苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题16难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题16难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】 1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】 5【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】 9【过关检测】 14【典型例题】【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，依次得到点，，，，，…，则的坐标是．

【变式训练】1．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如，，，，，，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为(

)

A． B． C． D．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为．

3．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是．

4．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，把一条长为a个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上．（1）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是．

【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（

）

A． B． C． D．2．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点的位置，则的横坐标为（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．20163．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为（）

A． B． C． D．【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】例题：（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为．3．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，则点的坐标是．4．（2023春·北京房山·八年级统考期末）在平面直角坐标系中,不同的两点，,给出如下定义：若,则称点，互为“等距点”．例如，点,互为“等距点”．(1),，,四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是________．(2)已知，①若点是点的等距点，且满足的面积为,求点的坐标；②若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出t的取值范围．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（

）

A． B． C． D．3．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（）A． B． C． D．5．（2023秋·安徽六安·八年级六安市第九中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第n次移动到点，则的面积是（

）

A．m² B． C．m² D．m²二、填空题6．（2023春·四川南充·七年级校考期中）一个机器人在平面直角坐标系中，从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，当机器人走到点时，点的坐标是．7．（2023秋·安徽六安·八年级阶段练习）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是．

8．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，弹性小球从点出发，沿图中箭头所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．若小球第1次与长方形的边的碰撞点为，第2次与长方形的边的碰撞点为，…，第n次与长方形的边的撞点为，则点的坐标是，点的坐标是．

9．（2023春·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移个单位长度，得到点：把点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点；把点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点；把点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为．

10．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即，⋯，以此类推．则．

三、解答题11．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动每次移动1个单位，其行走路线如图所示.

(1)填写下列各点的坐标：______，______；(2)写出点的坐标（n为正整数）_____；(3)蚂蚁从点到点的移动方向______．12．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）新定义：在平面直角坐标系中中的点，若点P的坐标为（其中k为常数，），则称点为点P的“k属派生点”．例如：点的“3属派生点”为，即．(1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长为线段长的3倍，求k的值．13．（2023春·吉林松原·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点是点的“a级关联点”．(1)已知点的“级关联点”是点；(2)已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；(3)在（2）的条件下，若存在点H，且，直接写出H点坐标．14．（2023秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．(1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为________；(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；(3)若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标．15．（2023春·江苏南通·七年级统考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是的“1系友好点”．(1)点的“2系友好点”的坐标是，若一个点的“系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是；(2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值；(3)点在x轴正半轴上，“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为0，求k的值．

专题16难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】 1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】 5【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】 9【过关检测】 14【典型例题】【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，依次得到点，，，，，…，则的坐标是．

【答案】【分析】由图可得，，，，，…，当n能够被3整除时，点坐标为，根据得，点按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，则，根据点在点的上方，即可得．【详解】解：由图可得，，，，，…当n能够被3整除时，点坐标为，∵，∴，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，∴，∵点在点的上方，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键找出图形的变化规律．【变式训练】1．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如，，，，，，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，把第一个点作为第一列，，作为第二列，，，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第列有个数，则列共有个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，由，可知第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，进而可求点坐标．【详解】解：由题意知，把第一个点作为第一列，，作为第二列，，，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第列有个数，则列共有个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，∵，∴第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了点规律的探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为．

【答案】【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．【详解】解：，；，；，；，；……当为奇数时，；当为偶数时，；∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．3．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是．

【答案】【分析】设动点运动了次，则点的横坐标为，点的纵坐标按，，，，，，，，重复出现，每个数为一个循环．【详解】解：设动点运动了次．观察图形中点的坐标可知：点的横坐标为，点的纵坐标按，，，，，，，，重复出现，每个数为一个循环．∵，∴当点经过次运动后，横坐标为，纵坐标为．即点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键．4．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，把一条长为a个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上．（1）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是．

【答案】【分析】根据点的坐标，求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵，∴，∴四边形的周长为，∴细线绕一圈的长度为10，∵，∴当时，细线另一端所在位置的点与点重合，坐标为：；∵，∴当时，细线另一端所在位置的点在点下方1个单位长度处，即为：；故答案为：，；【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形的周长。【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出的商，从而解答本题．【详解】解：观察图形得，，，，，经过4次翻滚后点A对应点一个循环，，∵点，长方形的周长为：，∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即．∴的坐标为．故选：B．【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．【变式训练】1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形，从到经过的路程恰好为的周长，据此即可求解．【详解】解：由题意得：从到经过的路程恰好为的周长：故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为：同理：从到经过的路程恰好为：故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为：…∴、、、…、的直角顶点的横坐标为：∵∴的直角顶点的横坐标为：∵与的直角顶点的横坐标相同故的直角顶点的横坐标是故选：B【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键．2．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点的位置，则的横坐标为（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】观察图形和各点坐标可知：点到要翻转4次为一个循环，到横坐标刚好加4，到处横坐标加3，按照此规律，求出的横坐标，进而求出答案．【详解】解：由题意可知：点到要翻转4次为一个循环，，，，，，，到横坐标刚好加4，到处横坐标加3，，，，的横坐标，故选：B．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．3．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的滚动可知每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在轴上，由点，，可得，从而得到，进而得出点的横坐标，同理可得出点、的横坐标，从而得出点的横坐标为（为正整数），再代入即可得出答案．【详解】解：根据题意得：每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在轴上，，，，由旋转的性质可得：，点的横坐标为：，同理可得出：点的横坐标为：，点的横坐标为，，点的横坐标为（为正整数），点的横坐标为，点的坐标为，故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意进行计算得出规律：点的横坐标为（为正整数），是解题的关键．【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】例题：（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．【详解】解：∵的坐标为，∴，，，，…．依此类推，每4个点为一个循环依次循环，∵,∴点的坐标与的坐标相同，为．故选：B．【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组依次循环是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的坐标为和友好点的定义，顺次写出点、、、的坐标，发现循环规律，即可求解．【详解】解：当点的坐标为时，点的友好点的坐标为，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，……以此类推，∴，，，（n为自然数），∵，∴点的坐标为，故选：C【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键．2．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为．【答案】【分析】利用点的和谐点的定义分别写出点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用判断点的坐标与点坐标相同.【详解】解：根据题意得点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,而，∴点的坐标与点坐标相同，为，故答案为：.【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键.3．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，则点的坐标是．【答案】【分析】根据题意，可求得点至点的坐标，观察各点坐标，可知每个点循环一次，即可求得点的坐标与已知某个点的坐标相同．【详解】设点的坐标为．根据题意，得解得所以，点的坐标为．同理可得，，，，．观察各点坐标可知，点至点为一个循环，即每个点循环一次．∵，∴点的坐标与点的坐标相同．∴点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键在于根据题意求得某点的对称点的坐标．4．（2023春·北京房山·八年级统考期末）在平面直角坐标系中,不同的两点，,给出如下定义：若,则称点，互为“等距点”．例如，点,互为“等距点”．(1),，,四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是________．(2)已知，①若点是点的等距点，且满足的面积为,求点的坐标；②若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出t的取值范围．【答案】(1)、(2)①点B的坐标为，，，；②或【分析】（1）根据“等距点”定义，逐点验证即可得到答案；（2）①设，由题意得到，或，再由的面积为，列式，解得，代入或，即可得到点的坐标为或或或；②根据题意，作出图形，设，当与点互为等距点，则，分四种情况：当在正方形左边上；当在正方形右边上；当在正方形上边时；当在正方形下边时，分类讨论即可得到答案．【详解】（1）解：根据“等距点”定义，得：、,，即与坐标原点不是“等距点”；、,，即与坐标原点互为“等距点”；、,，即与坐标原点不是“等距点”；、,，即与坐标原点不是“等距点”；综上所述，与坐标原点互为“等距点”的是、故答案为：、；（2）解：①，点是点的等距点，设，则，即，或，如图所示：

的面积为，由图可知，，解得，当点在上时，由得到；由得到，即点的坐标为或；当点在上时，由得到；由得到，即点的坐标为或；综上所述，点的坐标为或或或；②如图所示：

，正方形边长为，设，当与点互为等距点，则，当在正方形左边上，有，即，得到，解得或；当在正方形右边上，有，即，得到，解得或；当在正方形上边时，有，再由解得或，则或，解得或；当在正方形下边时，有，再由解得或，则或，解得或；综上所述，若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，t的取值范围为或．【点睛】本题考查新定义与坐标问题，读懂题意，根据新定义结合学过的知识，综合运用是解决问题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2023与2的商和余数，继而得解．【详解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，则，∴第2023次的坐标是：，故选C．【点睛】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律．2．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由，可得出当秒时瓢虫在点边上，再结合点的坐标即可得出结论．【详解】解：，，，，，，，瓢虫2025秒行驶的路程为：，，，即此时瓢虫在边上，当秒时，瓢虫在点处，此时瓢虫的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了规律型—点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当秒时瓢虫在边上是解题的关键．3．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第253个循环中的第七个点的位置，即可得出点的坐标．【详解】解：由图可得，第一个正方形中，，，，，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，，,，，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0；根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，∴，∴点在第253个循环中的第7个点的位置，∴故点的纵坐标为，又∵的横坐标为4，的横坐标为，的横坐标为，…∴点的横坐标为，∴点的坐标为的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律问题，解决问题的关键是判断点在第253个循一中的第七个点的位置．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，坐标为，点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为，点第三次关于轴对称后在第四象限，坐标为，点第四次关于轴对称后在第一象限，坐标为，即点回到原始位置，每四次对称为一个循环组依次循环，，经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．5．（2023秋·安徽六安·八年级六安市第九中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第n次移动到点，则的面积是（

）

A．m² B． C．m² D．m²【答案】C【分析】确定从到水平移动的距离即可求解．【详解】解：由图可知：从到需要移动的次数为：水平移动的距离为：（m）从到需要移动的次数为：水平移动的距离为：（m）…依此类推：从到需要移动的次数为：水平移动的距离为：（m）∴的面积为：故选：C【点睛】本题考查规律题．根据题意确定一般规律是解题关键．二、填空题6．（2023春·四川南充·七年级校考期中）一个机器人在平面直角坐标系中，从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，当机器人走到点时，点的坐标是．【答案】【分析】根据坐标的表示方法得到从点出发，向正东方向走3米到达点，其坐标为；再向正北方向走6米到达点，其坐标为；再向正西方向走9米到达点，其坐标为；再向正南方向走12米到达点，其坐标为；再向正东方向走15米到达点，其坐标为．【详解】解：根据题意得，；；；；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标：在直角坐标系中，过一点分别作轴和轴的垂线，用垂足在轴上的坐标表示这个点的横坐标，垂足在轴上的坐标表示这个点的纵坐标．7．（2023秋·安徽六安·八年级阶段练习）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是．

【答案】【分析】根据题意得出规律：横坐标为点P运动的第几次，纵坐标为1、0、2、0的循环，进而可求解．【详解】解：由题意得：，，，，，可以看出点P的运动，横坐标为点P运动的第几次，纵坐标为1、0、2、0的循环，，经过第2025次运动后动点P的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了规律型——点的坐标，解决问题的关键是观察点的运动得出规律．8．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，弹性小球从点出发，沿图中箭头所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．若小球第1次与长方形的边的碰撞点为，第2次与长方形的边的碰撞点为，…，第n次与长方形的边的撞点为，则点的坐标是，点的坐标是．

【答案】【分析】根据反射角等于入射角作图，可知每10次反弹为一个循环即可求解．【详解】解：如图，小球行进的路径，可知小球第10次的碰撞点与出发点P重合，

∴小球的运动轨迹10次一循环．∵，∴点的坐标同点．由图可知，点的坐标为，点的坐标为．答案：

【点睛】本题考查点的坐标的规律，作出图形，观察出每10次反弹为一个循环是解题的关键．9．（2023春·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移个单位长度，得到点：把点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点；把点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点；把点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为．

【答案】【分析】先根据平移规律得到第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度，再向右或向上平移个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移个单位，再向右平移个单位；把点向上平移个单位，再向左平移个单位；把点向下平移个单位，再向左平移个单位；把点向下平移个单位，再向右平移个单位，∴第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，∵到是向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，到是向左个单位长度，向上平移个单位长度，到是向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，到是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，到是向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，∴点的坐标为，∵，∴点的坐标为，点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．10．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即，⋯，以此类推．则．

【答案】42【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到，这时；第3圈有16个点，即到，这时；，依次类推，第圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则，即，故答案为：42．【点睛】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．三、解答题11．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动每次移动1个单位，其行走路线如图所示.

(1)填写下列各点的坐标：______，______；(2)写出点的坐标（n为正整数）_____；(3)蚂蚁从点到点的移动方向______．【答案】(1)；(2)(3)向下【分析】（1）观察图形可知，，都在x轴上，求出、的长度，然后写出坐标即可；（2）根据（1）中规律写出点的坐标即可；（3）根据图形信息，4次为一个循环，则，可知从点到点的移动方向与从点到的方向一致．【详解】（1）解：由图可知，，都在x轴上，∵蚂蚁每次移动1个单位，∴，，∴，；故答案为：；；（2）解：根据（1）可知，，同理得，那么，∴点的坐标为；（3）解：∵，∴从点到点的移动方向与从点到的方向一致，为向下．【点睛】本题是对点的变化规律的考查，比较简单，仔细观察图形，确定出都在x轴上是解题的关键．12．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）新定义：在平面直角坐标系中中的点，若点P的坐标为（其中k为常数，），则称点为点P的“k属派生点”．例如：点的“3属派生点”为，即．(1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长为线段长的3倍，求k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据“k属派生点”的定义，进行求解即可；（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：，即：，故答案为：．（2）解：设点点P的“k属派生点”为点，∴，∵，的纵坐标相同，∴轴，如图，分两种情况：①当时，，∵，∴，∴；②当时，∵，∴，∴；

综上：或．【点睛】本题考查点的坐标规律．解题的关键是理解并掌握“k属派生点”的定义．13．（2023春·吉林松原·七年级统考期末）在平面直