抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

(1)熟悉常见函数的抽象

赋值法判断抽象函数的奇偶性，

2023年新高考1卷，第11题表达式

周期性

(2)用赋值法判断抽象函

数性质

2022年新高考2卷，第8题

模块一热点题型解读(目录)

【题型1］抽象函数的赋值计算求值【题型9】指数型函数的抽象表达式

【题型2］抽象函数的奇偶性【题型10］幕函数的抽象表达式

【题型3】抽象函数的单调性【题型11］正弦函数的抽象表达式

【题型4】抽象函数的最值与值域【题型12］余弦函数的抽象表达式

【题型5］抽象函数的对称性【题型13］正切函数的抽象表达式

【题型6】抽象函数的周期性【题型14］二次函数的抽象表达式

【题型7】一次函数的抽象表达式【题型15］其它函数的抽象表达式

【题型8】对数型函数的抽象表达式

模块二核心题型•举一反三(讲与练)

【题型1］抽象函数的赋值计算求值

核心•技巧

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种:

1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解

2024•长沙市第一中适应性训练

1.已知定义域为R的函数/(%),满足f(x+y)=f(x)f(y)-f(2-x)f(2-y),且〃0片0,

〃-2)=0,贝4(2)=.

2.(2024•福建龙岩•一模)已知函数“X)的定义域为R,且〃x+y)+/(x-y)-〃x)〃y)=0,

〃T)=1，贝1J/(O)=

【巩固练习1】定义在R上的函数/(x)满足/(x+y)=/(尤)+/(y)+2孙(尤,ydR),/(I)=2,贝U

/(3)=，/(-3)=.

【巩固练习2】已知对所有的非负整数x,y(xNy)均有

f(%+y)+/(x-y)-x+y-l=1[/(2x)+f(2y)],若"1)=3,则〃5)=.

【巩固练习31(2024-安徽合肥•一模)已知函数f(x)的定义域为(0,+8),且

y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(l)=e,记。==〃2),c=/⑶，则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【题型2】抽象函数的奇偶性

核心•技巧

证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到了(-x)与/(%)的关系

2024•福建莆田•二模

3.已知定义在R上的函数/(%)满足：/(x+y)=/(x)+/(y)-3xy(x+y),证明：)=/(尤)是奇函

数

2024•长沙市第一中适应性训练

4.已知定义域为R的函数〃x),满足〃尤+y)=/(x)〃y)—/(2—x))(2—y),且〃0)*0,

/(-2)=0,证明：/(X)是偶函数

【巩固练习1](多选)定义在R上的函数/(x)满足：对任意的羽yeR,/(x+y)=ya)+〃y),则

下列结论一定正确的有()

A.〃。)=。B./(%-y)=/(x)-f(y)

C./(%)为R上的增函数D.F(x)为奇函数

【巩固练习2](多选)已知定义在R上的函数/(月满足

/(^)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(O)<2,/(O)^/(l),且〃x)>0,则()

A."0)=1B./(一1)=2

C.f(-x)=2/(x)D./(-^)=/(x)

【巩固练习3】(2024.全国.模拟预测)(多选)已知函数/(x)的定义域为R,满足

f{x}f{y)-f{x)=xy-y>则()

A.f(o)=iB./(-i)=i

c./(x+l)为偶函数D./(x+l)为奇函数

【巩固练习4】(2024届韶关市一模)己知/(X)是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数。涉

满足〃岫)=叭8)+"(。)，若/(e)=e,则〃T)+/

C.1——D.1+-

【题型3】抽象函数的单调性

判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数/(x+y)=…，判断符号时要变形为：

/(%)一/(i)=/((%一占)+七)一/(%)或/(%)一/(%)=/(%)一/((七一/)+/)；

②若给出的是“积型”抽象函数/(孙)=…，判断符号时要变形为：

/\(、

/(^2)-/(^1)=/—一/(%)或/(%)—/(%)=/(%)—/当,土

5.函数f(x)的定义域为(0,+°o),对于Vx,ye(O,+℃),f(1砂)=域为+/(y),且当X>1时,7(X)<0,

证明：“X)为减函数.

6.已知函数〃x)是定义在R上的函数.对任意a,beR,总有〃。+》)=〃。)+/他)，/(-1)=|,

且x<0时，/(x)>0恒成立.

⑴求“2)

(2)判断〃x)的奇偶性并证明

(3)证明了(X)在(0,+8)上单调递减

【答案】(1)/(2)=-|,(2)奇函数;(3)在(0,+8)上单调递减

【详解】(1)由对任意a,beR,总有〃。+6)=/(。)+〃6),

令a=b=0,则/(。+0)=/(0)+/(0),51']/(0)=0,

又由〃-!)=；,可得/⑴=一§,

贝口/(2)=/(1+1)=/'⑴+=+=,故选项A判断正确；

(2)令a=x,b=-X,则/(x_x)=y(x)+/(-x),

则有/(*)+/(—x)=/(0)=0,故=则7(x)是奇函数

【巩固练习1】(多选)定义在(-s,0)U(0，E)上的函数/a),对于任意的工，丫都有

/(xy)=/(x)+/(y)-l;且〃2)=3；当x>l时，/(%)>1；则下列结论正确的是()

A./(1)=1B./*)是奇函数

C./(无)在(0,+8)上单调递增D./。-1)>7的解集为{x|x<-7或x>9}

【巩固练习2】若定义在R上的函数五尤)对任意尤eR,都有负尤1+X。=/(Xi)+汽电)-1成立，且当尤

>0时，xx)>l.

⑴求证:y=/(%)—1为奇函数；

(2)求证:兀0是R上的增函数；

(3)若人4)=5,解不等式五3%-2)<3.

【巩固练习3】(2023•湖南师大附中校考)已知连续函数AM满足：①Vx,yeR,则有

/(x+y)=/(x)+/(y)-1，②当了>。时，/«<1,©/(D=-2,则以下说法中正确的是()

A./(0)=1

B.〃4x)=4〃x)-4

C./(x)在［-3,3］上的最大值是10

D.不等式/(3f)-2/(x)>〃3x)+4的解集为p|<x<lj

【题型4】抽象函数的最值与值域

核心•技巧

结合奇偶性与单调性来判断最值或值域

7.已知函数/'(x)对任意的x,yeR,总有/(x+y)=/(x)+/(y),若xw(-w,0)时，/(x)>0,且

9

/(1)=-1,则当XC[-3,1]时，“X)的最大值为()

2

A.0B.-C.1D.2

3

【巩固练习1】已知连续函数/(x)满足：①Vx,yeR,则有〃x+y)=/(x)+/(y)—1,②当x>0时,

/U)<1,®/(D=-2,则Ax)在［一3,3］上的最大值是

【巩固练习2】已知连续函数/(尤)对任意实数x恒有/(x+y)=/(x)+/(y)，当xX)时，/(尤)<0,

/(1)=—2,则犬功在［-3,3］上的最大值是

【题型5】抽象函数的对称性

核心•技巧

抽象函数的对称性常有以下结论

(1)f(x+a)=f(b-x)^>f(x)关于x=轴对称，

(2)/(%+4)+/。一力=20=>/(%)关于1012,，中心对称，

2024•江苏南通•二模

8.(多选)已知函数了⑺，g(x)的定义域均为R,f(x)的图象关于点(2,0)对称，g(0)=g(2)=l,

g(x+y)+g(x-y)=gO)/(y),贝!1()

A.“X)为偶函数B.g(x)为偶函数

C.g(-L-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

【巩固练习1】已知对任意实数无，》函数“X)满足〃u+i)=〃x+i)+〃y+i),则()

A.有对称中心B.有对称轴

C.是增函数D.是减函数

【巩固练习2X2024•重庆八中校考)(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且/(x+y)=/(x)+/(y),

当x>0时，〃尤)>。，且满足"2)=1,则下列说法正确的是()

A./(X)为奇函数

B./(-2)=-l

C.不等式〃2x)-—3)>-2的解集为(一5,+8)

D.f(-2023)+f(-2022)+L+f(0)+L/(2022)+f(2023)=2023

【巩固练习3](多选)己知定义域为R的函数/(X)对任意实数为y都有

〃x+y)+〃x—y)=2/(x)/(y),且=则以下结论一定正确的有()

A.B./(%)是偶函数

C.关于0)中心对称D./(1)+〃2)+…+”2023)=0

【题型6】抽象函数的周期性

/核心•技巧/

抽象函数周期问题一般先求对称性

2024山东青岛•统考三模

9.设为定义在整数集上的函数，/(1)=1,"2)=0,/(-1)<0,对任意的整数均有

/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(l-x)/(y).则”55)=.

10.函数〃x)的定义域为R,且〃x+2)=-—/(x)=f(2-x),/(365)=-1,则

2£023/(^)=-

11.(2024届厦门一中校考)若定义域为R的奇函数于3满足〃x)=/(X+1)+/(X-1),且/(1)=2,

则了(2024)=.

【巩固练习1】2024•山东青岛•一模

VxeR,/(%)+/(x+3)=1-/(%)/(%+3),/(-1)=0,则”2024)的值为()

A.2B.1C.0D.-1

【巩固练习2】(2024•福建龙岩•一模)已知函数/'(x)的定义域为R,且

/（尤+y）+/（无一y）—/（x）/（y）=o,/（-i）=i.则（）

A.f（o）=oB.y（x）为奇函数

c./（8）=-lD.“X）的周期为3

【巩固练习3】(2024•福建厦门•一模)己知函数/(x)的定义域为R,Vx,"R,

/(尤+1)/(〉+1)=〃尤+历一，。一》),若/(0)/。，则/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

【巩固练习4】函数的定义域为R,对任意x,yeR,恒有〃x)+“y)=2d言［/，于］,

12022

若〃1)=，则"T)=，!/(»)=—.

Ln=\

【巩固练习5］深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题

(多选)已知函数“X)的定义域为R,且〃x+y)/(x—y)=/2(x)-r(y),f(l)=V3,f^2x+1

为偶函数，则()

A.〃x）为偶函数B./（2）=73

2023

c./（3+%）=-f（3-x）D.

k=\

【题型7】一次函数的抽象表达式

延心•技巧

一次函数的抽象表达式

(1)对于正比例函数/(x)=Ax,与其对应的抽象函数为/(%±丁)=/(%)±/(丁).

(2)对于一次函数/(%)=丘+6,与其对应的抽象函数为/(x±j)=/(x)+f(y)+b.

(3)对于一次函数/(%)=左(%—，)，与其对应的抽象函数为/(x+y—0)=/(x)+/(y).

12.已知函数〃x)的定义域为R,且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条

件的一个，(X)的解析式为〃x)=.

①Vzn,〃eR,/(m+n)=/(m)+/(n)；②〃x)为奇函数；③在R上单调递减.

13.(2023-2024学年重庆一中高一期中)(多选)已知定义在区间[-4,6]上的函数/(x)满足：对任

意帆“cR均有〃加-"+1)+〃〃)=/(根)；当x>l时，/(x)>0.则下列说法正确的是

A./(D=0B./(幻在定义域上单调递减

C./(X+D是奇函数D.若/(2)=1,则不等式/(2x)>/(%)+2的解集为(2,3]

【巩固练习1】(2024•安徽安庆•二模)(多选)已知定义在R上的函数/⑺，满足对任意的实数居

»均有f(x+y)=/(x)+/(y)—1,且当尤>0时，/(%)<1,则()

A./(0)=1B./(1)+/(-1)=1

c.函数人尤)为减函数D.函数y=的图象关于点(0,1)对称

【巩固练习2】(2024•山东泰安•一模)(多选)已知函数〃x)的定义域为R,且"1)=。，若

f(x+y)=/(x)+/(y)+2,则下列说法正确的是()

A./(-1)=-4B./(X)有最大值

C.7(2024)=4046D.函数/'(*)+2是奇函数

【题型8】对数型函数的抽象表达式

核心;技巧「

对数函数的抽象表盘云(至栗)

对数函数/(X)=lOga],

/、

Y

其对应的抽象函数为/(盯)=/(%)+/(y)或/二=/(%)—/(y)

补充：对于对数函数/(x)=log“X,其抽象函数还可以是/(X”)=4(x)

奇偶性证明：只需构造/(%)-/(Xj)=/(—-X])一/(%1)=/(—)即可

九1再

14.己知函数了(尤)满足：①对V机，〃>0,f(m)+f(n)=f(mn)；②=T.请写出一个符

合上述条件的函数/(x)

15.(2024.安徽.二模)已知函数y="x)("。)满足〃孙)=/(x)+/(y)—l,当x>l时，

则()

A./(X)为奇函数B.若/(2x+l)>l,贝U-l<x<0

C.若"2)=3,则〃1024)=TD.若/&)=2,则(乙]=1°

【巩固练习1】已知定义在(0,+8)上的函数/(",满足〃孙)+1=〃力+〃江且/[£|=0,则

/(2H)=()

A.1B.11C.12D.-1

【巩固练习2】已知函数〃x)的定义域是(0,+e),对定义域内的任意埠士都有

)=/(七)+1。)，且当0<x<l时，/(x)>0.

(1)证明：当x>l时，f(x)<0；

(2)判断的单调性并加以证明；

【题型9】指数型函数的抽象表达式

/核心•技巧/

对于指数函数/(%)=优，与其对应的抽象函数为f(x+y)=f(xV(y)或/(x—>)=04.

f(y)

奇偶性证明：由f(x+y)=/(x)•/(y)得"；,)=/(偶,判断等|=/(々一七)和1的大小关系

16.已知函数“X)的定义域为R,且“X)的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条

件的一个“X)的解析式为“X)=.

①+=②在R上单调递减.

<1Y

【答案】一（答案不唯一）

【分析】根据函数的性质直接得解.

【详解】由题意/（X）为指数型函数，且/（x）在R上单调递减,

17.（2023上•浙江高一校联考）（多选）已知定义在R上的函数y=/（x）满足：①，=/（%）是偶函

数；②当x>0时，/(X)>1；当尤20,yNO时,/(x+y)=/(x)/(y),则(

A."0）=1B./（X）在［0,+。）上单调递增

C.不等式〃力<4^的解集为（-6,2）D./（x+y）=/（x）+〃y）

【巩固练习1】如果且"1）=2,贝U铝+寄+瑞=（）

A.—B.—C.6D.8

55

【巩固练习2】己知函数满足，f(p+q)=f(p)-f(q),f(l)^3,则

尸⑴+〃2）尸（2）+〃4）产⑶+〃6）尸（4）+〃8）/（5）+〃10）

的值为（

/（1）/⑶/（5）/（7）/（9）

A.15B.30C.60D.75

【巩固练习3】已知定义在R上的函数〃x）满足：对任意的实数无，y均有〃冲）="x）"y）,且

=当0<x<l且/（x）«0,l）.

⑴判断〃x）的奇偶性；

⑵判断了（X）在（0,+。）上的单调性，并证明；

【题型10］幕函数的抽象表达式

核心•技巧

对于赛函数，(x)=x",与其对应的抽象函数为/(肛)=/(x)/(y)或d二］=2@

⑴f(y)

18.(2024•河北•模拟预测)已知定义在(-8,o)u(o,y)上的函数〃尤)满足

〃移也+工，贝”()

yx孙

A./(X)是奇函数且在(0,+8)上单调递减

B.f(x)是奇函数且在(-双。)上单调递增

C./(力是偶函数且在(0,+e)上单调递减

D.””是偶函数且在(-e,0)上单调递增

【巩固练习】已知函数“X)的定义域为(—e,0)U(0,y),且V(x)=(y+l)/(y+l),则()

A.f^>0B."1)=1C./(x)是偶函数D./(尤)没有极值点

【题型11］正弦函数的抽象表达式

核心•技157

三南函数注意系数的配凑，f(x)=asincox,/(x)=acoscux,以下均以a=(y=l为例

对于正弦函数/(x)=sinx,与其对应的抽象函数为/(x+y)/(x-y)=/2(x)-/2(y)

注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2a-sin?/=sin(a+/7)sin((z—1)

2024•广东江门•一模

19.函数的定义域为R,对任意的x,y,恒有/5+')=/(尤)/1-1+/'17)/")成立.

请写出满足上述条件的函数/(X)的一个解析式.

【巩固练习1］(多选题)(2024•辽宁•模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,且

/(x+y)/(^-y)=/2(x)-/2(y),/(I)=2,/(2)=0,则下列说法中正确的是()

2024

A.AM为偶函数B.八3)=-2C./(-l)=/(5)D.£j(k)=-2

k=2

【巩固练习2】(多选题)(2024.全国•模拟预测)己知函数〃尤)的定义域为R,且

f(x+y)f(x-y)=f\x)-f(y),/(I)=1,/(2)=0,则下列说法中正确的是()

2023

A./(尤)为偶函数B.〃3)=-1C./(-D=-/(5)D.£f(k)=l

k=\

【题型12]余弦函数的抽象表达式

/核心•技巧/

三角函数注意系数的配凑，/(x)=«sin»x,facoscox,以下均以。=。=1为例

(1)对于余弦函数/(x)=cosx,与其对应的抽象函数为/(x)+/(y)=2/1上

注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cosa+cos/3-2cos~~cos

(2)对于余弦/(x)=cosx函数，其抽象函数还可以是/(x)/(y)=g[/(x+y)+/(x-y)]

注：余弦积化和差公式：

cosacos尸=cos(a+0+cos(a-'),2Q22新高考2卷用的就是这个模型

2024•吉林白山•一模

20.己知函数的定义域为R,且〃x+y)+“x-y)="x)〃y),/⑴=1,请写出满足条件

的一个〃*)=(答案不唯一)，7(2024)=.

2024•重庆一中3月月考

21.(多选)函数“X)的定义域为R,且满足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)〃y),/(4)=-1,则下

列结论正确的有()

A."0)=0B."2)=0

C.〃x)为偶函数D.“X)的图象关于(1,0)对称

【巩固练习1】已知函数/(x)满足：“l)=；,4/(X)/(y)=/Ct+y)+/(x-y)(x,yeR),则

“2023)=.

【巩固练习2】(2022新高考2卷T8)已知函数fM的定义域为R,且

22

/(尤+y)+f(无-y)=/(x)/(y),/(D=i,则£//)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【巩固练习3】(2024•河北•模拟预测)(多选)己知定义在R上的连续函数/(x)满足V尤,yeR,

〃x+y)+〃x-y)=〃x)〃y),/(1)=0,当x«0,l)时,〃力>0恒成立,则下列说法正确的是

A.f(O)=lB./(x)是偶函数

C./]£|=石D.〃尤)的图象关于”=2对称

【题型13]正切函数的抽象表达式

核心•技巧

对于正切函数/(x)=tanx,与其对应的抽象函数为/(x±y)=土、(^)、

i+/W/(y)

/,小tan。土tan£

注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan(6f±/?)=-------------------

1+tanortanp

22.已知函数/(x)满足/⑴=1,/(x+y)=]X；；),则()

A.f(0)=0B.=

C.的定义域为RD.的周期为4

x+y

【巩固练习1】(2024•广西贺州・一模)(多选)已知函数的定义域为(-1,1),/(%)+/(y)=f

1+犯

且当xe(0,l)时，/(元)>0,则下列说法正确的是()

A./(%)是奇函数

B.〃%)为增函数

C.若实数。满足不等式/(2a)+/(a-l)>0,则a的取值范围为+8

D.吗卜卧醺

【巩固练习2】定义在上的函数了⑴满足：对任意的x,gj都有

/(x+y)=且当°<x<:时，/(X)>0.

1-f(x)f(y)2

(1)判断了(x)在(o,J上的单调性并证明；

(2)求实数/的取值集合，使得关于尤的不等式+在上恒成立.

【题型14]二次函数的抽象表达式

二次函数

对于二次函数/(x)=ax2+6x+c,与其对应的抽象函数为f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

23.(2024•浙江杭州•模拟预测)对于每一对实数x,y,函数/满足函数方程

■/1(x)+/(y)=/(x+y)-孙T,如果"1)=1，那么满足/=的根的个数是

()

A.1个B.2个C.3个D.无数多个

24.(2024・高三•河北保定•期末)已知函数/(X)满足：Vx,yeZ,/(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+l

成立，且2)=1,则"2")伍eN*)=()

A.4n+6B.8n-lC.4n2+2/7-1D.8n2+2n-5

【巩固练习1](2024・陕西西安・模拟预测)已知函数Ax)的定义域为R,且满足

fM+f(y)^/(x+^)-2xy+2,/(l)=2,则下列结论正确的是()

A./(4)=12B.方程f(x)=尤有解

C.+是偶函数D./是偶函数

【答案】C

【解析】对于A,因为函数的定义域为R,且满足I(x)+/(y)=/(x+y)-2孙+2J(1)=2,

取x=y=l,得/(1)+/⑴=/(2)-2+2,则/(2)=4,

取x=y=2,得/(2)+f(2)=/(4)—8+2,贝|/(4)=14,故A错误；

对于B,取y=l,得/(x)+f(l)=/(x+l)-2x+2,