第十二章 全等三角形（7类题型突破）

第十二章全等三角形（题型突破）题型一全等图形识别例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A． B．C． D．【巩固训练】1．（2023春·广东深圳·七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等图形的是（）A． B．C． D．2．（2023·江苏·八年级假期作业）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．3．（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________．题型二全等三角形的概念和性质例题：（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）下列说法中，正确的有（）①形状相同的两个图形是全等形②面积相等的两个图形是全等形③全等三角形的周长相等，面积相等④若，则，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【巩固训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（

）A．与是对应边 B．与是对应边C．与是对应边 D．不能确定的对应边2．（2023秋·八年级课时练习）如图，，且，，则的度数为______．3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，且，，，求和的度数．题型三添一个条件使两三角形全等例题：（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，B，F，E，D四点共线，，．若要使，则需要添加的条件是_______（只需添加一个你认为合适的条件即可）．

【巩固训练】1．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，已知，要判定，则需要补充的一个条件为______（只需补充一个）．

2．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点D，E分别在线段上，相交于点O，，要使，需添加一个条件是_____________（只需填一个即可）．

3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：______________；要使用“”证明，应添加条件：_________________．题型四三角形全等的判定方法例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．

【巩固训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．(1)求证：；(2)求证：．2．（2023春·全国·七年级期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．

(1)求证：；(2)若，，求的长度．3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，．(1)求证：．(2)若，求的长．4．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，．(1)求证：；(2)求证：．5．（2023春·七年级单元测试）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，．(1)求证：；(2)试猜想与的大小关系，并说明理由．题型五角平分线的性质与判定定理例题：（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，中，，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是______cm．

【巩固训练】1．（2023春·贵州·七年级统考期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为____________．

2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．

(1)求证：平分；(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．(1)求证：平分；(2)若，求的度数．4．（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．

(1)若，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上．题型六几何动点中求使三角形全等的值例题：（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于_____秒时，与全等．【巩固训练】1．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段，于点A，，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发___________秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则______．

3．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5（1）PC＝_cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．题型七三角形全等判定与性质综合问题例题：（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，于，点在边上，连接．

(1)求证：．(2)若，且的面积等于24，求的长．(3)若，直接写出线段的数量关系：________．【巩固训练】1．（2023春·辽宁丹东·七年级校联考期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．(1)求证：；(2)连接，若，平分，平分，求的度数．2．（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，是经过顶点B的一条直线，，E、D分别是直线上两点，且．

(1)若直线经过的内部，且E、D在射线上．【问题情景】如图1，若，，则之间的数量关系是______；【问题解决】如图2，若，那么当______°时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理由；(2)若直线经过的外部．【拓展提升】如图3，，请写出关于三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．

第十二章全等三角形（题型突破）答案全解全析题型一全等图形识别例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据全等图形的概念判断即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解题的关键．【巩固训练】1．（2023春·广东深圳·七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等图形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．【答案】（1）（4）（5）（6）．【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．【详解】解：（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等．故答案是：（1）（4）（5）（6）．【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义．3．（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________．【答案】【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到．【详解】解：根据题意得：所以,故答案为：【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．题型二全等三角形的概念和性质例题：（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）下列说法中，正确的有（）①形状相同的两个图形是全等形②面积相等的两个图形是全等形③全等三角形的周长相等，面积相等④若，则，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；④若，则，，故④错误；故正确的有1个．故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．【巩固训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（

）A．与是对应边 B．与是对应边C．与是对应边 D．不能确定的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．【详解】解：与是对应角，和是对应角，和是对应角，与是对应边，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，，且，，则的度数为______．【答案】/度【分析】先根据平行线的性质得到，再由全等三角形的性质即可得到．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，且，，，求和的度数．【答案】，【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．【详解】解：，．．综上所述：，．【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题的关键．题型三添一个条件使两三角形全等例题：（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，B，F，E，D四点共线，，．若要使，则需要添加的条件是_______（只需添加一个你认为合适的条件即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】由题意知，添加的条件为，可证．【详解】解：由题意知，添加的条件为，∵，∴，即，∵，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键在于确定判定三角形全等的条件．【巩固训练】1．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，已知，要判定，则需要补充的一个条件为______（只需补充一个）．

【答案】（答案不唯一）【分析】添加条件为，，根据即可推出两三角形全等．【详解】解：添加条件为，理由是：∵在和中，，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．2．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点D，E分别在线段上，相交于点O，，要使，需添加一个条件是_____________（只需填一个即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．【详解】∵，∴当添加的条件为时，∴．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：______________；要使用“”证明，应添加条件：_________________．【答案】（或）（或）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【详解】解：已知，，要使用“”，添加的条件是直角边相等，故答案为：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为：（或）．故答案为：（或）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．题型四三角形全等的判定方法例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．

【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵，∴，即，在和中∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【巩固训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接根据证明即可．（2）根据（1）得，然后证明即可．【详解】（1）解：证明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．2．（2023春·全国·七年级期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．

(1)求证：；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【详解】（1）∵，∴，在与中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴∴．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，．(1)求证：．(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】（1）根据判定即可；（2）根据和点B为中点即可求出．【详解】（1）证明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵点B为中点，∴，∴，∴；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．4．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由得，即，从而即可证得；（2）由可得，，即可得到，从而即可得证．【详解】（1）证明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2023春·七年级单元测试）如图，已知相交于点O，，于点M，于点N，．(1)求证：；(2)试猜想与的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据可证明；（2）根据证明可得结论．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．题型五角平分线的性质与判定定理例题：（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，中，，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是______cm．

【答案】3【分析】过D作于E．根据角平分线性质求解即可．【详解】解：过D作于E．如图，

∵是的平分线，，，∴．∵，∴．故答案为：3．【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．【巩固训练】1．（2023春·贵州·七年级统考期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为____________．

【答案】2【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分线的性质可得，即可求出的长．【详解】，，即．，

，．∵平分，，，∴平分．，．，，∴．故答案为：2【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明平分是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知垂足为，垂足为，，．

(1)求证：平分；(2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分；（2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论．【详解】（1）证明：，，，在和中，，，，，，，平分；（2）解：，在和中，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．(1)求证：平分；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明．（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得度数．【详解】（1）证明：，，，点D在的平分线上，平分．（2）解：，，，平分，．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键．4．（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．

(1)若，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上．【答案】(1)8cm(2)见解析【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．【详解】（1）解：作于，如图，

又∵平分，，∴，即点到直线的距离为8cm；（2）证明：∵平分，且于点，，∴，又，∴，∴点在的平分线上．【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．题型六几何动点中求使三角形全等的值例题：（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于_____秒时，与全等．【答案】1或或6【分析】分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上．【详解】解：与全等，斜边斜边，分四种情况：当点在上，点在上，如图：，，，当点、都在上时，此时、重合，如图：，，，当点到上，点在上时，如图：，，，不符合题意，当点到点，点在上时，如图：，，，综上所述：点的运动时间等于或或秒时，与全等，故答案为：或或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键【巩固训练】1．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段，于点A，，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发___________秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．【答案】5【分析】分两种情况考虑：当时与当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．【详解】解：当时，，即，解得：；当时，米，此时所用时间为10，，不合题意，舍去；综上，出发5秒后，在线段上有一点，使与全等．故答案为：5．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则______．

【答案】或【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案．【详解】解：设运动时间为秒，由题意可知，，，，，①当时，，，，解得：，②当时，，，，解得：，综上可知，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．3．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5（1）PC＝_cm（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，故答案为：(10﹣2t)；（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，当△ABP≌△PCQ时，∴AB=PC，BP=CQ，∴10−2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，当△ABP≌△QCP时，∴AB=QC，BP=CP，∴2t=10-2t，vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，∴综上所述，当v=1或v