数学示范教案：概率的加法公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7(),\s\do5（整体设计））教学分析教材利用两个例题引入了互斥事件、对立事件的概念，并给出了概率的加法公式．值得注意的是:举例引入和说明互斥事件的概念，可以用掷骰子出现不同点数的试验来解释，也可以用掷硬币出现正面或反面向上的试验来说明．关键是在同一试验中，事件A和事件B不可能同时发生,则事件A和事件B就是互斥事件．三维目标1．了解两个互斥事件的概率加法公式．2．通过学习概率加法公式，提高学生的归纳、推断能力．3．与集合知识联系，培养学生普遍联系的思想．重点难点教学重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式．教学难点：互斥事件与对立事件的区别和联系．课时安排1课时．eq\o（\s\up7(），\s\do5（教学过程))导入新课思路1。(1）集合有相等、包含关系,如{1,3}＝｛3,1｝，｛2,4｝{2，3，4，5}等；(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1＝｛出现1点}，C2＝{出现2点｝，C3＝{出现1点或2点｝,C4＝{出现的点数为偶数}，….师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识——概率的基本性质．思路2.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是eq\f(2，7）和eq\f(1,5)，则该省夺取该次冠军的概率是eq\f（2,7）＋eq\f（1，5),对吗?为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题))看下面例子：抛掷一颗骰子，观察掷出的点数.设事件A为“出现奇数点"，B为“出现2点”，已知PA＝eq\f（1,2）,PB＝eq\f（1,6），求“出现奇数点或2点"的概率。1事件A与B能同时发生吗？2用文氏图表示A∪B.3讨论：已知A,B是互斥事件,PA∪B与PA＋PB相等吗？4设事件D为“出现偶数点”，则事件A与D是互斥事件，那么A与D还有什么特点？讨论结果：（1）这里的事件A和事件B不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件）．设事件C为“出现奇数点或2点”，它也是一个随机事件．事件C与事件A，B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生,则C发生；若C发生，则A,B中至少有一个发生．我们称事件C为A与B的并（或和)．一般地，由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A，B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和)，记作C＝A∪B。事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．(2）下图中阴影部分所表示的就是A∪B。（3）在n次试验中，事件A出现的频数是n1,事件B出现的频数是n2，则事件A∪B出现的频数正好是n1＋n2，所以事件A∪B的频率为eq\f(n1＋n2，n）＝eq\f（n1，n)＋eq\f（n2，n)，而eq\f(n1,n)是事件A出现的频率，eq\f(n2,n）是事件B出现的频率．因此，如果用μn表示在n次试验中事件出现的频率,则总有μn（A∪B）＝μn(A)＋μn（B）．由概率的统计定义，可知eq\x(PA∪B＝PA＋PB.）①一般地,如果事件A1，A2，…，An两两互斥（彼此互斥），那么事件“A1∪A2∪…∪An"发生(是指事件A1，A2,…，An中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P(A2）＋…＋P(An)．①′公式①或公式①′叫做互斥事件的概率加法公式．所给例中事件C:“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“出现奇数点"的概率与事件B：“出现2点”的概率之和,即P（C)＝P(A）＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6）＝eq\f（2,3）.（4)A与D不能同时发生，且必有一个发生，即A∪D＝Ω.像这样不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作eq\x\to(A）。下图中的阴影部分表示事件A的对立事件．由于A与eq\x\to(A）是互斥事件,所以P(Ω）＝P（A∪eq\x\to（A))＝P(A)＋P(eq\x\to（A)），又由Ω是必然事件得到P（Ω）＝1。所以,P(A)＋P(eq\x\to（A））＝1,即eq\x（P\x\to(A)＝1－PA。）②这个公式为我们求P（A）提供了一种方法．当我们直接求P(A)有困难时，常可以转化为求P（eq\x\to（A）)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例))思路1例在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0。18,在80~89分的概率是0.51,在70～79分的概率是0。15，在60～69分的概率是0.09。计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率、小明考试及格的概率及小明考试不及格的概率．分析：根据互斥事件的概率加法公式来计算取得80分以上和及格的概率，利用对立事件的概率求不及格的概率．解：分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B,C，D，E.这4个事件是彼此互斥的．根据公式①小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C）＝0.18＋0.51＝0。69;小明考试及格的概率，即成绩在60分以上的概率．由公式①得P(B∪C∪D∪E)＝P（B）＋P(C）＋P（D)＋P（E)＝0。18＋0。51＋0.15＋0。09＝0.93.小明考试不及格的概率为1－P(B∪C∪D∪E）＝1－0。93＝0.07.点评:由于P(A）＝1－P(eq\x\to（A）)，可以通过求P（eq\x\to(A））的方法来求P(A)，这就是通常所说的间接法．变式训练有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0。3、0。2、0.1、0.4.（Ⅰ）求他乘火车或飞机来的概率；(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率;（Ⅲ）如果他来的概率为0。4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A、B、C、D，则P(A)＝0。3,P（B）＝0.2,P(C）＝0。1，P(D）＝0。4,且事件A、B、C、D之间是互斥的．（Ⅰ）他乘火车或飞机来的概率是P(A∪D)＝P(A）＋P（D）＝0。3＋0.4＝0。7。（Ⅱ)他乘轮船来的概率是P（B）＝0.2,所以他不乘轮船来的概率是P(eq\x\to（B))＝1－P(B）＝1－0。2＝0。8.（Ⅲ)由于0。4＝P(D）＝P(A）＋P（C)，所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的．（Ⅱ）他乘轮船来的概率是P(B）＝0.2，所以他不乘轮船来的概率为P（eq\x\to(B）)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.（Ⅲ）由于0。4＝P（D）＝P（A)＋P（C)，所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的.思路2例从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1）恰好有1件次品和恰好有2件次品;（2）至少有1件次品和全是次品;（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4)至少有1件次品和全是正品．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生，知：(1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件．同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件．（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件；(4）中的2个事件既互斥又对立。变式训练一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．分析：要判断所给事件是对立事件还是互斥事件,首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生．解：A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生）.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练)）1．下列说法中正确的是(）A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：D2．抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”,已知P(A）＝eq\f（1,2），P（B）＝eq\f(1，2),求“出现奇数点或偶数点”的概率．分析：事件“出现奇数点"和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件，可以运用概率的加法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点"为事件C，则C＝A∪B，因为A、B是互斥事件，所以P(C）＝P（A）＋P（B）＝eq\f（1,2)＋eq\f(1,2)＝1.出现奇数点或偶数点的概率为1。3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为eq\f(1,3）,得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12），试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球"“摸到黄球"“摸到绿球"为A、B、C、D，则有P（B∪C)＝P(B)＋P(C）＝eq\f(5,12)；P（C∪D）＝P(C)＋P（D）＝eq\f（5,12）；P(B∪C∪D)＝1－P（A）＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2，3)，解得P(B)＝eq\f（1,4），P(C）＝eq\f(1,6），P（D)＝eq\f（1，4).即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是eq\f(1,4)、eq\f（1,6）、eq\f（1，4).4．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”,事件B＝“抽到的是二等品",事件C＝“抽到的是三等品”，且已知P(A）＝0.7,P（B）＝0。1，P（C）＝0.05。求下列事件的概率：（1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2）事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．解：(1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P（D)＝P（A＋C)＝P（A)＋P（C）＝0.7＋0。05＝0。75.（2）事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品"和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式,得P(E）＝P(B＋C）＝P(B）＋P（C）＝0。1＋0.05＝0.15。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查。100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：男女总计赞成18927反对122537不发表看法201636总计5050100随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少?解：用A表示事件“对这次调整表示反对"，B表示事件“对这次调整不发表看法"，则A和B是互斥事件，并且A＋B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法",由互斥事件的概率加法公式，得P(A＋B）＝P（A）＋P(B）＝eq\f(37,100)＋eq\f（36，100）＝eq\f（73，100）＝0。73，因此，随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(课堂小结））本节课学习了互斥事件、对立事件的概念，以及利用概率加法公式解决有关问题．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业))本节练习B1、2。eq\o(\s\up7(),\s\do5（设计感想））本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件，并根据集合的运算定义了事件的运算，给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式，在运用时要切实注意它们的使用条件，不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系，思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强，同学们要反复训练，安排的题目既有层次性，又有趣味性，适合不同基础的学生，因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅．eq\o（\s\up7(）,\s\do5（备课资料）)备选习题1．一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A，摸出1只白球和1只黑球为事件B。问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？解：事件A和B互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A和B不是对立事件．2．回答下列问题：（1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲