2024-2025学年福建省福州十五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州十五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，属于中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列方程是一元二次方程的是(

)A.2x−2=0 B.2x2−x=0 C.x3.下列运动形式属于旋转的是(

)A.足球在地上的滚动 B.电梯的运行 C.热气球点火升空 D.钟摆的摆动4.将函数y=x2−4x+2化为y=a(x−ℎ)A.y=(x−4)2+2 B.y=(x−2)2−25.建设美丽城市，改造老旧小区，某区2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，设每年投入资金的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是(

)A.100(1+x2)=1440 B.1000(1+x)2=1440

C.6.在平面直角坐标系中，将点P(2,1)绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是(

)A.(1,2) B.(−1,2) C.(−2,−1) D.(1,−2)7.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧

C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为−38.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠09.如图，若被击打的小球飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具有函数关系为ℎ=24t−4t2，则小球从飞出到落地的所用时间为(

)A.3s B.4s C.5s D.6s10.已知A(m,y1)，B(4,y2)为抛物线y=ax2A.m>4 B.m<2或m>4 C.m<2 D.2<m<4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.在平面直角坐标系中，点M(3,−1)关于原点的对称点的坐标是______．12.若关于x的一元二次方程x2−ax+6=0的一个根是1，则a的值为______．13.已知m为一元二次方程x2−3x−1=0的一个根，则代数式2m14.抛物线y=12(x−115.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移216.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，边AB，ED相交于点F，连接CF.下列结论：

①∠AFD=α；

②CE平分∠BCF；

③∠BFC=90°−α2；

④∠ACD=∠BCE．

其中所有正确结论的序号是______．三、计算题：本大题共2小题，共12分。17.解方程：x2−2x−2=0．18.已知抛物线的顶点坐标是(3,2)，且经过点(1,−2)．

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)若点A(m,y1)、B(n,y2)都在(1)中的抛物线上，且m<n<3，则y1______y2.(请用“>四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0.20.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(−2,3)，B(−3,2)，C(−1,1)．

(1)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出旋转后的△A1B1C1；

(2)画出△ABC绕原点O旋转180°21.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B顺时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．

(1)若∠BAC=20°，求∠BAF的度数；

(2)若AC=12，BC=5，求AF的长．22.(本小题8分)

某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足的函数关系为y=−15x+1500，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元/件．

(1)问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？

(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．23.(本小题8分)

如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.且点A、B、E在同一条直线上；

(1)求证：DA平分∠BDE；

(2)若AC⊥DE，求旋转角α的度数．24.(本小题8分)

(1)【探究】如图1，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°.我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG，连接EF.求证：EF=BE+DF．

(2)【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=4cm，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点且EF=5cm，求五边形ABEFD的周长．25.(本小题8分)

如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于点O(0,0)，A(4,0)，顶点为B.点E在抛物线上(不与A，B重合)，连接AB，BE．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若△ABE的面积为32，求点E的坐标；

(3)设直线BE交y轴于点D，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接CD

参考答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.B

6.D

7.D

8.B

9.D

10.B

11.(−3,1)

12.7

13.2025

14.(1,2)

15.y=x16.①③④

17.解：移项得x2−2x=2，

配方得x2−2x+1=2+1，

即(x−1)2=3，

开方得x−1=±18.

19.证明：由题意可知Δ=(−m)2−4(m−1)=(m−2)2，

∵(m−220.（3）(1,0)

21.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=20°，

∴∠ABC=70°，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴∠EBF=∠ABC=70°，AB=BF，

∴∠BAF=∠BFA=12(180°−70°)=55°．

(2)∵∠C=90°，AC=12，BC=5，

∴AB=13，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴BE=BC=5，EF=AC=12，

∴AE=AB−BE=13−5=8，

22.解：(1)根据题意，得(x−30)(−15x+1500)=9000，

整理，得x2−130x+3600=0，

解得x1=40，x2=90，

∵销售单价最高不能超过60元/件，

∴x=40，

答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元；

(2)设销售利润为w元，

则w=(x−30)(−15x+1500)=−15(x−65)2+18375，

∵−10<0，且销售单价最高不能超过60元/件，

∴当x=60时，w取最大值为：23.(1)证明：如图：

由旋转的性质得：∠1=∠B，AD=AB，

∴∠2=∠B，

∴∠1=∠2，

∴DA平分∠BDE．

(2)解：如图，设AC与DE交于点O，

由旋转的性质得：AB=AD，∠3=∠4=α，∠C=∠E，

∵AC⊥DE，

∴∠AOE=90°，

∴∠C=∠E=90°−∠4=90°−α，

∵AB=AD，

∴∠2=∠B=180°−∠32=180°−α2=90°−12α，

∵∠4=∠B+∠C，

∴α=90°−12α+90°−α，

解得：24.(1)证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG，

∴BG=DF，∠DAF=∠BAG，AF=AG，∠ABG=∠D=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠ABC=∠D=90°=∠DAB，

∴∠ABG+∠ABC=180°，

∴点G、B、C三点共线，

∴GE=DF+BE=DF+BE，

∵∠BAE+∠DAF=90°−∠EAF=45°，

∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=45°=∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE，

∴△GAE≌△FAE(SAS)，

∴EF=GE

∴EF=BE+DF；

(2)解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，

∴△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，

∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，

∴M、B、E三点共线，

∵∠EAF=60°，

∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD−∠EAF=60°，

∴∠MAE=∠FAE，

∵AE=AE，AM=AF，

∴△MAE≌△FAE(SAS)，

∴ME=EF，

∴EF=ME=MB+BE=DF+BE，

∴五边形ABEFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+EF+AD=4+5+5+4=18(cm)．25.(1)解：∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点O(0,0)，A(4,0)，

∴抛物线解析式为y=12x(x−4)，

即y=12x2−2x．

(2)解：过E点作EF//y轴交直线AB于F，如图，

∵y=12x2−2x=12(x−2)2−2，

∴顶点B的坐标为(2,−2)，

设直线AB的解析式为y=px+q，

把A(4,0)，B(2,−2)分别代入得4p+q=02p+q=−2，

解得p=1q=−4，

∴直线AB的解析式为y=x−4，

设E(t,