2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷附答案解析

-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数满足，则（）A. B. C.3 D.52.设为实数，已知直线，若，则（）A.6 B. C.6或 D.或33.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）A. B. C.12 D.4.已知，则（）A. B. C. D.35.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（）A. B. C.1 D.6.已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（）A. B. C. D.8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C若，，，则 D.若，，，则11.已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆与圆C恰有3条公切线，则B.圆与圆C的公共弦所在直线为C.直线与圆C恒有两个公共点D.点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.13.已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.14.已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.16.如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角余弦值.17.某校为了厚植文化自信､增强学生爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.（1）求的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18.已知圆过点，圆心直线上，且直线与圆相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.19.已知椭圆离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.（i）求的值；（ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数满足，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解.【详解】由题意知，，所以.故选：B2.设为实数，已知直线，若，则（）A.6 B. C.6或 D.或3【答案】A【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得：或.当时，，平行；当时，，可判断此时重合，舍去.故选：A3.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）A. B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，又，所以，即实数的值为12.故选：C4.已知，则（）A B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】由，得，即，所以.故选：B5.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.【详解】由三角形的面积公式可得，得，由，得，所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，解得.故选：C6.已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.【详解】设点，因为，所以，代入直线方程可得：，化简可得：.所以的轨迹方程为.故选：C7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则，所以.故选：D.8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可.【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，则切线，即，切线的斜率，直线的斜率，则，所以.故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分【答案】ABD【解析】【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【详解】对于A：由，解得，正确；对于B：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；对于C：因为，由，，所以70百分位数是，故错误；对于D：高一年学生成绩的平均数约为分；高二年学生成绩的平均数约为分，因为，故正确；故选：ABD10.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，而，，则，，因此，A正确；对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误；对于C，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，由，得，又，则，因此，C正确；对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误.故选：AC11.已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆与圆C恰有3条公切线，则B.圆与圆C的公共弦所在直线为C.直线与圆C恒有两个公共点D.点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6【答案】BCD【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点，即可判断C；易知直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹，结合点与圆的位置关系计算即可判断D.【详解】A：由题意得：的圆心为，半径为，该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，所以，解得，故A错误；B：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，则，所以两圆相交，与相减得：，故圆与圆C的公共弦所在直线为，故B正确；C：变形为，令，解得，即直线恒过点，由于，点在圆M内，所以与圆M恒有两个公共点，故C正确；D：如图，圆，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点，即为，易知直线恒过点，又为的中点，则，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，又，所以的最大值为，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键点在于直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹为圆.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.【答案】##【解析】【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.【详解】从五张卡片中任取两张共有，两张卡片上的数字之和是3的倍数有，共4种，所以概率.故答案为：13.已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值．【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，设,,,所以：．由于，故时，有最小值，且的最小值，故答案为：14.已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】求出直线AC的方程，设.由，列不等式，利用判别式法求出t的范围，即可求解.【详解】由题意知直线AC的方程为.因为点D是直线上的动点，所以可设.因为，所以，化简得：对任意x恒成立,所以，化简得,解得或，结合t为正整数得：t的最小值为4.故答案为：4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以.【小问2详解】在中，由已知，因为由余弦定理可得，即7，即，又,所以.所以的周长周长为.16.如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可.【小问1详解】因为是一条母线，所以平面，而平面则因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即，又平面且，所以平面，而平面，则平面平面.【小问2详解】设，则，因为C是的中点，为底面圆心，所以平面，作，交于点连接，由可知，是二面角的平面角.则，即，在直角中，.所以.故二面角的余弦值为.17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.（1）求的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，则，且彼此互斥.易得.，所以所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.18.已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）