2024-2025学年河南省周口市鹿邑县高二上学期10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省周口市鹿邑县高二上学期10月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（

）A． B． C．1 D．23．已知直线与平行，且过点，则（

）A． B．3 C． D．24．如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（

）A． B．C． D．5．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．6．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．已知实数满足，且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（

）A．任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率B．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为C．不能表示过点且斜率为的直线方程D．设，若直线与线段有交点，则的取值范围是11．如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹长度为B．点到平面的距离是定值C．直线与平面所成角的正切值的最大值为D．的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为.13．已知向量，若共面，则.14．如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点坐标为.(1)若点是边上的中点，求直线的方程；(2)求边上的高所在的直线方程.16．如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与直线的夹角的余弦值.17．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.(1)求证：四边形为正方形；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为.(1)当时，求直线的方程；(2)针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数.19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成的角的正弦值为.①求的长；②求平面与平面的夹角的余弦值.

答案1．【正确答案】A【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选A.2．【正确答案】B【分析】根据得到，根据数量积为求解.【详解】因为，所以，所以，解得.故选B.3．【正确答案】D【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，又直线过，则，解得，经验证与不重合，所以.故选D.4．【正确答案】A【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得.【详解】如图，连接并延长交于点，连接.因为为的重心，故，又点是线段上的一点，且，故.故选A.5．【正确答案】C【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可.【详解】点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即.故选C.6．【正确答案】C【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】取的中点，则，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为.故选C.7．【正确答案】D【详解】由题意知，点满足关系式，且，可得点在线段上移动，且，，如图所示，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是.故选：D.8．【正确答案】B【详解】如图所示，延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值，即为点到平面的距离，因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又因为，所以三棱锥为正三棱锥，取等边的中心为，连接，可得平面，所以即为点到平面的距离，在等边，因为，可得，在直角中，可得，即点到平面的距离为，所以的最小值为.故选：B.9．【正确答案】ABD【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，，设，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选ABD.10．【正确答案】AC【分析】利用直线倾斜角、斜率及斜率坐标运算逐项分析判断即得.【详解】对于A，任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率，A正确；对于B，若直线的斜率为，此时的倾斜角为，B错误；对于C，由，得不能表示经过点的方程，C正确；对于D，直线过定点，直线的斜率，直线的斜率，依题意，或，解得或，D错误.故选AC.

11．【正确答案】BCD【详解】对于A，因为，即，所以，即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A错误；对于B，在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；对于D，到直线的距离为，当点落在上时，，故D正确.故选：BCD.12．【正确答案】或【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得.【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，①若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，故直线方程为，即；②若，则直线方程为，代入可得，解得，故直线方程为.综上所述：所求直线方程为或.故或.13．【正确答案】5【分析】根据共面向量基本定理，即可列式求解.【详解】因为共面，所以存在实数，使得，即，即，解得：，，.故5.14．【正确答案】【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，，设，则，，故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故．15．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后由点斜式方程求出即可；（2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.【关键点拨】求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程.16．【正确答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先证，再由线线平行正线面平行即可；（2）由题意建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）因为是直三棱柱，则，又因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，故平面；（2）如图，因为直三棱柱中，故可以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则，故直线与直线的夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，故可取，设直线与平面所成角的大小为，所以即直线与平面所成角的正弦值为.18．【正确答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求得的面积为，结合，得到，分类讨论，即可求解；（2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合的取值和一元二次方程的性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，且，则直线与轴的交点为，与轴的交点为，所以的面积为；因为，可得，①当时，方程化为，解得或1，此时直线的方程为：或；②当时，方程化为，此时，方程无解（舍去），综上可得，当时，直线的方程为或.（2）由，可得方程，①若时，方程化为，此时，可得，方程有两正解，即有两条直线；②若时，方程化为，当时，，方程无实数根，此时无直线；当时，，方程有一负根，此时有一条直线；当时，，方程有两负根，即有两条直线；综上知，当时有两条直线；当时有三条直线；当时有四条直线；所以，当时，集中的元素有2个；当时，集合中的元素有3个；当时，集合中的元素有4个.19．【正确答案】(1)答案见解析(2)①

2；②

【详解】（1）在矩形中，，且是的中点，，故，又，则，即，如图，记，连接，因是矩形，故是的中点，又，所以，又平面平面，平面平面平面，故