2024-2025学年北京某中学高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附属实验中学高三（上）月考数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A={x|—4<%<2},B={x\x2<9},则AUB=()

A.(—4,3]B.[-3,2)C.(一4,2)D.[-3,3]

2.若复数（。+0（1+0缶£/?）为纯虚数，贝帽的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

3.在（久）4的展开式中，X的系数为（）

A.-4B.4D.6

4.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

11

A./(x)=—InxD./(x)=

5.设a,bER,abW0,且a>b,则()

'b/d

A.-<B.|打制>2

a7b

C.sin(a—b)<a—bD.3a>2b

6.已知圆C过点A（—L2）,8（1,0）,则圆心C到原点距离的最小值为（）

1C

AD

2-B.272

7.已知正方形力BCD的边长为2,点P满足而屈+而），则刀•荏的值为（）

A.2B.-4C.4D.2/2

8.已知函数/'（%）=sin（久+0）.则“/'（-1）=f⑴"是"/（久）为偶函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4,4,2/之2/2则该四棱锥的高为（）

A.苧B.?C.20D.73

10.若函数f⑺=%；｝於o<x<@的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是（）

A.（0,1]B.（0,1）C.（1,4）D.（2,4）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.抛物线f=2x的焦点坐标为

12.若点P(cos8,s讥8)与点Q(cos(8+分,sin(8+$)关于y轴对称，写出一个

AI

符合题意的。值_____./：

13.如图，在正三棱柱力中，P是棱BBi上一点，力B=44]=2,

则三棱锥P-2CC1的体积为.

AB

14.设。为原点，双曲线C：/一[=1的右焦点为尸，点p在c的右支上.则

C的渐近线方程是；鬻的取值范围是.

n+1

15.对于数列｛口兀｝,令7^=%-+43-。4■1--F(-l)an,给出下列四个结论：

①若即=n,则72023=1012；

G)右41=n,贝1口2022=—1；

③存在各项均为整数的数列｛%J,使得|Tnl>I*+1I对任意的几eN*都成立；

④若对任意的neN*,都有|跖<M,则有4+1-an\<2M.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题13分)

如图，在三棱锥P—4BC中，P41平面力BC,PA=AB=BC=1,PC=.

(1)求证：BC1平面P4B；

(2)求二面角2-PC-B的大小.

17.(本小题13分)

在△ABC中，bsin2A=yTiasinB.

(I)求乙4;

(II)若△4BC的面积为3门，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存

在且唯一确定，求a的值.

条件①：sinC=马?；条件②：-==F；条件③：cosC—

/C4/

注：如果选择的条件不符合要求，第(〃)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

“地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图(如图)，考虑到受市场影响，预测该

地区明年冬小麦统一收购价格情况如表(该预测价格与亩产量互不影响).

明年冬小

麦统一收

购价格(单2.43

位：元/

kg)

概率0.40.6

假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(I)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率;

(II)设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望;

(m)H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增

加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

19.(本小题15分)

如图，已知椭圆E：捺+，=l(a>6>0)的一个焦点为Fi(0,1),离心率为苧.

(1)求椭圆石的方程;

(II)过点F］作斜率为k的直线交椭圆E于两点4B,4B的中点为M.设。为原点，射线。M交椭圆E于点C,当

△28。与448。的面积相等时，求k的值.

20.(本小题15分)

已知函数/(%)=yT2exsinx(J)<%<〃)，g(%)=(%—l)lnx+m(mER)

(I)求/(%)的单调区间；

(II)求证：1是g(%)的唯一极小值点；

(III)若存在a,be(0.7T),满足/(a)=g(b),求租的取值范围.(只需写出结论)

21.(本小题15分)

若数列A：的,a?，…，an(n>3)中心EN*(l<i<几)且对任意的2<k<n—1,ak+1+ak_r>2aze恒成

立，则称数列/为“U—数列”.

(1)若数列1,x,y,7为“U-数列”，写出所有可能的工、y；

(2)若“U-数列”/：的，加，…，中，的=1，an=2017,求九的最大值；

(3)设九0为给定的偶数，对所有可能的“U-数列”4：%,如…，。%，记M=…，％I。｝，其中

粗。%｛%1，%2,…,％s｝表示%1，%2，…，/这s个数中最大的数，求M的最小值.

参考答案

1.71

2.C

3.2

4.C

5.C

6.5

7.C

8.C

9.D

W.B

1G57r

12，12

1Q2V-3

14.y=±y/~3x；（1,2]

15.①②④

16.解：（1）证明：因为P4_L平面4BC,BCu平面4BC,

所以PA1BC,同理R414B,

所以APAB为直角三角形，

又因为P8=VPA2+AB2=BC=1,PC=<3,

所以PF+BC2=PC2,则APBC为直角三角形，故BCLPB,

又因为8clp4PAHPB=P,

所以BC1平面PAB.

（2）由（1）BC1平面PAB,又力Bu平面PAB,贝!

以4为原点，4B为x轴，过4且与BC平行的直线为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

p

则4(0,0,0),P(0,0,l),C(1,1,0),B(l,0,0),

所以衣=(0,0,1),ZC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

设平面P47的法向量为沅=(x2i，zi),则四亚=°,即

AC=0十月一u,

令%1=1,则％=-1,所以记=

设平面P8C的法向量为元=(盯,％"2)，贝叶联匣=2即_

In•PC=0十丫2—Z2—u

令%2=令则Z2=1，所以记=(1,0,1),

所以cos〈沅，元〉=器=五修/

又因为二面角/—PC—B为锐二面角，

所以二面角/-PC-B的大小为宗

17.解：(I)因为加讥2/=y/~3asinB,由正弦定理得，sinBsin2A=y/~3sinAsinB,

又Be所以sinBH0,得到s讥2/=yTSsinA,

又sizi2Z=2sinAcosA,所以2sizh4cos4=V~3sinAf

又/6(0,7T),所以siziAH0,得到cos/=W，所以A=7；

Zo

(II)选条件①：sinC=—

由⑴知，4屋，根据正弦定理知,

所以角C有锐角或钝角两种情况，ANBC存在，但不唯一，故不选此条件.

选条件②：~=~

C4

7

因为S0BC=bcsinA=^bcsin^=\bc=3V-3,所以be=12V-3,

LL64

又2=手，得到6=攀的代入尻=12，可，得到享。2=12，可，解得c=4,所以b=3，豆,

c444

由余弦定理得，a2=b2+c2-IbccosA=(3<3)2+42-2x3<3X4x苧=27+16-36=7,所以

a=V-7-

选条件③：cosC=-^一；

因为S3BC=bcsinA=^bcsin^=\bc=3V~3,所以be=12V3,

LLO4

由cosC=得到sinC=7'-cos2c=

又sinB=sin(7r—A—C)=sinQl+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知/=

所以sinB

又由正弦定理得2=等=再=手，得到6=岁的代入6c=120，得到手。2=126，解得C=

csinC2V7444

7

4,所以b=3C,

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=(3<3)2+42-2x30x4X苧=27+16-36=7,所以

a=V-7.

18.解：(I)由频率分布直方图知，亩产量为400kg的频率为0.005x50=0.25,亩产量为450kg的频率为

0.01X50=0.5,亩产量为500/cg的频率为0.005X50=0.25,

只有当亩产量为500kg,且收购价格为3元，才能使得明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元，故所求的

概率为0.25x0.6=0.15.

(H)由亩产量为400/cg,450kg,500kg,收购价格为2.4元，3元，可知随机变量X的所有可能取值为

960,1080,1200,1350,1500,

P(X=960)=0.25x0,4=0.1,

P(X=1080)=0.5x0,4=0.2,

P(X=1200)=0.25x0.6+0.25x0.4=0.25,

P(X=1350)=0.5x0,6=0.3,

P(X=1500)=0.25x0,6=0.15,

所以X的分布列为

X9601080120013501500

p0.10.20.250.30.15

数学期望E(X)=960x0.1+1080X0.2+1200x0.25+1350X0.3+1500x0.15=1242元.

(III)增产后，小麦的亩产量变为450kg,500kg,550kg,

由(II)可知，X的分布列为

X108012001320135015001650

P0.10.20.10.150.30.15

数学期望E(X)=1080x0.1+1200x0.2+1320x0.1+1350x0.15+1500x0.3+1650x0.15=1380

兀，

因为1380-125=1255元〉1242元，

所以从广大种植户的平均收益角度分析，建议农科所推广该项技术改良.

19.解：（1）由题意得。=1,又e=（=苧，则a=

•••b2=a2-c2=1,

:椭圆E的方程为。+/=1；

（II）由（I）得椭圆E的方程为^■+久2=1,由题思得直线AB的方程为y—1=kx,即y=kr+l,

比*丫2_1

联立直线AB与椭圆E可得爹+久一%整理得（必+2）尤2+2入一1=0,

y=fcx+1

4

设8（%2，丫2），由韦达定理得%1+%2=----2---'+冷）+2=记另，

•・・△ZBC与△ZB。的面积相等，.••点C和点。到直线48的距离相等,

又的中点为M,则M为线段OC的中点，即四边形04CB是平行四边形,

设c(%c,yc)，则无=~OA+~OB,即(%c，yc)=(%,yJ+3,，

,2k,4

・•・xc=+x2=-y。=丫2+yi=

又与+好=1,即一—2■1T~―2=L解得上—±v-2-

2L(/+2)z(d+2)z

20.解：(I)因为/(%)=yl~2(exsinx+excosx)=2exsin(x+7),

4

令f'(x)=0,得sin(%+7)=0

4

3

分

-兀

因为0〈尤<兀，所以x4(3

当久变化时，f（x）的变化情况如下:

333

X

(。，4兀)-4T71(严兀)

「(X)+0—

/(%)7极大值

...(5分)

故/⑺的单调递增区间为(0,当，f(x)的单调递减区间为(手，兀)...(6分)

44

1

(II)证明：g(%)=(x—l)Znx+m“(％)=Inx--+l(x>0),…(7分)

设h(%)=g'(x)=Inx--+1,则〃(%)=-+^>0

故g'(%)在(0,+8)是单调递增函数，…(8分)

又，:g'(l)=0,故方程g'(%)=0只有唯一实根％=1...(10分)

当无变化时，g'(%),g(%)的变化情况如下：

X(0,1)1(1,+8)

g'(x)—0+

g(x)极小值7

…(12分)

故g(%)在久=1时取得极小值g(l)=m,即1是g(%)的唯一极小值点.

37r

(III)m<eT...(14分)

21.解：(l)x=l时，。所以y=2或3；

久=2时，I；*：〉所以y=4；

久N3时，无整数解；

所以所有可能的％,y为二;或二:

(2)九的最大值为65,理由如下：

a

——方面,注意至(J：CLR+1+k-i>2aze=ak+1—ak>ak—ak-r.

对任意的1<i<n-1,令氏=ai+1-%,则加eZ且瓦>尻_式2</c<n-1),故瓦>bk_r+1对任意

的24/c<九一1恒成立.(*)

当—1,ctn—2017时，注意到力1二%—21—1=0，得瓦=(瓦—加一1)+(加一1—瓦_2)+…+(力2—

瓦)+瓦之i+i+…+n—1个+o=t-1(2<i<n—1)

即打之i—1,止匕时a九一a1=(un—。九t)+(%i-i—。九一2)+…+(。2—。1)=bn_1+bn-2+•,•+&之0+

1

1+2+—I-(n-2)=-(n—l)(n—2),(**)

即其ri-1)0—2)32017—1,解得：-62Wn<65,故nW65.

另一方面，为使(**)取到等号，所以取济-i-l(l<i<64),