【浙教】第一次月考B卷（考试版+解析）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1章-第2章逆命题和逆定理。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知三角形的两条边长分别是3和5，且第三边的长为整数，那么第三边的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．82．下列定理中，逆命题是假命题的是（）A．在一个三角形中，等角对等边B．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等3．某班学生对三角形内角和为180°展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明△ABC的内角和为180°A．过点A作AD∥BCB．延长BC到点D，过点C作CE∥ABC．过点A作AD⊥BC于点DD．过BC上一点D作DE∥AC，DF4．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去5．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若△ABC是等边三角形，，∠ABD=20°，则∠BDCA．50° B．60° C．70°6．如图，OG平分∠MON，点A,B是射线OM，ON上的点，连接AB

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点③作射线，交OG于点P．若∠ABN=140°，∠MON=50°，则的度数为（A．35° B．45° C．55°7．如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F

A．4.8 B．6 C．5 D．6.48．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（

）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等9．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFCA．105° B．100° C．110° D．115°10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题:本大题有6个小题，每小题4分，共24分.11．把命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成“如果……，那么……．”的形式为：．12．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠

13．如图，在等边三角形ABC的边AB，AC上各取一点D，E，连接CD，BE交于点F，使∠EFC=60°，若BD=1，14．如图，已知△ABC，∠BAC=70°，，若平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为．15．如图，△ABD和△ACE分别是等边三角形，AB≠AC，下列结论中（1）DC=BE，（2）∠BOD=60°，（3）∠BDO=∠CEO，（4）OA平分∠DOE，（5）AO平分∠BAC．正确的有16．已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为．三、解答题:本大题有7个小题，第17题6分，第18-19每小题8分，第20-21每小题10分，第22-23每小题12分，共66分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（6分）如图，点E，F在直线BC上，AB=DF，∠A=∠D，18．（8分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺按要求画图．

(1)在图1中，已知线段AB，且A，B为格点，画一个以AB为底边的等腰△ABC，要求顶点C是格点．(2)在图1中△ABC的面积为________(3)在图2中画△ABC的中线AE．19．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上一点，连接AD，DE，，过点E向AB作垂线，交BA的延长线于点F．已知AE平分∠DAF．平分∠ABC，2AB=3AD．

(1)求证：DE平分∠ADC(2)若AD=3，CD=7，S△ABE=2720．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为ΔABC内一点，且BD=AD．

(1)求证：CD⊥(2)∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；21．（10分）已知△ABC和△ADE是一对共顶点的等腰直角三角形，∠EAD=∠CAB=90°，连接CE，BD．(1)如图1，求证：△ACE(2)如图2，点B在线段DE上（不与端点D，E重合），AE和BC交于点G，且△CGE为等腰三角形，求∠CAG(3)如图3，若∠ABD=90°，点F是线段BC，DE的交点，求证：点F是DE的中点．22．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：△AEC【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与交于点F，若点F为AC中点，①求∠BEC②CE=2，求△ACE【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB=AC，DA=DE，，与CA交于点F，DC=DF，CD⊥DF，△BCF的面积为18，求的长．

23．（12分）（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为；②求证：△AEF是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值．（只需直接写出结果）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1章-第2章逆命题和逆定理。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1．已知三角形的两条边长分别是3和5，且第三边的长为整数，那么第三边的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【解析】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5-3<a<3+5，即2<a<8．为整数，的最大值为7．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，求不等式组整数解，关键知道三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．2．下列定理中，逆命题是假命题的是（）A．在一个三角形中，等角对等边B．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等【答案】B【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【解析】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．3．某班学生对三角形内角和为180°展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明△ABC的内角和为180°的是（

A．过点A作AD∥BCB．延长BC到点D，过点C作CE∥ABC．过点A作AD⊥BC于点DD．过BC上一点D作DE∥AC，DF∥AB【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【解析】解：A、由AD∥BC，则∠CAD=∠C，∠BAD+∠B=180°．由∠DAC+∠BAC+∠B=180°，得∠BAC+B、由CE∥AB，则∠A=∠ACE，．由∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°，得∠A+∠C、由AD⊥BC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，无法证得三角形内角和是180°D、由DE∥AC，得∠FDE=∠BED，∠A=∠BED，则．由DF∥AB，得∠FDC=∠B，，由∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，得∠C+∠A+故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．4．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【答案】B【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解析】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．5．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若△ABC是等边三角形，，∠ABD=20°，则∠BDC的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．75【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，根据已知条件可得∠CBD的度数，BD=BC，再根据等腰三角形的性质可得【解析】解∶在等边△ABC中，AB=BC,∠∵AB=BD∴BD=BC∴∠故选∶C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．6．如图，OG平分∠MON，点A,B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点③作射线，交OG于点P．若∠ABN=140°，∠MON=50°，则的度数为（

）A．35° B．45° C．55° D．65【答案】B【分析】根据条件可知BP平分∠ABN，则可求出∠PBN，根据OG平分∠MON求出∠BOG，进而利用∠PBN=【解析】由作法得BP平分，∴∠PBN=∵OG平分∠MON∴∠BOP=∵∠PBN=∴∠OPB=故选B．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．7．如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=（）．

A．4.8 B．6 C．5 D．6.4【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，三角形面积公式计算即可．【解析】解：∵△ABC中，AB=AC,AD⊥∴AD是△ABC∴S△∵S△∴12∵AB=AC，∴12∴BF=6．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形面积公式，熟练掌握性质是解题的关键．8．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（

）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【解析】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．9．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（

A．105° B．100° C．110° D．115°【答案】B【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．【解析】解：延长C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC；下列结论：①DF=DN；②A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用ASA证明△FBD≌△NAD得到DF=DN即可判断①；根据ASA证明△ABM≌△NBM即可判断②；得到AM=MN，再证明△AFB≌△CNA得到AF=CN，进一步证明AE=CN，即可判断④；再由AE>AM，得到CN>AM=MN，又∠MNC是钝角，则△CMN不是等腰三角形，即可判断【解析】解：∵∠BAC=90∴∠∴∠平分∠ABC，∴∠∴∠∴∠∴AF=AE为EF的中点，∴AM∴∠∴∠在△FBD和△NAD中，∠FBD=∴∴DF=DN，在△ABM和△NBM中，∴△ABM≌△NBMASA，∴AM=∵AD∴∠∵AF∴∠∴∠在△AFB和△CNA中∴∴AF∵AF∴AE=CN，∵AE>∴CN>又∵∠MNC∴△CMN不是等腰三角形，故③故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．二、填空题11．把命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成“如果……，那么……．”的形式为：．【答案】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等．【分析】根据线段垂直平分线的性质按照命题的形式改写即可．【解析】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等．【点睛】本题考查了命题的相关问题，掌握命题的形式和方法是解题的关键．12．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠

【答案】180°/180度【分析】根据三角形全等求出∠1和的数量关系以及∠2和∠3的数量关系，即可求出四个角之和．【解析】解：如图所示，在Rt△ABC中和Rt△∴△∴∠∵∠∴∠同理可证：∠2+∴∠故答案为：180°【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的性质以及观察图形分析出相等的边长和角度．13．如图，在等边三角形ABC的边AB，AC上各取一点D，E，连接CD，BE交于点F，使∠EFC=60°，若BD=1，【答案】3【分析】由等边三角形的性质得出AB=CB，∠A=∠ABC=60°，根据条件得出∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCD（【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CB，∴∠ABE+又∵∠EFC=∴∠ABE=在△ABE和△BCD中，∠A=∴△ABE≌△BCD（ASA），∴AE=BD，∴BC=AC=AE+CE=DB+CE=1+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE14．如图，已知△ABC，∠BAC=70°，，若平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为．【答案】32°＃＃32【分析】过点E作于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点，得到∠EBA=12∠ABC=23°，AE是∠CAH的平分线，求出∠【解析】解：过点E作于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∠EBA=∴EG=EH，∴AE是∠CAH∵∠BAC=70∴∠CAH=110∴∠EAH=∵∠EBA+∴∠故答案为：32°【点睛】此题考查了角平分线的性质定理及判定定理，三角形外角性质定理，熟记三角形角平分线的性质定理是解题的关键．15．如图，△ABD和△ACE分别是等边三角形，AB≠AC，下列结论中（1）DC=BE，（2）∠BOD=60°，（3）∠BDO=∠CEO，（4）OA平分∠DOE，（5）AO平分∠BAC．正确的有【答案】（1）（2）（4）【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可，根据以上推出的结论即可得出答案．【解析】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，&AD=AB&∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；如图，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．∵由（1）知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∴12∴AM=AN，∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE，故④正确，⑤错误；故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．16．已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为．【答案】15或或25或35【分析】分三种情形：当点Q在AC上时，当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP或BQ＝PA满足条件，当点Q在BA上时，Q与P重合或AP＝QB满足条件，分别构建方程求解即可．【解析】解：当点Q在AC上时，CQ＝PA时，△BCQ≌△CAP，AP=t，AQ=4t，CQ=1-4t；此时t＝1﹣4t，解得t＝15当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP时，△ACQ≌△CAP，AP=t，CQ=4t-1，BQ=2-4t；∴4t﹣1＝t，解得t＝；BQ＝PA时，△ABQ≌△CAP，∴2﹣4t＝t，解得t＝25当点Q在BA上时，有两种情形，Q与P重合，△ACQ≌△ACP，AP=t，AQ=3-4t，BQ=4t-2；∴t＝3-4t，解得t＝35AP＝QB时，△ACP≌△BCQ，t＝4t﹣2，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为15或或25或35或故答案为：15或13或25或3【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题17．（6分）如图，点E，F在直线BC上，AB=DF，∠A=∠D，【答案】见解析【分析】根据已知条件，证明△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质可得BC=EF，再由BC-EC=EF-EC，即可得BE=CF.

再由BC+CF=BF，继而得到BC+BE=BF．【解析】在△ABC与△DFE中，∠A=∴△ABC∴BC=∴BC-即BE=∵BC+∴BC+BE=BF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．18．（8分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺按要求画图．

(1)在图1中，已知线段AB，且A，B为格点，画一个以AB为底边的等腰△ABC，要求顶点C是格点．(2)在图1中△ABC的面积为________(3)在图2中画△ABC的中线AE．【答案】(1)见解析(2)5(3)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画图即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）先根据矩形的性质确定BC的中点，再根据三角形的中线的定义画图即可．【解析】（1）解：如图：△ABC

（2）解：图1中△ABC的面积为．（3）解：如图：线段AE即为所求．

．【点睛】本题主要考查作图与设计作图、三角形的面积、三角形的中线等知识点，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．19．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上一点，连接AD，DE，，过点E向AB作垂线，交BA的延长线于点F．已知AE平分∠DAF．平分∠ABC，2AB=3AD．

(1)求证：DE平分∠ADC(2)若AD=3，CD=7，S△ABE=27【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）过E点分别作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，根据角平分线的性质得出EF=EN，进而得出EM=EN，根据角平分线的判定即可得出结论；（2）先求出AD:CD=3:7，进而得出AB:AD:CD=9:6:14，根据S△ABE=12AB·EF，S△ADE=12AD·EM，【解析】（1）证明：过E点分别作EM⊥AB于M，EN⊥BC于

∵平分∠ABC，EF⊥AB∴EF=EN，∵AE平分∠DAF∴EF=EM，∴EM=EN，∴DE平分∠ADC（2）解：∵2AB=3AD，∴AB:AD=3:2，∵AD=3，CD=7，∴AD:CD=3:7，∴AB:AD:CD=9:6:14，∵S△ABE=12AB·EF，S∴S△∵S△∴S△ADE=9∴S△【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．20．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为ΔABC内一点，且BD=AD．

(1)求证：CD⊥(2)∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；【答案】(1)见详解(2)①见详解；②见详解【分析】（1）由线段垂直平分线的判定可得结论；（2）①由“SAS”可证△ADC≌△BDC，可得∠ACD=∠BCD=45°，可求∠CDE=②由“SAS”可证△BDC≌△EMC，可得ME=BD；【解析】（1）证明：，，∴CD垂直平分线段AB，；（2）①证明：，，又，∴∠CBA=又∵∠CAD=，，在△ADC和△BDC中，AC=BC∠∴△∴∠∴∠，∴DE平分∠BDC②解：结论：ME=BD，理由：连接MC，

∵DC=DM，∠CDE=60∴△，，，，在△BDC和△EMC中，DC=MC∠∴△∴ME=BD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（10分）已知△ABC和△ADE是一对共顶点的等腰直角三角形，∠EAD=∠CAB=90°，连接CE，BD．(1)如图1，求证：△ACE(2)如图2，点B在线段DE上（不与端点D，E重合），AE和BC交于点G，且△CGE为等腰三角形，求∠CAG(3)如图3，若∠ABD=90°，点F是线段BC，DE的交点，求证：点F是DE的中点．【答案】(1)见解析(2)∠CAG的度数为22.5°或45°(3)见解析【分析】（1）根据题意及等量代换得出∠EAC=（2）根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出∠CEA=∠D=45°，分三种情况分析：当EC=EG时，当GC=EG时，当EC=CG时，利用三角形内角和定理求解即可；（3）过点D作DH∥AB，由全等三角形的性质得出BD=EC，∠ECA=∠ABD=∠CAB=90°，利用平行线的判定和性质确定∠FDH=∠FEC，∠HDB=90°，∠HBD=∠DHB=45°，根据等角对等边得出BD=HD，再由全等三角形的判定和性质即可证明．【解析】（1）证明：∵△ABC和△ADE是一对共顶点的等腰直角三角形，∠EAD=∴∠EAC=∠BAD，AC=AB，EA=AD，∴△ACE（2）∵△ABC和△ADE∴∠ACB=45°，∠D=45由（1）得△ACE∴∠CEA=当EC=EG时，∠CGE=∴∠CAG=当GC=EG时，∠CGE=180∴∠CAG=当EC=CG时，∠CGE=与题意不符，∠CAG=45综上可得：∠CAG的度数为22.5°或45°（3）过点D作DH∥∵△ACE∴BD=EC，∠ECA=∴EC∥∴∠FDH=∠FEC，∠HDB=90∵∠ABC=45∴∠HBD=∴BD=HD，∴HD=EC，∠CFE=∠HFD，∠FDH=∴△ECF∴EF=DF，∴点F是DE的中点．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．22．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：△AEC【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与交于点F，若点F为AC中点，①求∠BEC②CE=2，求△ACE【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB=AC，DA=DE，，与CA交于点F，DC=DF，CD⊥DF，△BCF的面积为18，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）6【分析】（1）首先得到，然后证明出△AEC≌△（2）首先由△AEC≌△ADB得到BD=EC=2，然后证明出△AGF≌△CEFAAS，得到AG=EC=2（3）连接，首先得到∠CDE=∠FDA，然后证明出△CDE≌△FDASAS，然后得到S△AEF=S△【解析】解：（1）∵∠∴在△AEC和△ADB中，AC=AB∠∴△（2）①∵∠∴在△AEC和△ADB中∴△∴∠ABE∴∠BEC=180-=②作AG⊥∵△∴BD=EC=2在△AGF和△CEF中，∠∴△∴AG∴S（3）连接∵且CD⊥DF∴∠CDE=在△CDE和△FDA中，CD=FD∴△∴CE=∵△CEF是公共部分，∴S设的长度为a，则S△AEF=a故的长度为6．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．23．（12分）（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为；②求证：△AEF是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探