多功能题典 高中数学竞赛-3

当OWxWl时，则cosyWcos中.故

cosx+cosW1+cos孙・

当OWyWl时，同理，cosx+cosyW1+cosxy.

当x>l,且y>l时，假设原不等式不成立.则

cosx+cosy1+COSXF・①

由0W孙WW，则cos孙20.从而cosx+cosy>1,即

cosx>1-cos>1-cos1>0.45.

所以，x<arccos0.45<1.2.

同理，y<\.2.

于是，xy<\.22=1.44<3.故

1+cos孙>1+cos1.44>1.33>2cosl>cosx+cosy.

这与式①矛盾.从而，cosx+cosyW1+cos号.

综上，原不等式成立.

22.25***求实数。的取值范围，使得对任意实数x和任意色]恒有

2

(x+3+2sin^cos^)24-(x+asin-I-acos0)22g.

解析显然原题即关于x的二次不等式

x2+(3+2sinecose+〃sine+4cose)x+,(3+2sin6cose)2+—(tzsin^+ncos0)20恒

2216

成立，故对0,-1，恒有判别式△W().即(3+2sin6cos6-asind-acose)'2w对

2

0e0,-恒成立.由此得对一切6e0,1F

2

3+2sin^cos^+-

a2-----------------------①

sin04-cos0

或

3+2sin9cos6-

aW-----------------------②

sin8+cos6

因为&°,1'所以

1Wsine+cose=A/^sin(0+；JW后.

由①有a>sin^4-cos^+—~-------------易知，当1WXW&时，f(x)=x+2」为减函

2sin6+cos。2x

数.从而,maxsine+cosOd---------------------=maxf(x]=l

Jo色Tl(2sin0+cos6)iwxwfi

由②有QWsing+cose+3.-；-------------.而sin8+cos8+3-----------------2J—=>/6,且当

2sin8+cos。2sin0+cos0\2

sin9+cos6=时等号成立，从而得QWV6.

2

综上可知4或4W指为所求.

2

2.2.26****对于固定的，£(0,1)，求满足以下两条件的最小正数。：

...y/aJa

(1)------+------->1；

cos0sin。

(ii)存在xe1--,—,

sin。cos。

使得[(一%)sin6-Ja-x」cos?+xcos0-ijtz-(l-x)2sin2^Wa.

解析由(i)得相〉sEOcos".①

sin6+cos。

(ii)等价于：存在l^―,@]，满足

sin。cos^J

2sin0cos/9(l-x)J―-----x2+xj-'-----(l-x)2Na.②

'7cos*Vsin20')

先证引理：设0<pvl,0<,<1,p+q>l,p?+q2.,

/(X)=(1-X)yjp2-X2+xj)2—(1一X)'(1—4WxW夕),则当Jp?-'=yjq2-(j"时,即

X=p2丁丁[…,同时,“X)达到最大值.

由于1-gWxWp,可令x=psina,\-x=qsin/3,0<a<—,0<<—,0<a+[<兀.于

是'/(x)=pg(sin/cosa+sinacos夕)=pqsin(a+4).

而

cos(a+夕)=cosacos尸一sinasin0

\lp2~x~.yjg~—(1—X)—X(1—X)

pq

从而+/<n.同时，当且仅当=b_（一）2时，即

x=1(p2-q2+l)e[l-q,司时，cos(a+0达到最大值正日」WO.因为在「四，兀]上

22pq[_2J

正弦函数单调递减，所以./•(力二夕"抽仁+尸)也当且仅当x=；(p2-/+l)时达到最大

值.引理得证.

由引理知，在〕■「+—时，当且仅当--d=、丘一-(「Xi，即

x=------^-+1K[1--,—I时，达到最大值

21cos“6sin20)sin。cos。

舟-熹+1)-

由②知，所求的最小的。是满足下式且满足①的最小的a：

2sin0cos/—g-----—f—：--------^+1］，a，

Vcos2041cos之。sin20)

即

(l-3sin2Seos28)/-2sin2Seos20a+sin4Seos,，W0.

解得

222

sin6cos20<aWsinOcos0

1+Jisin6cos。1一GsinOcos。

,,,丁sin2Geos?0sin2^cos20aaa

由于-----------r<——/=--------------，所rr以iu一r-+—^-=一二~~二;

(sin6+cos6)~1+V3sin^cos/9cos0sin-6>cos~^cos"6

l+GsinOcos。

因此，当"=Si)ecos2g时,满足①，故此即为所求

1+13sinOcos6

评注上述解析有两点值得注意：1.索要解决的问题结构复杂，转而先证更一般的情况一

一引理；2.注意到sin(a+0与cos(a+』)在a+-1,n有相同单调性，从而通过求

cos(a+Q)的最大值来求sin(a+夕)的最大值.

22T1★★★设。、bA>8为已知实数.已知/(e)=l-〃cos。一力sin。一力sin26-8sin2e

对于一切实数6,恒有/(6)20.证明：/+/W2,片+^W1.

解析因/(6)20对一切实数6成立，故

/⑻+/(兀+6)20,

即

/⑻+/(兀+6)=2-2/sin26>-28sin29=2-2"+炉cos(2<9-0)却，

AR

其中e的值由cos°=/，sine=r=确定.因此,对一切实数6,不等式

y]A2+B2yJA2+B2

dA2+82cos(2。-。)W1成立.令6=',得A/T+8?W1.这就证明了+52<1.

如法炮制，我们来证明忘2.由

/⑻+名+可

=2-a(cos6-sin。)一“sin。+cos6)

=2-42acosfx+£)-y/2bsinfx+:]

=2-y[2y/a2+h2cos(x+：—夕]20,

得\la2+b2cos|x+——(p|^V2,其中。由cos夕=/".，sinQ=—/〃确定.令

(4)y/a2+b2J/+/

x=(p——f得\la2+b2WV2,即/+〃W2.

4

22Wk*十十设g(e)=4cos，+>?2cos26+…+4,cos〃6，其中4，4，4，6均为

实数.若对一切实数e,恒有g(e)2-1.求证:4+4+…

2/cjr””

解析令4=---，攵=0,1,2,•••,n,则有Zcos〃?a=>^出〃⑸=0，

〃+14=0A=0

TH=1,2,•­•,n.①

i_im-2n

事实上，!>幽=-e0,于是①式成立.因此

4JZTI

1_e'”宣

g(o)+g(a)+g(w)+…+g(9)

二4(cos0+cos61+…+cos6〃)+4(cosO+cos2a+…+cos2Q)

+…+4(cos0+cos〃4+…+cos〃q)=0.

故由g(a)2-l,g(a)2T，…，g(e〃)2T得

4+4+…+4=g(o)

=-[g(a)+g(a)+…+g(o)]w〃.

2

2.2.29iAr*设对于任意实数x都有cos(asinx)>sin(/?cosx),求证：a2+b2.

解析用反证法，设由于〃sinx+6cosx=J/+b?sin(x+*),其中9取为

仅依赖于。、6的固定实数，使得cos°=/"sin(p=..由于，片+人?乌,

\ia2+b2\Ja2+b22

从而存在实数小，使得J。？+从sin(Xo+9)=,,即asinx。+6cosXo=].由此可得

2

cos(asinx0)=sin(bcosx0),与假设矛盾!于是/+〃.

2.2.30**对任意实数0，求证：

5+8cos6+4cos26+cos3e，0.

解析5+8cos0+4cos20+cos30=5+8cos+4(2cos2，+l)+(4cos'6-3cos9)

=1+5cos0+8cos2/9+4cos30=l+cos9+4cose(l+cos6)~=(l+cos9)(2cos，+l)~20.

2.2.31**设0<av囚，0<y3<—,求证：一\—十——彳----——二29,并。、/?取

22cos~asin-asin-pcos"p

什么值时等号成立.

解析由于-丁」年24,当且仅当尸=殳时等号成立•由均值不等式可得

sin~/?cos"/?4

1114

------>-----1----------------------------------------1-—--

cos2asin2asin2[3cos2(icos2asin2a

=seca+4esc2a=5+tan2a+4cot2a25+2•tana•2cota=9.

当且仅当夕=二，(X-arctanV2时等号成立.

4

2.2.32★★★已知sin2/+sin28+sin2c=1,其中4、B、C都是锐角，试证：

工W4+8+CW兀.

2

解析由题设sin2A=1-sin25-sin2C=sin2fj-sin2C=sinfj-sinC

=cos(^+C)cos(^-C)・①

因为8和C都是锐角，故cos(8-C)>0,从而cos(8+C)20,即8+C也是锐角，因此

4+8+CWTC.又因为8,。是锐角，故有cos(8—C)2cos(8+C),即

sin24=cos(8+C)cos(8-C)2cos2(^+C)=sin2(5一台一。).

由于4与B+C都是锐角，从而有Z2'-8—C,即Z+8+C，色.

22

评注等式①还可以用另外的方式得到：

sin2A=l-sin2B-sin2C=cos2B-sin2C=cos2B-sin2Ccos2B+sin2Ccos2B-sin2C

=cos25cos2C-sin2Csin2B=(cosBcosC-sinCsin5)(cos5cosC+sinCsin5)

=cos(5+C)cos(^-C).

2.2.23**设a、尸、y是一个三角形的三个内角.求证:

解析不妨设aW尸Wy,由于a、4、/是一个三角形的三个内角，易知

sinaWsin夕Wsiny.由排序不等式可得

sinasinPsin/sinasinpsiny

----1-----1----、--1-----1----,

aB丫pya

sinasin£sin/々sinasinPsin/

----1-----1----、--1-----1----.

a(3yyap

两不等式相加即得求证的不等式.

2.2.34***。、葭/是一个给定三角形的三个内角.

求证：esc2—+esc2-+esc2—>12.并求等号成立的条件.

222

解析由算术.几何平均不等式，有

2

>aP2/、JaByV

esc—Fcsc2—+csc—33esc—•escJ•esc-.

222I22

等号当且仅当a=Q=y时成立.

再由算术-几何平均不等式及凸函数的性质，有

).a.3.ya6y

Q“、彳sin—4-sin—+sin——+—+—,

222^-222.兀1

sin—sin--sin—W----------------Wsin———-———=sin—=—.

1223362

因此

2

CSC2—4-CSC2—+CSC2—3^sin—•sin—•sin—2=12.

222I22⑶

并且等号当且仅当a=〃=7时成立.

2.2.36****设Z、B、。是三角形的三个内角，求证：

-2<sin3^+sin3S+sin3C<-V3，并确定其中的等号何时成立.

2

解析不妨设/260。，则5+C=180°-J<120°，从而

0°^||S-C|<|(5+C)^180°.由此可得cos：(8-C)>cos：(8+C).

再由sinmlB+C)》。，得至I

2sinI(^+C)cos|(^-C)^2sin|(B+C)cos|(^+C),

叩sin38+sin3c2sin3(8+C).于是

sin34+sin38+sin3c2sin34+sin3(5+C)2-2.

3

为使sin34+sin38+sin3c=—2,必须满足sin3/=—l,sin3(B+C)=—l,sin-(B+C)=O,

但是不可能的，从而sin34+sin35+sin3C>-2.

另一方面，由4260。可知

记a=g(8+C),则0°<aW180°,且

2

^=180°-(5+C)=180°-一(X.

3

于是

sin3/+sin38+sin3Csin(3x180°-2a)+2sina

=sin2a+2sina=2sina(1+cosa)=8sinycos3y

又由均值不等式可得

26

sin"J--3sin-cosa

2V32~2

3csm.2—a+cos2'—a+cos2—a+cos2—a

222230

~16~

所以sin34+sin35+sin3C百.从以上过程可知，当且仅当3sin2t=cos2区,

222

cosj(S-C)=l,即/=140。，8=C=20。时，等号成立.

2.2.36**试证若两个三角形有一个角相等，则其余两个角的正弦之和较大的三角

形，它的这两个角之差较小.用所得结果确定：在什么三角形中，其角的正弦之和达到最大

值？

解析设a、/、？和优、夕、/分别是两个三角形的内角，且。=优，若

sin夕+sin/<sin/+sin/',①

则2sin-cos—<2sin+cos————.②

2222

因为a=a',故夕+/=/+/,且

.尸+y.0'+y'

sm-~~-=sin-———>0,

22

所以不等式②等价于

cos—<cos^4③

22

从而有|夕-7|>|/-1|，这就证明了本题的第一部分.

若在某一个三角形中，至少有两个角是不同的，设为万和了,则可以作一个新三角形，使得

其角的正弦之和比原来的三角形的正弦之和大.这只要根据前面所证明的，使新三角形的角

〃和原三角形的角a相等，而使夕和/的每一个更接近于幺产就行了.

因此，当三角形是等边三角形时，正弦之和达到最大值.

评注本题实际上是对“局部调整法”的一个具体直观的解释.

2237十十十x为一实数，0<x<兀，证明：对于所有的自然数〃

.sin3xsin5xsin(2z?-l)x小/士斗丁期

sinx+-------+--------+…+--------------的值为正数.

352/7-1

初七人\sin3xsin5xsin(2w-l)x工〕

解析令〃x)=sinx+-------+--------+…+—--------二，利用

'/352/7-1

2sinxsin(2攵-1)x=cos(2k-2)x-cos2kx,

cos2nx

2n-1

如果等号成立。则有cos2fct=1(攵=1,2,…，〃)，但因0<%<兀，故cos2》Hl.于是得

/(x)sinx>0.又因sinx>0,所以/(x)>0.

评注在这里“裂项"将2sinxsin(2左-l)x表示成cos(2攵-2)x-cos2Ax是一个关键的动

作，虽然“裂项”后不能做到前后项完全抵消，但却给我们提供了按照cos2代伏tN)重新

组合项的机会，进一步利用cos2H的有界性便达到证明的目的.

2.2.设女>10.证明：可以在式/(x)=cosxcos2xcos3x•••cos2kx中，将一个cos

换为sin,使得所得到的工(x),对一切实数x,都有

|/(x)|W备.

解析我们证明：用sin3x替换COS3X即可.

由于卜in3H=|3sinx-45抽3乂=|3-4$抽2“同11%区3卜出了|,那么，对于/(%)中将cos3x换为

sin3x后所得到的工(x),我们有

伉(x)|W3卜inx|-|cosx\'|cos2x\•|cos4x|-|cos8x|---|cos2kx|

3

二3卜inxcosxcos2xcos4xcos8x…cos2kx|=3-2~k~[|sin2A+1x|W.

2239十★★★设。、夕是实数，且cosawcos4，女是大于1的正整数.求证:

coskpcosa-coskacosp

<公一1.

cos4一cosa

解析令x=y=；(a+g),则

coskpcosa-coskacosP二;[cos(七川+a)+cos(攵6一a)—cos(左a+/?)-cos(〃a-y0)]

=；[cos(〃4+a)-cos(左a+y5)]+-1^[cos(Z:/?-6r)-cos(to-^)]

2

=sin(A:-l)sin(^+l)y+sin(%+l)xsin(左一l)y

并且cos夕一cosa=2sinxsiny,从而

coscosa-coskacosJ31sin(Zr-l)xsin(左+l)y1sin(^+l)xsin(A-l)y

W---------------;-----4--------；-----

cos£-cosa2sinxsiny2sinxsiny

由此可知只需再证：对任何〃£N和实数〃有

|sinn/|??|siny|,①

且等号仅在〃=1或者siny=0时成立.事实上，不妨设〃>1,sinywO,从而|cosy|<l.当

n=2时、|sin2/|=|2sin/cosy|<2|sin,即①式中严格不等号成立.

设①式对于〃=加22成立，当〃=m+1时,

|sin(m+1)»W|sinmycos卜+|sinycos加»<|sinmy\+|sin»<(〃?+l)|sin卜，

即①中的严格不等号对于〃二阳+1也成立.这样就完成了对于①式的归纳证明，且证明了只

当〃=1或者siny=0时，①中的等号才能成立.

2.2.4()★★★★求证：对于每个自然数〃，不等式

|sin1|4-|sin2|+…+卜in(3〃-1)|+|sin3n\>-n成立.

5

解析令/(%)=卜inx|+Mn(x+l)|+卜in(x+2)],我们只需证明对任何实数x有

由于/(X)是以兀为周期的周期函数，所以只需对于xw[0,兀]证明①成立.

当OWxW兀一2时，f(x)=sinx+sin(x4-1)4-sin(x+2).由于IWx+l且1〈兀一(x+1),所

以sin(x+l)^sinl.又sinx4-sin(x4-2)=2sin(x4-1)cos1>sin(x4-1)sin1,从而

/(x)>2sinl.

当7t-2<x^7t-l时，f(x)=sinx4-sin(x+1)-sin(x4-2).显然sinxNsinl.由

sin(x+1)-sin(x+2)=-2sin^cosfx+-31j,以及i3i

7U--<X+-^7T+-,可得

2222

sin(x+l)-sin(x+2)22sin；cos；=sinl.

所以/'(x)22sinl.

当兀一1VxW兀时，/(x)=sinx+sin(x+l)-sin(x+2).因为兀+1<X+2WTC+2,所以

-sin(x+2)>sinl.又

sinx-sin(x+1)=-2sin—cos|x+~|以及兀x<兀+1,从而

'，2I222

sinx-sin(x+1)22sin；cos；=sinl.

于是/'(x)>2sinl.

这就证明了对任何实数x有/(x)Z2sin1.又sin1>sin54=笥叵>[,所以对任意实数x有

①式成立.

2.2.41^^^^设/(x)=qsinx+a?sin2x+…+a〃sin〃x,其中4，%，…，。〃是实数，〃

是正整数.

如果对所有实数x有|/(x)|Wbinx|,求证：

\a]+2a2+…+叫|W1.

解析令析=同+同+…+|%].对于正整数N1W左W”），由于lim=电也=左,所以任

iosinx

给£>0,存在实数x,使sinxHO,^EL-k<—,k=l,2,〃.由此可得

sinxM

〃x)_£%sinkxsinAx-\a^Y^-tSinkX

12=_Ekk

sinxsinxk=lJt=lsinx4=14=1sinx

hl

由£的任意性可知所求让的不等式成立.

评注由于极限lim包在的存在性，我们由极限定义可以得到一个与之等价的不等式：

1。sinx

对于任给的£>0,存在xeR,使里"一片<£（sin*O）.而这正是后面证明的关键工具.

sinxMv

2.2.设〃、机都是正整数，并且〃>w.证明：

对一切xe（0,5），都有

2sin"x-cos"xW3sin"x-cos"x.

解析一只需对0<工<四进行证明(当x=色时，不等式显然成立；当时，可通过

4442

令y=—x得到).当％22时，有

cos*x-sin"x=(cos"x-sin*x)(cos2x+sin2x)

=(cosA+2x-sin/+2x)+sin2x-cos2x(cos^-1x-sin*-2%)

A+2

2cosx-sin"*?x.①

因此，不等式对〃=〃?+2的情形成立(除了〃=3).此外，当〃时，还有

cosnx-sinnxvcosAx-sinAx②

cosx-sinxcosx-sinx

事实上，将上式去分母，即化为显然的不等式

sin*-1x-cosA-1x(cos/,-Ax-sin"”,xj(cosx-sinx)N0,所以为证不等式，只需对〃=3,tn=1

和〃=2,加=1的情形加以证明.

由于cosx,sinx=』sin2xwL,则

22

cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(l+cosx•sinx)Wg(cosx•sinx),

ifncosx+sinx=V2sinlx+—71W3,故

42

~2•2x)(cosx+sinx)W■|(cosx-sin

cosx-sinx=(cosx-sinx).

评注利用①及②递推即可证明当〃,m(除〃=3,〃=1和加=2,〃=1两种情形外)时,

原不等式成立.

解析仅对0<x<；证明不等式.考察函数/(y)=cos，'x-sin>x,其中

歹20.显然〃0)=0；当y>0时，/(田>0;当y->8时，/(田70.并且

/'(»)=cos'xIncosx-sin'xlnsinx=cos"x(lncosx-tanv%•Insinx)•

由于g(y)=tan。单调，所以广3=0在区间y>0中有唯一实根.由

/(2)=/(2)(cos2x+sin2x)=/(4),知/'⑵>0,/(4)<0,从而知在心血23时，有不

等式即晨-血”不性即\-5加”耳成立.如果〃V2,则利用如下不等式可得所证:

/(1)W(cosx-sinx)(cos+sinx)=/(2)WV2/(l),

3

/(2)W(cosx-sinx)(l+cosx-sinx)=/(3)^-/(l)

2.2.43^^^设a、力、c是周长不超过27r的三角形的三条边长.证明：长为sinQSsinh>

sine的三条线段可构成三角形.

解析一由已知条件易知0<〃n,h,c<n,故sin。、sinA>sine都是正数，且

|cosa|<1,|cos/?|<1,|cosc|<1.①

不妨设sin〃〈sinbWsinc,若〃二色，贝ljb=c=¥,结论显然成立.

22

以下设色.我们分两种情形讨论：

2

(1)设a+b+c=2兀,则(利用①)

sinc=sin(2兀-Q-6)=-sin(Q+6)Wsina-|cos/?|+sinb•|cosa\<sinQ+sinb.

(2)设a+b+c<2兀.由于〃、b、c为三角形的三边长，故存在一个三面角使得〃、b、

c分别为其面角.如图，OR、OP、。0不在一平面上，OQ=OP=OR=\,,NQOP=b,

ZPOR=c.过。作平面尸OH的垂线，垂足为H；过“作OH的垂线，垂足为G.设

7T

ZQOH=<p,AHOR=0,贝ij0<夕(]，0W6W27t.由勾股定理，得

sina=QG=>JOH2+GH2=廊79+cos2夕sin20

=7sin20+sin2^>cos202|sin0\.②

类似地有

sinb=^sin2(c-^)+sin2(pcos2(^-c)2|sin(c-^)|.③

我们断言,②和③中的等号不能同时成立.若不然，由sin29Ho得cos。=cos(c-9),故0=]

或型，c-6=±巴或-3兀，这与0<c<兀相违.因此，由②、③得

222

sina+sin>|sin0\+|sin(c-^)|>|sin(^+c-^)|=sinc.

解析二这里的a、6、c无非就是一些满足特定约束条件的角，“看法”一变，解答就变

得异常简单.

由已知条件易知0<a,b,c<n,故sina、sin6、sine都是正数.此外，我们有

a+b+cTt

及<-----------W-.

42

“a-bc_

从而cos------>cos—>0，及

22

.a+b.c_.a+b-ca+b+c、八

sin--------sin—=2sin-----------cos-----------30.

2244

因此

.,C.a+ba-b

sina+sin/?=2sin------cos------->2sin—cos—=sinc.

2222

同理，sina+sinc>sin6,sin/74-sinc>sina.故命题得证.

2.2.44****设S，i=l,2,3,4.

证明：存在xeR,使得如下两个不等式

cos24cos22-(sinsin耳-20，①

222②

cos4cos4-(sin03sin-x)20

同时成立的充要条件是

4/44、

2③

^sin0iW21+PJsin^+^[cos^

/=l\z=li=l)

解析显然，①和②分别等价于

sinqsing-cos6、cos%WxWsinqsin%+cos^cosg，④

sin耳sin4-cos耳cosgWxWsinqsing+cos63cos仇，⑤

不难知道，存在XER,使得④和⑤同时成立的充分必要条件是

sin4sin&4-cos^cos02-sinsing+cos"cos420,⑥

sinasing+coscosg-sinsin%+cos^cos%》⑦

另一方面，利用sin2a=1-cos?a,可将式③化为

222222

cosacos02+2cos4cosacos巧cos名+cosqcosa-sinasin02

22

+2sinqsin02sinsing-sin6、sing20,

2

即(cos。]cos凡+cos63cos一(sinqsin%-sin^3sin^4)20,

亦即

(sinqsin24-cos0Xcos%-sinftsin^+cos^cos04)-

(sinsin4-coscos-sin^sin02+cos0xcos0.⑧

当存在xwR,使得④和⑤同时成立时，由⑥和⑦立即可以推出⑧，从而有式③成立.

反之，当式③，亦即式⑧成立时，如果⑥和⑦不成立，那么就有

sinasin名+coscos%-sin03sing+cos"cosa<0,

sinsin+cos"cosg-sin0}sinft,+cos^cos62<。•

两式相加，得2(cosqcosa+cosacosa)<0,此与可€(-；，|1,/=1,2,3,4的事实相

矛盾，所以必有⑥和⑦同时成立，因此存在xeR使得④和⑤同时成立.

2.2,45**在8c中，^—+—=2,且△/BC的周长为12.求其面积的最大

sin5sin4

可能值.

解析由已知得

sinA(cos4一sin3)+sin5(cosS-sin/t)=0,

即

sin力[sin(90°-A)-sin8]+sin8[sin(90°—8)—sin4]

=2疝90°一”一8sin,,cos450-^+sin6•cos(45。+

2

=2sin90°二"二J也x

cos^y^.(sin/+sin8)+sin•(sinJ-sin5)=0.

22

fA—B,.\A—B/.r24—B.4+B

InJcos--——(sinZ+sin8)+sin---(sinZ-sin8)=2cos---sin---+

A+B.2B、n

2cos--------sin-------->0,

22

ano_j_p

故sin--------------=0.所以90。-4一/8=0,ZJ+ZB=90°,即△ABC为直角三角形.

设力、B、C分别对应的边为。、b、c,依题意得a+C+J〃2+从=12.因

12=a+b+y/a2+h22yfab4-\jlah,故abW36(2—夜).所以

i2

S=QmW18(2-夜=36(3-2夜)，即£ax=36(3-2a).

2.2.设xNyNz，？，_&x+y+z=—.

122

求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值.

解析为能应用已知条件，要对乘积积化和差.由已知条件得

x=•一('+2)<］一(限+噎)=1,sin(x-y)20,sin(y-z)20.于是，

cosxsinycosz=~cosx[sin(y+z)+sin(y-z)]N；cosxsin(y+z)=1COS2X>-!-COSe2_兀

22138

且当x=W,y=z=］时等号成立.所以cosxsinycosz的最小值为

gcosz[sin(x+y)-sin(x-y)]W；cosz・sin(x+y)=121271

又cosxsinycosz=—cosz—cosn

2212

二+cos[=2.且当犬=»=/，z=]时等号成立，所以cosxsinycosz的最大值

2+6

8

22.47十★已知锐角a、/?满足

sin(3=mcos(a+4)邛出](〃?>0,a+尸w.

若x=tana,y=tan夕，

(1)求>=/(%)的表达式；

(2)在(1)下，当ae:,微卜寸，求函数y的最大值.

解析(1)由

sinQ=«7cos(a+/7)・sina(机>0,a+^

有

sin[(a+夕)-a]=mcos(a+⑶sina,

即

sin(a+/?)-cosa=(7w+l)cos(a+4)sina.

因为“、/为锐角，且&+/?片5,所以，

tan(a+/)=(〃?+1)tana.

所以

tan〃=tan[(a+/)-a]=—"’吗。,—,故尸=―mx.

LV'Jl+(m+l)tan2crl+(m+l)x2

(2)由(l)知

v-吧-=____1___行力).

=14-(W?+1)X21+(1+〃

mxym)

令〃(x)=」-+'"+1x,设lWX]Ww，则有〃(须)一廿(工2)='―—F(/w+l)XjX2—1"|<0,即

L

mxmmx{x2」

“芭)<〃(々).这说明〃(x)=’+'里X在[L+8)上单调递增.故/⑴="一.

mxmmax加+2

2.2.48***设函数

f(x)=|cosx+acos2x+/?cos3x|,

其中a、4是实数，求：M=minmax/(x).

a-fix

出+0

22

》；a、1

max/(x)直+4+—2-立+4/_且+0

22222222

7I22

于是得到

MW①

8S-8S31=138s「cosr

另一方面，令a=0,/?=--有/(x)=.易知

66I|23

其中g(y)='|y_|/.而

max/(x)=_maxi|g(>，)|=maxg(j，),

V3

g(y)-g

2247

所以当OWyW,时，由贯+等39可得g(y)_g曰卜0；

44

当且WyWl时，由/+可得g(y)-g(等)WO.于是得到

2

ix/(x)=maxg(^)=g—=百

uspsiz2

由此可得

..<73

M£——②

2

综合①和②可知阳=也

2

2.2.49^^^给定〃cN与。e[0,〃],在条件为sin?茗=。的条件下，求£sin2x,的最大值.

解析由于2$沦2茗=。，所以

一“

2

cos2xz(1-2sinx^=n-2a.

/=1/=!

考虑平面上〃个单位向量(cos2%sin2xt.),z=1,2,…，n.它们的和的长度不超过〃，即

(jcos2xj+(\sin2xjn2.

于是

^sin2xyWJ/-(〃-2Q)2=26(〃-a).

r=I

另一方面，若取

则Jsin2x,.=£-=«,fsin2x,=年弧…)=.

»=!<=ln»=li=\n

因此，所求的最大值是2"a).

2.2.函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Jx+在OWxW二兀上的最大

值M与参数/、8有关.问4、8取什么值时M