2020-2021学年天津市和平区高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页2020-2021学年天津市和平区高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，则复数的虚部是（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算与虚部的概念求解即可．【详解】解：∵，∴该复数的虚部为1，故选：A．2．已知向量，，，，∥，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示公式计算即可.【详解】由∥，得，即.故选：C.3．用、表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则∥C．若，∥，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据题意，结合线面（面面）平行（垂直）的判定定理和性质定理，分别判断即可.【详解】对于选项A，由面面平行的判定定理可知，不一定平行于，故A错；对于选项B，根据线面平行的性质定理可知，不一定平行于，故B错；对于选项C，由面面垂直的判定定理可知，，故C正确；对于选项D，根据线面垂直的判定定理知，不一定垂直于，故D错.故选：C.4．给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.5【答案】B【分析】根据题意，把数据从小到大排列，由，故计算第三个数和第四个数的平均数即可.【详解】由题意得，，这组数据从小到大排列为：100，101，102，103，104，故这组数据的第60百分位数为.故选：B.5．若向量，满足：，，，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据平面向量数量积的几何意义求出在上的投影，然后结合向量的数乘运算即可求出结果.【详解】在上的投影为，所以在上的投影为.故选：D.6．已知内角所对边的长分别为，，则形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案【详解】，余弦定理可得，则，则，所以为直角三角形.故选：D7．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，列出所有可能结果，结合古典概率计算即可.【详解】根据题意可知，所有抽取结果如下：（1，2），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，3），（2，3），（3，2），（4，2），（5，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，3），（5，3），（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，4），共20种结果，其中两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数有12种，故抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为.故选：B.8．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的中点，连接，，，根据题意可知与侧面所成角即为，根据已知条件求解即可.【详解】作的中点，连接，，，根据题意，易得平面，故与侧面所成角即为，因侧棱长为，底面三角形的边长为1，所以，，故，即与侧面所成角的正弦值为.故选：D.9．已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，由是线段上的点，设，且，因此，，故，因，所以当时，取最小值.故选：B.二、填空题10．已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________【答案】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|．故答案为．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为________________．【答案】【详解】试题分析：分层抽样是等比例抽样，那么从高一学生中抽取的人数为7可知，每一人被抽到的概率为7：210=1：30.由此得到高三学生中抽取的人数为300=10，故答案为10.【解析】本试题主要是考查了分层抽样的方法的运用．点评：对于抽样方法，常考查的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于基础题．12．如图是某工厂对一批新产品长度单位：检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为______．【答案】22.5【详解】根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位数应在20∼25内，设中位数为x，则0.3+(x−20)×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5.故答案为22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.13．设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．【答案】【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.【详解】与对立，，与互斥，.故答案为：.14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.【答案】【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的体积的公式，可得结果.【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为R，由正方体的表面积为24，所以，则，又，所以，所以外接球的体积为：.故答案为：.【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.15．若点是的重心，点、分别在、上，且满足，其中．若，则与的面积之比为_______．【答案】【分析】用表示出，求出，得到、的位置，从而可得答案【详解】解：设的中点为，则,因为，所以,所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以故答案为：三、解答题16．已知，，向量与的夹角为．（1）求；（2）若与垂直，求实数的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据题意，结合，即可求解；(2)根据题意，可知，结合已知条件计算即可.【详解】(1)由题意得，.(2)由与垂直，得，即，解得.17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求的值；（2）若，，求的面积．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先根据正弦定理将条件边化角，然后借助于诱导公式进一步化简成、的关系式，最后借助于正弦定理得解；（2）结合（1）的结论，可求出三边，利用余弦定理求出任意角，套用面积公式即可求出结果．【详解】解：（1）由正弦定理，可化为：，也就是．由三角形内角和定理得．即．由正弦定理可得，故．（2）由可知．而，由余弦定理可知．又，于是．．18．如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（1）平面；（2）若，求证：．【答案】见解析【详解】（1）要证线面平行，需证线线平行，连结，证（2）要证线线垂直，需证线面垂直，证平面，即证证明：（1）连结．∵侧面是菱形，与交于点∴为的中点∵是的中点∴；∵平面，平面∴平面（2）∵侧面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得，，再根据即可求出结果；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，根据即可求出结果．【详解】解：（1）由题意可得，，；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：，∴．20．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）证明就是异面直线与所成的角或其补角，再解三角形得解；（2）先证明平面,平面平面