探索勾股定理（学生版+解析）-2022-2023学年浙教版八年级数学上册同步讲义

第13课探索勾股定理

号目标导航

学习目标

L掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的几何问题.

2.掌握勾股定理定理，会用上述定理判定一个三角形是不是直角三角形.

施知识精讲

知识点01勾股定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+62=02.

注：解决直角三角形三边有关问题

知识点02勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

注：直角三角形的判定方法

能力拓展

考点01勾股定理的应用

【典例1】如图所示，在RtZXABC中，NC=90°,平分/C4B,于点E,若AC=6,BC=8,

CD=3.

(1)求A2和。E的长；

(2)求的面积.

A

【即学即练1】如图，在△ABC中，若A8=AC=6,BC=4,A。平分/BAC,则AD的长等于（

c.2775D.4

考点02勾股定理的逆定理的应用

【典例2】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（

A.0.3,0.4,0.5B.1,1,V2C.6,8,13D.9,12,15

【即学即练2】如图，RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=12,BC=16,CD=21,4。=29,点E是A。的中点,

求CE的长.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.如图，字母A所代表的正方形的面积是（）

2.直角△ABC的斜边为5,一条直角边为4,则此三角形的面积是（)

A.10B.20C.12D.6

3.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,则斜边上的中线长为（）

A.反B.6C.区D.13

22

4.平面直角坐标系内，点P（-6,8）到原点的距离是（）

A.7B.8C.9D.10

5.下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.娓,J10B.62,82,102C.1,娓,2D.1,1,1

345

6.下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.c2=a2+b2B.ZA+ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=2：3：5D.a=6,b=12,c-二13

7.如图，已知BD是△ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线，ZBAC=90°,AD=3,则CD的长为

8.ZkABC中，AC=8,BC=6,在AABE中，DE为AB边上的高，DE=12,SMBE=60,则A8=

NC=

9.如图，四边形A8CZ)中，ABLBC,AB=4,BC=3,A£)=12,CD=13,则四边形ABC。的面积是

10.已知a,b,c满足=0,请判断以a,b,c为边长的三角形是否是直角三角形，并说明理由.

11.如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,垂直4?于点。，AC=2&，BC=2娓.

(1)求斜边AB的长；

(2)求斜边上的高C。的长.

A

D

CB

12.(1)如图1,在△ABC中，CD1AB,AC=3炳,CD=6,8c=10,求△ABC的面积.

(2)如图2,在△ABC中，AC=8,AB=4,ZBAC=120°,求△ABC的面积.

题组B能力提升练

13.斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（)

A.3,V7B.2,3C.3,5D.2,2

14.△ABC的三边满足G-13）2+|b-12|=0，贝必人尤为（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形

15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm,则

17.如图，在△ABC中，边上的垂直平分线。E与A3、AC分别交于点E和。，且。笈二人小一°2.

(1)求证：ZC=90°；

(2)若AC=4,BC=3,求CO的长.

A

E

D

CB

18.已知a,b,c为△ABC的三边，且满足/02_62°2=々4_。4,试判断△ABC的形状，解题过程如下:

224

2c2-l）c—a-匕4①

c2（a2-Z?2）=（a1-伊）（/+庐）②

c1—c^+b1®

:.AABC是直角三角形

上述解题过程有误，请指出错误在①②③的哪一步，并作改正.

题组C培优拔尖练

19.在△ABC中，ZA,NB,NC的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是（）

A.如果a：b：c=l：1：那么△ABC是直角三角形

B.如果NA=NB-NC,那么△ABC是直角三角形

C.如果a=3c,b=2c,那么△ABC为直角三角形

55

D.如果户=/-02,那么△ABC是直角三角形且/8=90°

20.直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为（）

D

A.5平噂

21.如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A,B,C均在格点上，则NABC的度数为（）

22.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,为中线，E为的中点，F为BE的中点，连结。F.若

AC=4«,DF1BE,则。尸的长为2

23.如图，AB_LBC于点8,于点A,点E是CD中点，若BC=5,AD=10,BE=^-,则A8的

2

长是

射线AC运动，则点。运动中使得△A3。为等腰三角形的所有时间，等于一秒.

B

25.如图，在△ABC中，AC=BC=6,E为BC边上一点，且CE=2,

(1)求A8的长；

(2)点P为AB边上的动点，当为等腰三角形时，求AF的长.

B

E

CA

c=

（2）在（1）的条件下判断：以〃，b,c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论.

第13课探索勾股定理

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学习目标

1.掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的几何问题.

2.掌握勾股定理定理，会用上述定理判定一个三角形是不是直角三角形.

琬知识精讲

知识点01勾股定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么/+庐=02.

注：解决直角三角形三边有关问题

知识点02勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是

直角三角形.

注：直角三角形的判定方法

能力拓展

考点01勾股定理的应用

【典例1】如图所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AQ平分/CAB,OE_LA8于点E,若

AC=6,BC=8,C£>=3.

(1)求AB和DE的长；

(2)求△AD2的面积.

【思路点拨】（1）根据根据勾股定理得到A8,根据角平分线性质得出CD=DE,代入

求出即可;

(2)利用勾股定理求出A3的长，然后计算的面积.

【解析】解：(1)VZC=90°,

*'-AB=VAC2+BC2==10;

「A。平分/GW,DELAB,ZC=90°,

：.CD=DE,

VCD=3,

.*.£>£=3；

(2)由(1)知，A2=10,

△AQB的面积为10X3=15.

22

【点睛】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边

的距离相等.

【即学即练1】如图，在△ABC中，若A2=AC=6,BC=4,AD平分NBAC,则的长

B.275c.2V10D.4

【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到AALBC,BD=2,根据勾股定理计算，得到答

案.

【解析】解：BC=4,AO平分NB4C,

C.ADLBC,BD=DC=LC=2,

2

•1•A£,=VAB2-BD2==4A/2-

故选：A.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解

题的关键.

考点02勾股定理的逆定理的应用

【典例2】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是()

A.0.3,0.4,0.5B.1,1,V2C.6,8,13D.9,12,15

【思路点拨】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的

平方.

【解析】解:A、0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形；

B、12+12=（V2）2,能构成直角三角形；

C、62+827^132,不能构成直角三角形；

D、92+122=152,能构成直角三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法.在应用勾股定理的

逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方

和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

【即学即练2】如图，RtZkABC中，ZB=90°,AB=12,BC=16,CD=21,AD=29,点

E是A。的中点，求CE的长.

【思路点拨】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直

角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.

【解析】解：在RtZXABC中，ZB=90°,

'：AB=n,BC=16,

AAC=VAB2+BC2=V122+162=20'

:CD=21,AD=29,

VAC2+CD2=202+212=841,

A£）2=841,

:.AC2+CD2=AD2,

：.ZACD=9Q°,

...△AC。是直角三角形，

:点E是AD的中点，

CE=Ain=Ax29=-^..

2仙22

【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，能根据勾股

定理的逆定理判断出△ADC是直角三角形是解答此题的关键.

M分层提分

题组A基础过关练

【思路点拨】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于

其它两个正方形的面积差.

【解析】解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积=169-144=25.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边

长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.

2.直角△ABC的斜边为5,一条直角边为4,则此三角形的面积是（）

A.10B.20C.12D.6

【思路点拨】利用勾股定理求出另一条直角边，即可得出面积.

【解析】解：由勾股定理得，另一条直角边为冲彳=3，

此三角形的面积是/x3X4=6，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

3.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,则斜边上的中线长为（）

A.BB.6C.卫D.13

22

【思路点拨】根据勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的

一半即可求解.

【解析】解:由勾股定理得：斜边的长为：752+122=13;

.•.斜边上的中线的长为：堂，

2

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解此题的关键是熟记直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半.

4.平面直角坐标系内，点尸（-6,8）到原点的距离是（）

A.7B.8C.9D.10

【思路点拨】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾

股定理求解即可.

【解析】解：点尸（-6,8）到原点的距离=[（-6）2+g2=io,

故选：D.

【点睛】本题考查了两点间的距离公式，用到的知识点为：点到原点的距离是此点的横

纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边的长度.

5.下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.娓,Vs，V10B.62,82,102C.1,V5-2D.-1,A,1

345

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，

那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定

即可.

【解析】解：4（V6）2+（V8）2#（V10）2,不符合勾股定理的逆定理，不能构成

直角三角形，故本选项不符合题意；

B、（62）2+（82）2#（102）2,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本

选项不符合题意；

C>12+22=（V5）2,符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；

D、（1）2+（1）2会（1）2,不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本

453

选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所

给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关

系，进而作出判断.

6.下列条件中，不能判定AABC为直角三角形的是（）

A.c2=a2+b2B.ZA+ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=2：3：5D.a=6,b=12,c=13

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答.

【解析】解：Vc2=a2+Z>2,

能判定△ABC为直角三角形，

故A不符合题意；

B、VZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.•.2/C=180°,

：.ZC=90°,

能判定AABC为直角三角形，

故B不符合题意；

C、VZA：/B：NC=2：3：5,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=180°X―§—=90°,

2+3+5

/.能判定△ABC为直角三角形，

故C不符合题意；

£>、'."a=6,6=12,c=13,

：.a2+b2=62+122=180,/=132=169,

".cr+b1^^,

/.不能判定AABC为直角三角形，

故。符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定

理，三角形内角和定理是解题的关键.

7.如图，已知2。是△ABC的角平分线，ED是2C的垂直平分线，ZBAC=90°,A£>=3,

则CD的长为

B

【思路点拨】根据角平分线和中垂线可得/4。8=/。8。=/。54=30°,DE=AD,因

此△CDE为含30°角的直角三角形，因此可求出结果.

【解析】解：•••EO是8c的垂直平分线，

J.DEYBC,CD=BD,

：.ZDCB=ZDBC,

:BD是△ABC的角平分线，

AZDBC=ZDBA,DE=AD=3,

VZA=90°,

ZACB=ZDBC=ZDBA=30°,

:.CE=MDE=3«,

故答案为：373.

【点睛】本题考查角平分线的性质、中垂线的性质、含30。角的直角三角形的性质，属

于常考题型.

8.△ABC中，AC=8,BC=6,在△ABE中，为AB边上的高，DE=U,SAABE=60,

则10,NC=90°.

【思路点拨】根据三角形的面积公式求出AB,再根据勾股定理的逆定理解答即可.

【解析】解：'."SAABE=60,

：.^AB-DE^6Q,即工XABX12=60,

22

解得：AB=1O,

VAC2+BC2=82+62=100,AB2=102=100,

/.ZC=90°,

故答案为：10,90.

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，如果三角形的三边长分

别是。，b,C,且。2+必=02,那么这个三角形是直角三角形.

9.如图，四边形A8C。中，AB±BC,4B=4,BC=3,AO=12,CD^13,则四边形ABC。

的面积是36

【思路点拨】先连接AC,由勾股定理求得AC的长度，然后根据勾股定理的逆定理判定

△ACD是直角三角形，最后根据四边形ABC。的面积=直角△ABC的面积+直角△ADC

的面积，列式计算即可.

【解析】解：如图，连接AC,

在△ABC中，ABLBC,AB=4,BC=3,

AC=22

-,-VAB+BC==5.

在△AOC中，AD=U,CD=13,AC=5.

V122+52=132,BPAD2+AC2=CD1,

.,.△ADC是直角三角形，且NZMC=90°,

S四边形ABCD—SAABC+SAADC

22

=AX4X3+AX5X12

22

=6+30

=36.

故答案为：36.

【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，用到的知识点是三角形的面积，注

意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

10.已知a,b,c满足=0,请判断以a,b,c为边长的三角形是否是直角三角形，并说明

理由.

【思路点拨】根据非负性求出a,b,c,再根据勾股定理的逆定理解答即可.

【解析】解：以a,b,c为边长的三角形是直角三角形，理由如下：

根据题意得：a-5=0,b-2a=0,c-炳=3

解得：a=5,b=2,\[^）,c=V5>

（2V5）2+（V5）2=52,

...以a,6,c为边长的三角形是直角三角形.

【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据非负性得出a,6,c的值.

11.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,垂直A8于点。，AC=2&，BC=2娓.

（1）求斜边A8的长；

（2）求斜边上的高CD的长.

【思路点拨】（1）根据勾股定理求解即可;

（2）利用等面积法可以求出CD.

【解析】解：（1）VZACB=90°,

AAB=VAC2+BC2=4V2-

(2)由题意得：CDXAB=ACXBC,

22

,.cg=ACXBC=2V2><2V6rr.

AB4V2

【点睛】本题考查了勾股定理和等面积法，解题的关键是利用等面积法求出CO的长.

12.(1)如图1,在△ABC中，CDLAB,AC=3粕，CD=6,BC=10,求△ABC的面积.

(2)如图2,在△ABC中，AC=8,AB=4,ZBAC=120°,求△ABC的面积.

【思路点拨】(1)利用勾股定理分别得出ZM,8。的长，再利用三角形面积公式求出即

可；

(2)过点C作交BA的延长线于点。，由勾股定理求出CD的长，利用三角

形面积公式可求出答案.

【解析】解：(1),:CDLAB,

；.NADC=/BDC=90°,

：AC=3心CD=6,BC=10,

2222

•••AD=VAC-CD=V(3V5)2-62=3,BD=7BC-CD=V102-62=8，

.,.AB=AD+BZ)=3+8=11,

.•.SAABC=AAB«CD=Ax11X6=33；

22

(2)过点C作CDLAB,交BA的延长线于点D,

c

DAB

图？

VZBAC=120°,

：.ZDAC=6Q°,

：.ZACD^3Q°,

VAC=8,

'.AD——AC—^,

2

22

,■,CD=VAC-AD==4如,

/.SAABC=AAB«C£)=AX4X4V3=8V3.

22

【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出A8,C。的长是解题的关

键.

题组B能力提升练

13.斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（）

A.3,VVB.2,3C.3,5D.2,2

【思路点拨】根据勾股定理，计算42与两条直角边的平方和是否相等，可作判断.

【解析】解：V32+（V7）2=42,符合题意；

B、22+32^42,不符合题意；

C、32+52#42,符合题意；

D、22+22^42,不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用.本题比较简单，解题的关键是熟记勾股定理：如

果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么“2+庐=02.

14.△ABC的三边满足G-13产+|b-12|则△人2。为（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形

【思路点拨】根据偶次方、绝对值、算术平方根的非负性求出。、6、c,根据勾股定理的

逆定理判断即可.

【解析】解：••・（a-13）2+|b-12|W^=0，

'.a-13=0,b-12=0,c-5=0,

解得，4=13,b=12,c=5,

：.c2+b2=52+122=169,a2=169,

即c2+b2=a2,

.♦.△ABC为直角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，掌

握如果三角形的三边长a,b,c满足/+/=02,那么这个三角形就是直角三角形是解题

的关键.

15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

边长为8c7W,则图中所有正方形的面积的和是192cm2.

【思路点拨】设图中正方形的面积分别为A,B,C,D,E,F,根据勾股定理得A+B=E,

C+D=F,E+F=82=64,从而解决问题.

【解析】解：如图，设图中正方形的面积分别为A,B,C,D,E,F,

由勾股定理得，A+B=E,C+D=F,E+F=82=64,

图中所有正方形的面积的和64X3=192(cm2),

故答案为：192.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

16.在三角形ABC中，AB=13,BC=12,AC=5.点。在直线AC上，且AD=11,则线

段BD的长为6祈或20.

【思路点拨】先利用勾股定理的逆定理得出△A2C是直角三角形，再分。在AC的延长

线上与D'在CA的延长线上两种情况进行讨论.

【解析】解：在三角形ABC中，AB=13,BC=T2,AC=5,

:.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，且BCLAC.

如果。在AC的延长线上时，

'：AD=11,

：.CD=AD-AC=11-5=6,

BD=VBC24CD2=V122+62=6浜；

如果。'在CA的延长线上时，

'：AD'=11,

:.CD'=ADr+AC=11+5=16,

•'-BD，=VBC2K：D/2=V122+162=20-

综上所述，线段的长为6机或20.

故答案为：6典或20.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足/+7=02,

那么这个三角形就是直角三角形.也考查了勾股定理以及分类讨论思想.

17.如图，在△ABC中，边上的垂直平分线。E与A3、AC分别交于点E和。，且。生

=A£>2_C£)2.

(1)求证：ZC=90°；

(2)若AC=4,BC=3,求CO的长.

A

E

D

CB

【思路点拨】（1）连接BD根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解;

(2)设CD=x,则AD=BD=4-x,在RtABCD中，根据BD2-CD2^BC2列出方程计

算即可求解.

【解析】（1）证明：连接3D,

•：AB边上的垂直平分线为DE,

：.AD=BD,

"：CB2=AD2-CD1,

：.CB2=BD1-CD1,

J.CE^+CE^^BD1,

AZC=90°；

(2)解：设CD=x,贝lj4。=2£)=4-x,

在RtABCD中，BD2-CD2^BC2,

(4-x)2-^=32,

解得：尸工，

8

：.CD的长为工.

8

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程

思想的运用.

18.已知4,b,C为△ABC的三边，且满足-b2c2=“4-。4,试判断△人3。的形状，解

题过程如下：

2c2-62c2=q4_°4①

.'.c2(a2-b2)=(a2-Z>2)(a:2+Z>2)②

：.c2=a2+b2@

AABC是直角三角形

上述解题过程有误，请指出错误在①②③的哪一步，并作改正.

【思路点拨】在解方程或作讨论时，字母在讨论的范围内时，不能约分，否则会漏掉一

种情况.如进行第三步时，应考虑。和b的关系.

【解析】解：错误在第③步，应改为

c2=C^+b2或/=廿=4=b,

...△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理的应用，注意约分时要考虑字母的取值.

题组C培优拔尖练

19.在△A8C中，ZA,/B,/C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是()

A.如果a：b：c=l：1：&，那么△ABC是直角三角形

B.如果NA=N3-NC,那么△ABC是直角三角形

C.如果a=2c,b=^c,那么△ABC为直角三角形

55

D.如果62=°2-02,那么△ABC是直角三角形且N8=90°

【思路点拨】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答.

【解析】解：A>Vfl：b：c=1：1：y[2,

；.设。=左，b=k,c=y12k,

c^+b2=1^+1^=2lr,c2=(V2^)2=2A2,

.".a2+b2=c1,

.•.△ABC是直角三角形，

故A不符合题意；

B、VZA=ZB-ZC,

，ZA+ZC=ZB,

VZA+ZB+ZC=180°,

2/8=180°,

.,.ZB=90",

.♦.△ABC是直角三角形，

故8不符合题意；

.,.a2+b2=(2c)2+(Ac)2=c2,

55

...△ABC为直角三角形，

故C不符合题意；

D、'."tP'—a2-c2,

Ir+c1—a1,

...△ABC为直角三角形，

AZA=90°,

故。符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定

理，以及三角形内角和定理是解题的关键.

20.直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为()

A.5B.四C.&ZD.曼L或卫

5445

【思路点拨】分长为4的边是直角边、长为4的边是斜边两种情况，根据勾股定理和三

角形的面积公式计算即可.

【解析】解：设直角三角形斜边上的高为/I,

当长为4的边是直角边时，斜边长=432+42=5,

则上X3X4=_lx5X/z,

22

解得：h=—,

5

当当长为4的边是斜边时，另一条直角边长==巾，

Ax3xV7=-X4X/1,

22

解得：h=ML,

4

综上所述，直角三角形斜边上的高为」2或里工，

54

故选：D.

【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关

键.

21.如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A,B,C均在格点上，则NABC的度数为

（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【思路点拨】先计算出AC、BC、AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断出△ABC

的形状，从而可以得到/A2C的度数.

【解析】解：连接AC,

设每个小正方形的边长为a,

22=22=

则AC=Q&2+⑵）2=代小BC=yJa+（2a）V5«>AB=（3a）+aVIo«>

：.AC2+BC2=（V5a）2+（aa）2^AB2,AC=BC,

.•.△ACB是等腰直角三角形，

AZABC=45°,

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆

定理的知识解答.

22.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AD为中线，E为的中点，尸为BE的中点，

连结若AC=4«,DFLBE,则DF的长为2.

【思路点拨】连接CE,由中位线的性质可得CE=2OF,DF//CE,再证ADEF咨ADBF

(SAS),进而可证CD=ED,然后证CZ)=Lz),AD=4DF,利用勾股定理求出AD的

2

长，即可解决问题.

【解析】解：如图，连接CE,

是BC边上的中线，/点为BE的中点，

...D尸为△BCE的中位线，

：.CE=2DF,DF//CE,

：.ZBDF=ZDCE,NEDF=/DEC,

:DFLBE,

：.ZDFE=ZDFB=90°,

在△DEB和/中，

：./\DEF^/\DBF(SAS),

：.ZEDF=ZBDF,

：.ZDEC=ZDCE,

：.CD=ED,

为A。的中点，ZACB=90°,

:.CE=ED=CD=1AD,

2

：.AD=4DF,

：AC=4心

在RtZxACO中，由勾股定理得：CEr+AC^^AD1,

即(JLAD)2+(4/§)2=AD2,

2

解得：AD=8(负值已舍去)，

:.DF=2.

故答案为：2.

D

hB

【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，

三角形中位线定理等知识，熟练掌握勾股定理，证出40=4。尸是解题的关键.

23.如图，于点8,于点A,点E是CD中点,若8C=5,AD=10,BE

【思路点拨】延长BE交AD于点F,由“ASA”可证△BCE之△即E,可得£＞尸=2。=5,

BE=EF,由勾股定理可求AB的长.

【解析】解：如图，延长BE交A。于点后

：.DE=CE,

'：AB.LBC,ABLAD,

：.AD//BC,

；./D=/BCE,/FEDjBEC,

•••△BCE注LFDE(ASA),

：.DF=BC=5,BE=EF,

:・BF=2BE=13,

在RtZXAB尸中，由勾股定理可得A3=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三

角形是本题的关键.

24.如图，及△ABC中，ZACB=90°,AB=10cmfBC=8cm,动点。从A点出发，以每

秒2cm的速度沿射线AC运动，则点。运动中使得△A3。为等腰三角形的所有时间/等

于5或6或至秒.

6―

B

【思路点拨】由题意可知AD=2f,当时，有2/=10；当时，则可知

AC=CD,则4。=12,即2f=12；当时，CD=2t-6,BD=2t,在RtZkBDC中，

由勾股定理可得8。2+必=瓦)2,