高考数学（理）一轮总复习作业-双曲线（一）

题组层级快练（六十五）

22

1.双曲线36+1n2-P=l（°<m<3）的焦距为（）

A.6B.12

C.36D.2^/36-2m2

答案B

解析c2=36—m2+m2=36,・,=6.双曲线的焦距为12.

2.双曲线8kx2—ky2=8的一个焦点是（0,3）,则k的值是（）

A.1B.-1

「逅D—亚

J33

答案B

解析以2一警=1,焦点在y轴上，c=3,解得k=-1.

3.已知双曲线用一？=l（a>0）的离心率为2,贝I]a=（）

dJ

A.2B坐

C.坐D,1

答案D

22

解析因为双曲线的方程为苕x一5v=1,所以e?=l+3至=4,因此a?=l,a=l.选D.

aJd

22

4.（2017•北京西城期末）mn〈0是方程*+[=l表示实轴在x轴上的双曲线的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当mn<0时，分m<0,n>0和m>0,n<0两种情况.

222

①当m<0,n>0时，方程宗+；=1表示焦点在y轴上的双曲线；②当m>0,n<0时，方程专

+、■=：!表示焦点在x轴上的双曲线.因此，当mn<0时，方程专+；=1不一定表示实轴在

22

x轴上的双曲线.方程专+彳=1表示实轴在x轴上的双曲线时，m>0,n<0,必定有mn<0.

22

由此可得：mn<0是方程*+±=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件.故选

B.

5.（2017•河北邢台摸底）双曲线x2—4y2=—1的渐近线方程为（）

A.x±2y=0B.y±2x=0

C.x±4y=0D.y±4x=0

答案A

22

解析依题意，题中的双曲线即〒一x2=l,因此其渐近线方程是〒一x2=0,即x±2y=0,

44

选A.

6.（2018・湖北孝感一中月考）设点P是双曲线?爷=30,b>0）上一点，Fi，F2分别是双

曲线的左、右焦点，已知PFIJ_PF2，M|PFI|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是（）

A.y=:"\^2xB.y=:*\^3x

C.y=2xD.y=4x

答案C

解析由双曲线的定义可得|PB|—|PF2|=2a,又|PFI|=2|PF2|,#|PF2|=2a,|PFi|=4a.在Rt

222222

△PF1F2中，|FIF2|=|PFI|+|PF2|,.,.4c=16a+4a,即d=5a?,则b?=4a2,即b=2a,

则双曲线走一，=1的一条渐近线方程为y=2x.故选C.

7.（2018•安徽屯溪一中模拟）已知双曲线的离心率为坐,且其顶点到其渐近线的距离为零,

则双曲线的方程为（）

答案D

解析当焦点在x轴上时，设双曲线方程为a一3=1（a>。，b>0）.双曲线的离心率为e=^=

dDa

尸尸答

二号理，渐近线方程为y=±*=±9x.

I坐a|rr-

由题意，顶点到渐近线的距离为C一=午,解得a=2,

W1

..）=小，，双曲线的方程为会一1'=1.

当焦点在y轴上时，设双曲线方程为，-3=l(a>0,b>0).双曲线的离心率为e=^=^yl+^2

=亚

—2，

..q=坐，渐近线方程为y=±!x=±乎x,由题意可知：顶点到渐近线的距离为回

红料，解得a=2,..4=小，

22

.,.双曲线的方程为亍一年=1.

v2y2y2x2

综上可知，双曲线的方程为\=1或1=1.故选D.

22.

8.已知点Fi，F2分别是双曲线xQ—v%=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过点Fi且垂直于x轴的

直线与双曲线交于A,B两点，若AABF?是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

()

A.(1,3)B.(小，2/)

C.(1+陋，+8)D.(1,1+A/2)

答案D

b2

兀ac?—a?।

解析依题意，0<NAF2FI<Z，故O<tan/AF2F1<1,则五即e—]<2,e2-2e-

1<0,(e-l)2<2,所以l<e<l+地，故选D.

9.已知双曲线mx?—ny』l(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=l的离心率为()

A.fB坐

C亚D”

。3u3

答案B

解析由已知双曲线的离心率为2,得=2.

解得m=3n.又m>0,n>0,/.m>n,BP->―

故由椭圆mx2+ny2=l,得宁+牛=1.

nm

n3n加

，所求椭圆的离心率为e=

1—3•

10.已知双曲线的方程为最一A=l（a>0,b>0）,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为田

c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（）

。5

解析双曲线点一,=1的渐近线为:土卡=0,焦点A（c,0）到直线bx—ay=0的距离为

=杀：，则c2—a2=-c2,得e2=*e=|,故选B.

H.（2018•成都市高三二诊）设双曲线C：?一W=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为B，F2,

以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OFi（O为坐标原点）为直径的圆与PF,

相切，则双曲线C的离心率为（）

—3+2

A.^2

C.小

如图，在圆O中，F1F2为直径，P是圆。上一点，所以PF|±PF2,

设以OFI为直径的圆的圆心为M,且圆M与直线PF2相切于点Q,则

M（-1,0）,MQ±PF2,所以PF/MQ,所以霜皆，即高=右

OpOp4C*2Op

222

可得|PFi|=至，所以|PF2|=^+2a,X|PFi|+|PF2|=|FIF2|,所以勺+（丁+2a）2=4c?,即

->kr,/H3+6^/23—6A/2.,,,

7e2—6e—9=0,解侍e=-e=---尸一（舍去）.故选D.

22

12.（2018・贵阳市高三检测）双曲线x/一言v=l（a>0,b>0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、

左、右”四个区域（不含边界），若点（2,1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围

是（）

55,

c.(1,4)D.q,+8)

答案B

解析依题意，注意到题中的双曲线专一3=i的渐近线方程为丫=±3,且“右”区域是不

dDd

卜<?，2bb1

等式组〈K所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<多，即因此题中的双

baa/

(yf

曲线的离心率e=\^l+(号)2金(坐,+8),选B.

22

13.已知曲线方程工*一T=1,若方程表示双曲线，则正的取值范围是________.

A十2八十1T1

答案九v—2或Q*—1

22

解析•方程=1表示双曲线,(k+2)(k+l)>0,解得入v—2或X>—1.

A-I-ZA-I-1

22l

14.(2016•北京)已知双曲线x於一v%=l(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(小，

0),贝!)a=；b=.

答案12

解析由题意知，渐近线方程为y=-2x,由双曲线的标准方程以及性质可知当=2,由c=小，

c2=a2+b2,可得b=2,a=l.

15.(2015•课标全国II,文)已知双曲线过点(4,小),且渐近线方程为丫=±幺，则该双曲线

的标准方程为.

答案\—y2=l

解析方法一：因为双曲线过点(4,小)，且渐近线方程为y=±%,故点(4,3)在直线y

f42_(A/3)2

1、x2v2Ja2b2—1)

=/的下方.设该双曲线的标准方程为荐一S=l(a>0,b>0),所以《解得

2aDb_l

、@一2'

fa—2,x2

b=1故双曲线方程为5一y2=l.

12

方法二：因为双曲线的渐近线方程为y=±1x,故可设双曲线为全x一y2=MX>0),又双曲线过

L42LX2

点(4,小)，所以4—(市)2=九，所以入=1,故双曲线方程为4—y2=i.

x2

16.(2018・湖南长沙模拟)P是双曲线C：,一y2=l右支上一点，直线1是双曲线C的一条渐

近线，P在1上的射影为Q,Fi是双曲线C的左焦点，则|PF||+|PQ|的最小值为.

答案2g+1

解析设右焦点为F2,—|PF2|=2啦，

：.|PFI|=|PF2|+2由，：.|PFI|+|PQ|=|PF2|+2小+|PQ].当且仅当Q,P,F2三点共线，且P

在F2,Q之间时，|PF2|十|PQ|最小，且最小值为F2到1的距离.

由题意得1的方程为y=±^x,F2巾,0),F2至U1的距离d=l,；.|PQ|+|PFi|的最小值为2^2

+1.

17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，FHF2分别为左、

右焦点，双曲线的左支上有一点P,ZF1PF2=^,且△PF1F2的面积为2馅，八,

3a&

又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程./I\

3x?

口木22.1

22

解析设双曲线的方程为x$—式v=1,

c,0),F2(C,0),P(xo,yo).

JI

222

在△PF1F2中,由余弦定理，#|F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1|•|PF2|-cosy

2

=(|PFI|-|PF2|)+|PFI|•|PF2|.

22

即4c=4a+|PFi|•|PF2|.

又•.•SZIPFIF2=2V5,

.'.^|PFI|•|PF2|•si修=2小.

/.|PFi|•|PF2|=8.

.•.4/=4a?+8,即b2=2.

又e=£=2,a2=弓.

a3

・•・所求双曲线方程为号3x2一5/=1.

18.(2018•上海崇明一模)已知点Fi，F2为双曲线C：x2一0=1的左、右焦点，过F2作垂直

于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M,ZMFIF2=30°.

⑴求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为Pi,P2,求11•而2

的值.

答案(1)X2-^=1(2)1

解析(1)设F2,M的坐标分别为(、/l+b2,0),(VT+b5,yo)(yo>O),

2

因为点M在双曲线C上，所以l+b?—泮=1,则yo=b2,

所以|MF2|=b2.

2

在Rt/XMFzFi中，ZMFIF2=30°,|MF2|=b,所以|MFi|=2b2.

由双曲线的定义可知：|MFi|—|MF?|=b2=2,

故双曲线C的方程为X2—^-=1.

(2)由条件可知：两条渐近线分别为h：也x—y=0,12:&x+y=0.

设双曲线C上的点P(xo,yo)两条渐近线的夹角为0,由题意知cos。=1■.则点P到两条渐近

线的距离分别为明|=普产，叫|=电铲.

因为P(xo,yo)在双曲线C：X2-2-=1±,所以2X()2—y()2=2.

22

^lV2xo-yol虚xo+yo||2x0—yol12

所以PPi-PP2=---------『cose=­3------3=9.

|备选题|

1.(2015・广东，理)已知双曲线C：/一心=1的离心率e=a，且其右焦点为F2(5,0),则双

曲线C的方程为()

.x2x2

A,431161

_x2x2y2

r———工―=1P)———工—=1

。1691u341

答案C

解析因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.

_c5

因为离心率匕=£=不所以a=4.

又a2+b2=c2,所以b2=9.

故双曲线C的方程为专一5=1.

2.若双曲线?一5=1的离心率为小，则其渐近线方程为()

A.y=±2xB.y=

1

C.y=±^xD.y=±2^

答案B

解析由离心率为可知c=4a,...b=啦a..•・渐近线方程为y=±3c=±^「x,故选B.

3.(2015・天津，文)已知双曲线$-8=l(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近

线与圆(x—2)2+y2=3相切，则双曲线的方程为()

2

29Xy2

1

1310-139

x2v2

C百一y2=lD.x2——1

答案D

解析双曲线的一条渐近线方程为y=*，即bx—ay=0.

<c2=a2+b2,

c=2,

由题意，得《解得a2=l,b2=3,

从而双曲线的方程为x2-^-=l.

22

4.设Fi，F2分别为双曲线x於一v石=l(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得

0

|PFi|+|PF2|=3b,|PFi|•|PF2|=4ab,则该双曲线的离心率为()

A-3B-3

9

C.4D.3

答案B

2

解析由双曲线的定义，得||PFi|—|PF2||=2a.又|PFi|+|PF2|=3b,frtU(|PFi|+|PF2|)-(|PFi|

2222222

-|PF2|)=9b-4a,即4|PFi|•|PF2|=9b-4a.X4|PF!|•|PF2|=9ab,因此9b-4a=9ab,

即9日一空—4=0，则年+1)爵一4)=0,解得*襄=一^■舍去)，则双曲线的离心率e

3

5.(2015・广东改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于］,则C的

方程是()

X2

B-Z5=1

D1上—i

D2小一1

答案B

解析由曲线C的右焦点为F（3,0）,知c=3.

3c3

由离心率e=5，知g=5，贝Ia=2.

乙dZ

故b2=c2—a2=9—4=5.

所以双曲线C的方程为3一9=1.

6.（2016•天津）已知双曲线5=l（b>0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆

与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点，四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的

方程为（）

BX

441

内_上=1

J441121

答案D

解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±与

b4

x,圆的方程为x?+y2=4,不妨设交点A在第一象限，由y=",x?+y2=4得XA=1J不不,

yA=^=p,故四边形ABCD的面积为4XAYA=着券=2b,解得b2=12,故所求的双曲线

方程为，一方=1,选D.

22

7.（2017・邯郸调研）已知F为双曲线xq—v%=l（a>0,b>0）的左焦点，c为双曲线的半焦距,

定点G（0,c）,若双曲线上存在一点P满足|PF|=|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是（）

A.他,+8）B.（1,V2）

C.电+8）D.（1,小）

答案A

解析若双曲线上存在点P满足|PF|=|PG|,则必须满足FG的中垂线与双曲线有交点，则P

是线段FG中垂线与双曲线的交点，因为直线FG的方程为丫=*+5所以线段FG中垂线的

方程为y=-x,又双曲线的渐近线方程为y=+^x,则一"一1,即，>1,所以1+*>啦,

所以双曲线的离心率的取值范围为（也，+8）.

22

8.（2018・辽宁抚顺重点高中协作校一模）当双曲线M：奈一广士=1（-2Wm<0）的焦距取得

4111IU

最小值时，双曲线M的渐近线方程为（）

A.y=±\[2x

D.y=±^x

C.y=±2x

答案C

解析c2=m2+2m+6=(m+1)2+5^5,当且仅当m=—1时取等号，此时a2=m2=l,b2

=2m+6=4,所以詈2,即双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选C.

9.（2018•辽宁师大附中期中）如图，Fi,F2是双曲线C：於一在=1值>0,

b>0）的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点，且

四边形PFIQF2为矩形，则双曲线的离心率为（）

A.2+也B.2+^/6

C、2+也D.、2+乖

答案C

解析将y=x代入，一5=1,可得x=七#|，.由矩形的对角线长相等，得也

=c,/.2a2b2=(b2-a2)c2,2a2(c2-a2)=(c2-2a2)c2,/.2(e2-l)=e4-2e2,.,.e4-4e2+2=

0,又：e>：l,：.e2=2+y/2,e=、2+也.故选C.

22

10.（2018•河南八市重点高中模拟）已知Fi，F2分别是双曲线x不一v心=l（b>0）的左、右焦点,

P为双曲线上的一点，若NFIPF2=120°,且AFiPF2的三边长成等差数列，则双曲线的渐

近线的斜率是（）

A.土乎B.土乎

C.土平D.土平

答案D

m—n=4

解析不妨设P点在第一象限，|PFi|=m,|PF2|=n,则由已知得<m2+n2+mn=（2c）2,所

、n+2c=2m

以C2—9C+14=0,解得c=7或c=2（舍去），由b2=c2—a?得b=34，则双曲线的渐近线的

斜率是苦，故选D.

11.（2018•天津一中模拟）已知双曲线方一，=l（a>0,b>0）的一条渐近线平行于直线1：x+2y

+5=0,且双曲线的一个焦点在直线1上，则双曲线的方程为（）

A2L_r=]B2£2_2T=

从2051n,5201

3x2_3y2_3x2_3y2_

e-25100-1"10025-1

答案A

22

解析因为双曲线於x一言v=l(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线1：x+2y+5=0,且双曲线

r

_b=_l

a2'（a=2、万22

的一个焦点在直线1上，所以<c=5,得fb—W'所以双曲线的方程为去一L

.a2+b2=c2,

22

12.（2018•兰州市高考诊断）已知Fi，F2为双曲线C：x於一v仔=l（a>0,b>0）的左、右焦点，点

P为双曲线C右支上一点，直线PFi与圆x?+y2=a2相切，M|PF2|=|FIF2|,则双曲线C的离

心率为（）

A.邛B.|

5

CqD.2

答案c

解析设直线PF1与圆相切于点M,：|PF2|=|FIF2|,...△PF1F2为等腰三角形，二间乂尸"

|PFi|,：在Rt4FiMO（O为坐标原点）中，|FIM|2=|FIOF—a2=c2—a?,.,.|FiM|=b=3PFi|①，

c5

又|PFi|=|PF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2@,故由①②③得，e===Q.故选C.

aJ

13.（2018•福建漳州一中期中）已知双曲线5=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi，F2,

若双曲线右支上存在一点P,使得F2关于直线PR的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心

率e的取值范围为（）

A,2^3-2s

A.l<e<B.e>2-

C.e>y[3D.l<e<小

答案B

解析设点F2（C,0）,由于F2关于直线PFi的对称点M恰在y轴上，不妨设M在y轴正半

轴上，由对称性可得，|MFI|=|FIF2|=2C,则|MO|=N4C2—C2=V5C,则NMFF2=60°,Z

PFIF2=30°,设直线PFi：y=（x+c）'代入双曲线方程，可得（3b2—a?）x2—2ca2x—a2c2

—3a2b2=0,则方程有两个异号实数根,则有3b2—a2>0,即有3b2=3c?—3a?>a2,即c>哈,

则有.故选B.

aJ

22

14.（2016•课标全国I）已知方程蜷入一五之二=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距

离为4,则n的取值范围是（）

A.(-1,3)B.(-1,小)

C.(0,3)D.(0,小)

答案A

解析由题意得（m2+n）（3m2—n）>0,解得一m2<n<3m2,又由该双曲线两焦点间的距离为4,

得m2+n+3m2—n=4,即m?=l,所以一l<n<3.

15.（2017・济宁模拟）如图所示，正六边形ABCDEF的两个顶点A,D为双灰——长

曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是\D

A.V3+1B.V3-1Bc

C.y[3D.^2

答案A

解析令正六边形的边长为m,则有|AD|=2m,|AB|=m,|BD|=〈5m,该双曲线的离心率

等于----------=,-~m-=-\[3+1

JHABI-IBDII小m—m'

16.（2013•全国I）已知双曲线C：1=l（a>0,b>0）的离心率为坐，则C的渐近线方程

为（）

A.y=±3B.y=±^x

C.y=±/xD.y=±x

答案C

/.a2=4b2,）=1.・・・渐近线方程为丫=当.

dzz

17.（2018•山东滕州月考）已知双曲线会一^=1的左、右焦点分别为Fi,F2,若双曲线的左

支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）

C.2D.4

答案D

x2v2

解析由双曲线万一甘=1,知a=5,由双曲线定义|MF2|—|MFi|=2a=10,得|MFi|=8,

|NO|=||MFi|=4.

18.（2018・湖南六校联考）已知双曲线千一\=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi、F2,以

FF2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3,4）,则此双曲线的方程为（）

,x2X23^

A.9141

x2y2x2V2

"161u'431

答案C

解析由已知可得交点（3,4）到原点O的距离为圆的半径，则半径[=[32+42=5,故c=5,

a2+b2=25,又双曲线的一条渐近线y=&过点（3,4）,故3b=4a,可解得b=4,a=3,故

d

选c.

19.（2018•杭州学军中学模拟）过双曲线Ci：，一5=