高考数学专项复习：三角函数（新定义）（原卷版）

专题04三角函数（新定义）

一、单选题

1.（2023秋.山东临沂.高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度

量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常

数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度数为12兀，

则角。的正弦值为（）

2.（2023秋•江苏苏州•高一统考期末）定义:正割secc=—余割csca=—匚.已知加为正实数，且

cos6Zsma

机©。2》+121?%？15对任意的实数《户上乃+不壮2）均成立，则加的最小值为（）

A.1B.4C.8D.9

3.（2022•全国•高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位

的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短

线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”.若（sine-cosay=2sinacosc,则角a可取的值用密位制

表示错误的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

4.（2022秋•山东青岛•高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算sinx,cos%,/,

Inx,6等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这

r3r5V7v2r4r6

些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，$0sinx=x-—+cosx=l-—+

3!5!7!2!4!6!

其中〃!=lx2x...x”，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和

COSX的值也就越精确.运用上述思想，可得到-si”与+1）的近似值为（）

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

5.（2022春•广东中山•高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的士称为1密位.用密

6000

位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位

数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角=30—00,1个周

角=60—00,已知函数/（x）=7^x-2cosx,xe叁与，当/（尤）取到最大值时对应的无用密位制表示为（）

A.15—00B.35—00C.40—00D.45—00

6.（2022春•云南昆明•高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x,y）（孙M）是角Q终边上一点，P

YYX

与原点0之间距离为r,比值一叫做角a的正割，记作seca；比值一叫做角a的余割，记作csca；比值一叫

xyy

做角a的余切，记作cota.四名同学计算同一个角力的不同三角函数值如下：甲：sec/=-9；乙：csc£=g；

34

丙：tan/?=-—；丁：cot/?=j.

如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

[a,a>b

7.（2023秋・湖南邵阳•高一统考期末）设£R,定义运算〃区6=则函数/（x）=sin%区cos尤的

[b,a<b

最小值为（）

J21

A.-1B.-注C.——D.0

22

8.（2023秋.浙江杭州.高一浙江大学附属中学校考期末）正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊

朗数学家阿布尔•威发首先引入的.定义正割seca=—,余割csca=—.已知加为正实数，且

cosasina

根・csc2x+tan?15对任意的实数。£Z）均成立，则机的最小值为（）

A.1B.4C.8D.9

9.（2022春.江西景德镇.高二景德镇一中校考期中）对集合也,。2,…，％｝和常数加，把

/=空（%一句+到3—"）+•••+s.（%—m）定义为集合｛知出,…9｝相对于m的“正弦方差”，则集合

k

9相对于加的“正弦方差”为（）

[02bJ

A.1B.1C.1D.与加有关的值

222

10.（2022秋・山东•高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：

（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较

长部分与整体长度之比，其比值为避二1

2

（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.

（3）有一个内角为36。的等腰三角形为黄金三角形，

由上述信息可求得5而126。=（）

Ay/5—1+1

A.-------RD.--------

22

C.>TD.>+l

44

ab

11.（2021秋•四川巴中•高一校联考期末）定义运算^ad-bc如果

cJa

,,105jrTT

小)=2sm(5+"(…的图像的一条对称轴为满足等式2W=3tM则。取最

小值时，函数的最小正周期为()

71

A.~2B.兀D.2兀

12.(2020•全国•高三校联考阶段练习)对于集合｛石,孙…,五｝，定义:

COS2（玉-X）+COS2（x-X）H------FCOS2（%〃一%）

o20为集合｛石,入2，…，%｝相对于%的“余弦方差”，则集合

n

相对于X。的“余弦方差”为(）

£D.乎

A.B叵

4-I2

13.(2020秋•江西宜春•高三奉新县第一中学校考阶段练习)已知函数/'(x)=2tan(。尤)(0>0)的图象与直线

,、[a,a..b

i=2的相邻交点间的距图为万，若定义max｛a,b｝=1,则函数〃(x)=max"(x),f(x)cosx｝在区间

[b,a<b

14.(2022春•陕西延安•高一校考阶段练习)对于函数f(x),在使/(x)NM成立的所有常数M中，我们把M

的最大值称为函数Ax)的“下确界”.若函数/(x)=3cos(2x-g1+l,尤的“下确界，为一，贝1]小的

取值范围是()

15.（2020•全国•高一假期作业）如果函数〃x）在区间。上是凸函数，那么对于区间。内的任意4,^2,

%,都有/（xJ+/KJ…+"%）<f[.+々；-+尤]，若尸sinx在区间（0,乃上是凸函数，那么在MBC

中，sinA+sin_B+sinC的最大值是（）

A.-B.3C.立D.迪

222

二、多选题

16.（2022・全国•高一专题练习）定义：〃=cos?-q）+cos?（a4）+•••+cos?（--4）为集合

n

A={GC，…0}相对常数4的“余弦方差”.若0,^,则集合A=g,0%目对。的“余弦方差”的取值可能

为（）

A.-B.-C.-D.-

8245

17.（2021秋.全国•高三校联考期中）数学中一般用min{a,6}表示a,b中的较小值，max{a,6}表示a,b

中的较大值；关于函数：/（x）=min|sinx+A/3COSJ;,sinx-yficos；

g（无）=max卜inx+gcos尤,sinx-石cosx},有如下四个命题，其中是真命题的是（）

A.〃尤）与g（x）的最小正周期均为万

B.与g（"的图象均关于直线尤=芋对称

C.“X）的最大值是g（x）的最小值

D.〃尤）与g（x）的图象关于原点中心对称

1T

18.（2022•江苏•高一专题练习）已知角。和。都是任意角，若满足。+9=]+2日#wZ,则称。与9“广义

互余”•若sin（乃+可=-；，则下列角夕中，可能与角a"广义互余''的有（）

A.sin。=半B.cos（%+£）=：C.tan/=岳D.tan〃="

19.（2022春・辽宁沈阳・高一沈阳市第一二O中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更

加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-COS。为角。的正矢，记作versin。，定义1-sin。

为角。的余矢，记作coversin。，则下列命题正确的是（）

.16%1

A.versm-----=—

32

B.versin----6=coversmO

coversinx-]-

贝!2

C.右；~乙，J(coversinx-versinx)=—

versmx-1

函数/(%)=ver

sinf2020%-y+coversin2020%+—的最大值为2+0

D.I6

20.(2022秋.河南濮阳.高一濮阳一高校考期末)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精

确性，曾经出现过下列两种三角函数:•定义1-cos。为角。的正矢，记作ursine,•定义1-sing为角。的余

矢，记作coversin。，则下列命题中正确的是()

「31

A.函数y=versinx在肛2万上是减函数

B.函数y=--------；——的取小正周期为乃

coversmx

.71.

C.versin(——0)=coversin0

D.versin(cr+J3)=versina-coversin/?+coversina•versin0

三、填空题

21.(2023•高一课时练习)我们规定把y=g[cos2(2+A)+cos22+cos2(2-A)]叫做8对A的余弦方差，那

么对任意实数8,8对三的余弦方差是

22.(2022.全国•高一专题练习)已知/(x),g(x)都是定义在R上的函数，若存在实数也〃，使得

h[x}=nf{x}+ng{x},则称人⑺是/(无),g(x)在R上生成的函数.

若〃x)=cos21■-sin],g(x)=sinx,以下四个函数中:

③y=2cos2@y=2sin2lx.

所有是/(x)，g(x)在H上生成的函数的序号为.

abab

23.(2021春•江苏淮安•高一校联考阶段练习)形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-be,

cdcd

心

sin15°

2

则行列式的值是

cos15°显

2

24.（2023・高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给

出下列四个函数：①/（x）=sinx+cosx；②力（x）=0sinx+逝；③力⑺=sinx；④

力（x）=^（sinx+cosx）.其中“同形”函数有.（选填序号）

25.（2023•高一课时练习）在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y=/（x）的图像恰好经

过上个格点，则称函数为左阶格点函数.在彳亡［-心句上，下列函数中，为一阶格点函数的是

.（选填序号）①y=sinx；（2）y=ex-1；③y=lnx；@y=x2

26.（2022春•河南商丘•高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系X。，中，己知任意角。以

坐标原点。为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点p（x。,%）,且即|=r（r>0）,定义：sos6=国土员，

r

称“SOS。”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y=sosx”，有同学得到以下性质：

①该函数的值域为［-后,0］;②该函数的图象关于原点对称；

3

③该函数的图象关于直线x=对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为2万；

4

37T

⑤该函数的递增区间为2k7r--^,2k7r+—kez.

其中正确的是.（填上所有正确性质的序号）

ab4

27.（2015秋•广东揭阳•高一统考期中）定义一种运算4@%=」""一,令f（x）=（cos2x+siflx）®2,

bza>b4

植F

窠；I的最大值是

且富圈噌I‘则函数,外

M这区,a

四、解答题

28.（2023春・云南文山•高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸

识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在

人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距

离.若二维空间有两个点4（%,%）,B（孙力），则曼哈顿距离为:d（A3）=/-余弦相似度为:

（［々

cosA,B}=,%—x-_x,%余弦距离为l-cos（AB）

&+正+货代+y；&+货

⑴若A（-l,2）,求A，8之间的曼哈顿距离d（A3）和余弦距离;

12

⑵已知Af（sin<z,cosa）,N（sin，,cos，），Q（sin△-cos，），若cos（M,N）=《，cos（Af,Q）=1■，求tanetan£

的值

29.（2023・高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边

长与角的大小之间可以相互转化.与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰

三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在AABC中，AB=AC.顶角A的正对记作sadA,这

时骋电=需二器.容易知道一个角的