2024-2025学年安徽省芜湖一中高三10月质量诊断数学试题及答案

芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Axx23x20，Bx3x0则AB（）1.已知集合A.2,3B.1,3C.1,2D.,32.一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图的圆心角为（）3π5πA.B.πC.D.π4633.函数fxx3ax23x，已知fx在x3时取得极值，则x1上的最大值为（）A.9B.1C.9D.44.，若“弦”为231为1时，则tan等于（）3533A.1B.3C.D.35x,0x2216，若函数yfxm仅5.已知函数fx是定义在R上偶函数，当x0时，fxx11x22有4个零点，则实数m的取值范围是（）5A.5B.45C.5D.,4446.已知函数fx的定义域为R，yfxex是偶函数，yfx是奇函数，则fx的最小值x为（）A.eB.22C.23D.2e147.已知定义在R上的函数fx满足fx12fx，当x0,1时，fxsinx.若对任意3x,m，都有fx，则实数m的最大值为（）29473583A.B.C.D.28.设k0，若存在正实数x，使得不等式xk10成立，则k的最大值为（）1ln3eeln32A.B.C.D.eln3ln3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设0ab.且ab2，则（）12322A.1b2B.2ab1C.1D.ab2x10.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxex1，则下列命题正确的是（）A.当x0时，fxex1xB.fx0的解集为,10,1C.x,xR，都有fxf22D.函数fx有2个零点121111.已知函数fxx1xaxaa0在区间上有两个不同的零点x，x，且x2，12则下列选项正确的是（）1A.a的取值范围是0,1B.1243D.12ax12aC.x1x14122三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2cosπ12.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P1,3，则cossinπ______.xm2m在区间上单调递增，命题q：ma，若p是q的充分不必13.已知命题p：函数fx要条件，则a的取值范围是______.14.已知曲线fx2x与gxax有公共切线，则实数a的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）8集合Axyx2，Bx22x2（1）求AðBR（2）非空集合Cxa1x2a，BCB求实数a的范围.16.（15分）x已知函数fx21.2x1fx，判断gx的奇偶性，并求gx的值域；（1）若函数gx22（2）若关于x的方程mfxx，x有实根，求实数m的取值范围.17.（15分）b在x1处的切线方程为y3x.已知fxxaxx（1）求函数fx的解析式；1，都有fxfx2x1.（2）fx是fx的导函数，证明：对任意xx18.（17分）已知函数fxxax.（1）讨论fx的单调性.x.12（2）已知x，x是函数fx的两个零点x12（i）求实数a的取值范围；1（ii），fx是fx的导函数.证明：fxx0.112219.（17分）0且fx0，则对任意实数k，b，曲线0若函数fx的定义域为I，有0I，使fx0y与直线总相切，称函数yfx为恒切函数.fxbyb（1）判断函数fxxsinx是否为恒切函数，并说明理由；aex（2）若函数gxxpa为恒切函数a,pR.2（i）求实数p的取值范围；2m为恒切函数，记Ax132,0，证明：mA.（ii）当p取最大值时，若函数hxgxe3e20）（参考数据：芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试数学试题参考答案选择题单选题答案1C92D3C45678DABBA多选题答案1011ACDBCBCD填空题112.13.14.2简析：1.C.则ABx1x21,212.D.设底面半径为r，母线为l，则侧面积为，由2r2rr2rl，解得l2r，圆锥底面圆的周长为22r，所以该扇形的圆心角π.l2r3.C.f30，解得a5，fxx35x23x，fx3x210x33x1x3，1令fx0，解得x3或x3f9.3r134.D.设半径长OBr0，可得cos，sin，rr2r1r232sin21，r13sincos1533解得r2；即可得cos，sin，tan3；所以tan.225.A.作出函数fx图象，因为函数yfxm仅有4个零点，所以函数yfx与ym有4个交5点，根据图象可知：1m46.B.因为yfxex为偶函数，fxexfxex，exex1）又函数yfxx为奇函数，则fxfxx，3ex即fxfxx3ex2）联立（12）可得fxex2ex，即fxfx12由基本不等式可得fxex2ex2e2exx22，当且仅当xln2时，等号成立.17.B.当x0,1时，fxsinx，且定义在R上的函数fx满足fx2fx，所以函数4fx的大致图象为：121π1因为fsin，fx12fx42432121352323所以f2f，f2f122214313，可得x所以由fx22fx14fx4sinx，233177当x时，由fx的x11，所以实数m的最大值为223338.A.因为xk1，所以xk3，因为x0，所以x，333即log3xlog3x，设函数fxx3，x0，fx31xln30，所以函数xxlog3xxfxx3在为增函数，所以x0所以k，3xlog3x1xlog3xgx，gx，所以函数gx设函数数，在0,e为增函数，在为减函xln3x2xe11gxge3，所以k的最大值为，所以eeln3eln39.ACD.因为0ab，ab2，所以0a1b2，故A正确；13因为ab，设a，b，则2ab21，故B错误；122ab2因为0ab，所以ab1，故C正确；212abb2aba2a3322，当且仅当因为ab等号成立，故D正确.abb10.BC.fx是定义在R上的奇函数，x0时，fxexx1，故A错误；当x0时，由fxex10，得xx1，当x0时，由fxexx0，得0x1；所以fx0的解集为,10,1，故B正确；fx的值域为，所以x,xR，都有fxfx2，故C正确；1212因为f0，f10，又f00，所以fx有3个零点，故D错误；x1x1x1xaxa0a11.BCD.fxx，x1x12xx120，得x1，令gxx，由题可知，令gx2xx1x1显然，当x0,1时，gx0，所以gxx单调递减；x1x1x1x1x1当x时，gx0，所以gxxgx单调递增；g0，得x示意图如上图：所以a0都符合题意，故A错误；1111x1x1x1x1由图可知x1x，g，因为gxgxa，所以x，x互xgx121212xx为倒数，即xx1，故B正确；121xx21214，当且仅当x21时等号成立，x1x112xx1212121因为x1x，所以x1x4，故C正确；1121242因为xx1，要证D，即证x2axx2a即证a2a，1222233212121212a，所以a2因为gxgx2，即证22，122121321先证明xx：因为1x，所以x0，12222221210x1x11xx，22122212212212再证明22；要证22，即证xx1，222132133不妨设hxx1xx1，得hx1，x当x3时，hx0，此时hx单调递减；当x时，hx0，此时hx单调递增；故hxh340，故x1x0，即x1x，所以证得x212故选项D正确.π122cos22131212...sinπsin1tan13.m2m0，解得：0m1，又0,1是,a的真子集，a的范围是.2，x,ax214..设曲线fxx与gxax的切点分别为1,12211，则两切线斜率121，k2因为fx2x，gx，x2122xxx，yax，xx所以所以y111222121112，所以ax10，即1a2，2224242x2a21012x2121令hxx，则hx，当0x时，hx0，hx单调递减；4x22x32221212当x时，hx0，hx单调递增，所以hxh，即1a，22222212即a2e22解答题15.（13分）31）Axyx2xx2，Bx22x8xx12所以ðBxxx1.R所以AðRBxx3（2）因为BCB，所以CB，2aa1，即a1，需满足a11且2a3，3解得实数a的范围是1a16.（15分）.2fx1）由2x10得定义域为：因此定义域不关于原点对称，所以函数gx为非奇非偶函数.2x122x1由题意知：gxlog2122x121当x时，10,12x22x1所以1,0，2,0.所以函数gx的值域为（2）方程有实根，即mfxx有实根，fxx2xx构造函数hx221xx2xlog221x2则hx2222x2x1在R上单调递减，而yx在上单调递增2因为函数y所以复合函数hx21是R上的单调递减函数x23所以hx在上最小值为131，h12log22220最大值为h0212即hx3，2所以当m3时，方程有实根.217.（15分）2ba21）由题意可得，f1ab3，且fx，xx则f12ab3，ab32ab3a4即，即，b11所以fxx4x.x121（2）由（1）可知，fxx4x，fx4xxx211fxx4x所以fx4，xx21112142x3，2令gxx4x1x2xxx2xxx21x1x22223则gx2，xx2xx321x1x2所以x1时，gx0，x3即gx在x上单调递减，111所以gxg1，即gxx4x42x10，xx2x11所以fxfx2x10，即fxfx2x1.xx18.（17分）3ax1）fxx0.x当a0时，fx0，fx在上单调递增.3当a0时，令fx0得0x，a3即fx在上单调递增；a3同理，令fx0得x，a3a即fx在，上单调递减.（2i）由（1）可知当a0时，fx在上单调递增，不可能有两个零点.33a当a0时，fx在上单调递增，在，上单调递减，a3a33e30，解得0a若使fx有两个零点，则f0，即，a时，fx，且f1a0，当x3a3a则有x，x，123所以a的取值范围为.e1（ii）x，x是函数fx的两个零点，则有x1（122（2）122x（1）（2）得3x1axx，即a1，221x12233x2fx1xa1，122x1x12x111因为fx有两个零点，所以fx不单调，3因为xx，得0xx，所以xx0，x210.1212211ax121x32x1若要证明fx1x0成立，只需证0，2121x12120即证，x1121t11tx令t2，则t1，则不等式只需证t0，x1即证t1，令htt11tt，t11tt01tht1t11t1t令ltht1t1，ltt21，得t在上单调递减，令得t1t，因为2t1210，得lt0，即ht在上单调递减得hth10，得ht