，（2）这段时间内，这个钟表比标准时间多走过分钟，（3）176小时追上10分钟，那么追上6分钟实际就要用：小时小时36分天9小时36分，已开始是4月26日，加上4天9小时36分，是4月30日9点36分．答：这只表所指时间恰好为正确的时刻4月30日9时36分．【点评】这道题要注意不要把这个钟表读数的变化和实际的时间搞混了．它和标准时间实际经过的时间永远是一样的，但是读数的变化不一样，它比标准时间要快．22．【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公共车和人，公共车和自行车，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与步行人的速度之差为：，；公共汽车与自行车人的速度差为：．由此可求得人的速度为：，由此即可解决问题．【解答】解：设每辆公共汽车的间隔为1，则根据题意可得公共汽车与步行人的速度之差为：，公共汽车与自行车人的速度差为：，因为自行车人的速度是步行人的3倍，所以人的速度为：，则公共汽车的速度是，（分钟），答：每隔8分钟发一辆车．【点评】此题考查了追及问题中，间隔距离、速度差与追及时间之间关系的灵活运用．23．【分析】从4月1