知识点总结（知识清单）-2023-2024学年六年级上册数学北京版

2023-2024学年度第一学期 六年级数学组2/2第一单元分数乘法本单元主要知识点1.分数乘法的意义和计算法则意义：（1）求几个相同加数的和的简便运算（分数乘整数）。（2）求一个数的几分之几（整数乘分数）。（3）分母相乘的积，表示把单位“1”平均分成多少份，可以知道分数单位，分子相乘的积可以知道分数单位的个数（分数乘分数）。计算法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母。能约分的先约分。2.分数乘法与整数乘法、小数乘法的联系无论是分数乘整数、整数乘分数，还是分数乘分数，都可以用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，注意能约分的先约分，再计算出得数。都是求几个相同加数的和，用乘法计算。只是有的是整数乘法，有的是小数乘整数，有的是分数乘法。3.分数乘法中因数与积的关系一个因数大于1，积就大于另一个因数；一个因数等于1，积就等于另一个因数；一个因数小于1，积就小于另一个因数。4.分数乘法混合运算整数乘法中的乘法结合律、乘法分配律等运算定律同样适用于分数乘法。运算顺序：有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的；没有括号的，先算乘除法，再算加减法；同级运算，按从左往右的顺序计算。5.倒数的认识定义：乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是它本身，0没有倒数。求倒数的方法：求一个分数的倒数，要把它的分子、分母互换位置。整数的倒数就是整数分之一。求小数的倒数，先把小数化成分数，再把分子、分母互换位置，也可以用1除以小数得到它的倒数。真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于等于1。常见题型分数乘法混合运算例：125×99+解析：用正向或逆向的乘法分配律进行简便运算。125×99+画图表示分数乘法例：画图表示15解析：15×求一个数的几分之几的实际问题例1：因为一字之差，解决问题的方法不相同。有4吨货物，运走13有4吨货物，运走13解析：（1）4−13=32例2：如果a的倒数大于a（a>0），下面说法正确的是（）。A．a大于1B．a小于1C．a等于1D．无法判断解析：当a小于1时，a的倒数大于a（a>0）。运用倒数的意义比较大小例：a×12=b解析：假设a×12=b乘法运算的一致性探究例：小智用下面的方法计算了整数乘法。请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。解析：整数乘法、小数乘法和分数乘法都可以先把因数看成有几个计数单位，然后把计数单位的个数和计数单位分别相乘，得到的积再相乘。第二单元分数除法本单元主要知识点除法和乘法的关系乘法中的因数就是除法里的商和除数，乘法中的积，就是除法中的被除数。分数除法的意义和整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，都是乘法的逆运算。分数除法计算法则甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。分数除法中被除数与商的关系一个数(0除外)除以小于1的数，商大于被除数；一个数(0除外)除以等于1的数，商等于被除数；一个数(0除外)除以大于1的数，商小于被除数。分数除法混合运算在含有两级的混合运算中，先算乘除，再算加减。在含有括号的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。分数除法解决问题求甲数是乙数的几分之几：甲数÷乙数求甲数比乙数多几分之几：（甲数-乙数）÷乙数求乙数比甲数少几分之几：（甲数-乙数）÷甲数二、常见题型已知一个数的几分之几，求这个数（求单位“1”）。（1）方程：根据数量关系设未知量为x，列方程解答。（2）算术：已知单位“1”的几分之几，求单位“1”，用除法。例：看图列式解答。解析：由图可知，小明今年8岁，是爸爸年龄（单位“1”）的29，问爸爸的年龄是多少岁？所以用除法：8判断积或商的大小例1：不计算，算式结果在14和67之间的是（A．1B．6C．6D．6解析：因为12<1，所以14×12<14，例2：芳芳说：“一个数除以分数，商一定小于这个数。”你同意吗？请说明理由。解析：我不同意，一个数除以分数，商可能大于这个数，也可能等于这个数，还可能小于这个数。举例如下：111第三单元百分数一、本单元主要知识点1.百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。2.百分数和小数、分数的互化百分数化小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位；小数化百分数：把小数点向右移动两位，同时后面添上百分号；百分数化分数：先把百分数改写成分母是10、100、1000…的分数，再约分；分数化百分数：通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数。3.百分数和分数的相同点和不同点生活中的百分数优秀率、合格率、成活率、恩格尔系数…二、常见题型百分数的实际意义例1：据统计，2020年全国小学生的近视率已达到35.6%，35.6%表示的意思是（）。解析：2020年全国近视的小学生人数占全部小学生人数的35.6%。2.百分数和小数、分数的互化3.分数、小数、百分数比较大小解析：统一转化成小数，再进行比较。4.百分数实际问题例1.某小学去年有学生480人，今年有学生500人。(1)去年学生人数是今年的百分之几?(2)今年学生人数是去年的百分之几?(3)今年比去年增加学生多少人?增加的学生人数是去年的百分之几?解析：(1)去年人数÷今年的人数；(2)今年人数÷去年的人数；(3)（今年人数-去年人数）÷去年的人数。例2.商场进行节日促销，一台空调原价3900元，先提价5%，再降价5%，促销后空调比原价()了。(填“高”或“低”)解析：提价5%后：3900×（1+5%）=4095元，再降价5%后：4095×（1-5%）3890.25元，所以是比原价低了。第四单元解决问题本单元主要知识点1.已知“整体”求“部分”(乘法)2.已知“部分”求“整体”（除法或者方程）3.求一个数比另一个数多（或少）百分之几（“比”字后面的是单位“1”）求甲数比乙数多几分之几：（甲数-乙数）÷乙数求乙数比甲数少几分之几：（甲数-乙数）÷甲数4.工程问题工作量=工作效率×时间5.利率和纳税利息=本金×利率×存期个人所得税=（工资-个税免征额）×税率二、常见题型1.求“单位1”例：甲城市有12万人，比乙城市少20%。乙城市有多少万人?解析：算术：乙城市人数的80%是甲城市人数，是12万人，求乙城市12÷（1-20%）=15万人方程：解：设乙城市有x万人。x-20%x=12，x=15，答：乙城市有15万人。2.求一个数比另一个数多（或少）百分之几?例：合唱队有男生20人，女生15人。女生的人数比男生少百分之几?四位同学用不司的方法列式解决，正确的是解析：（男生人数-女生人数）÷男生人数3.工程问题例：筹备新年联欢会，要制作100个红灯笼，六(1)班单独做需要10小时完成，六(2)班单独做需要15小时完成。如果两个班同时做，需要()小时完成。解析：工作总量（单位“1”）÷（六1班的工作效率+六2班的工作效率）=工作时间=6（小时）4.利率问题例：中国银行定期存款利率如下表：解析：本利和=本金+本金×利率×存期，50000+50000×2.75%×3=54125（元）5.税率问题例1：王阿姨2020年12月份工资是7500元，扣除免税额5000元后，不超过3000元的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税。求王阿姨纳税金额。解析：税金=（工资-个税免征额）×税率=（7500-5000）×3%=75（元）。例2：张阿姨2020年5月份的收入为11000元。按照国家纳税规定(如下表)，她应该向国家缴纳个人所得税多少元?解析：因为张阿姨2020年5月份的收入为11000元，超过5000元的部分是11000-5000=6000(元)，应分类缴税：一部分是不超过8000元的部分，按3%缴纳，一部分是(11000-8000)元，按10%缴纳，据此解答即可。11000-5000=6000（元），（8000-5000）×3%+（11000-8000）×10%=3000×3%+3000×10%=90+300=390（元），答:她应该向国家缴纳个人所得税390元。第五单元圆主要知识点圆的认识圆中心的一点叫圆心，用字母O表示。以某一点为圆心，可以画无数个圆。连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，用字母d表示。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。同圆或等圆中，直径是半径的2倍。d=2r。车轮为什么是圆的?因为圆心到圆上各点的距离相等（圆，一中同长也）。圆的周长圆一周的长度就是圆的周长。圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，π是无限不循环小数，为了计算简便，通常取近似值3.14。已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr已知圆的直径，求圆的周长：C=πd已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π和圆周率有关的数学家及数学名著：《周髀算经》、刘徽、祖冲之。圆的面积已知圆的半径，求圆的面积：S=πr²已知圆的直径，求圆的面积：S=π(d÷2)²已知圆的周长，求圆的面积：S=π(C÷2π)²圆环的面积计算：S=π（R2-r2）周长相等的正方形、长方形和圆，圆的面积最大，长方形的面积最小。认识扇形圆心角的两条半径和它所对的弧，组成扇形。圆心角是周角的几分之几，这个扇形面积就是所在圆面积的几分之几。跑道问题前伸数（外道与内道的长度差）=2π（R-r）常见题型寻找对称轴=1\*GB3①在下面图形中，对称轴条数最多的是（）【解析】圆有无数条对称轴。想象图形沿所画对称轴对折后是否能完全重叠，以判断对称轴是否正确。作图题①用圆规在下面正方形内画一个最大的圆，保留作图痕迹，并写出主要步骤。【解析】连接正方形对角线，两条对角线相交于一点，以交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆。关于圆的周长=1\*GB3①如图，两个小圆的周长之和与大圆的周长相比较，（）。A.大圆的周长长B.两个小圆的周长之和长C.同样长D.无法比较【解析】当大圆直径等于各个小圆直径之和时，大圆周长等于各个小圆周长之和。类似图形如下：②儿童公园有一个直径是10米的圆形金鱼池，在金鱼池外0.5米处要装一圈不锈钢护栏，这个护栏的长度最少要多少米?【解析】外扩0.5米，是半径扩大0.5米。确定直径或半径后选择合适的周长公式计算。圆与正方形=1\*GB3①小丽从长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米。【解析】先确定最大圆的直径等于长方形的宽，再计算面积。=2\*GB3②已知一个正方形的面积是5cm2，这个正方形内最大的圆的面积是（）cm2。【解析】最大圆的直径和正方形的边长相等，正方形的面积等于圆的直径的平方数。由d=2r可以得到d2=4r2，继而可以得到半径的平方数，用公式S=πr²计算圆的面积。=3\*GB3③周长相等的正方形和圆，它们的面积相比较（）A.圆的面积大B.正方形面积大C.面积一样大D.无法比较【解析】周长相等的正方形、长方形和圆，圆的面积最大，长方形的面积最小。④在边长是10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是正方形面积的（）。A.1/2B.π/2C.1/4D.π/4【解析】正方形面积=10×10=100（厘米2），圆面积=π×（10÷2）2=25π（厘米2）正方形面积=a×a=a2，圆面积=π×（a÷2）2=πa2/4关于圆的面积=1\*GB3①下面三个正方形的边长都是4厘米，三个图形中的阴影部分面积相比较，（）。A.图①最大B.图②最大C.图③最大D.同样大【解析】由正方形边长可以计算各个阴影部分所在圆的半径，然后可以计算各个阴影部分的面积。②观察下图,随着圆的个数增多,阴影部分的面积（）。A.越变越小B.不变C.越变越大D.无法确定【解析】阴影部分面积=正方形面积-圆面积之和。可以假设正方形边长的长度，然后分析出每个圆的半径长度，计算出各正方形内圆的面积之和，比较发现计算结果相等，即阴影部分面积也相等。③如下图，先将一张圆形纸片平均分成16份，再将每份剪下后拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28厘米，这张圆形纸片的面积是（）厘米。【解析】理解圆的面积的推导过程。将圆形剪拼成一个近似的长方形，面积不变。长方形的长即为圆的周长的一半，长方形的宽即为圆的半径。由C=2πr可算出圆的半径，即长方形的宽，然后计算长方形的面积即为圆的面积，也可由S=πr²直接计算圆面积。④圆的半径扩大到原来的2倍，直径就扩大到原来的（）倍，周长就扩大到原来的（）倍，面积就扩大到原来的（）倍。【解析】d=2r，C=2πr，S=πr²。半径扩大a倍，直径扩大a倍，周长扩大a倍，面积扩大a2倍。不规则图形的面积①圆形花坛周围有一条环形小路，花坛直径10米，小路宽1米，这条环形小路占地多少平方米?【解析】先确定内圆和外圆的半径，然后用S=π（R2-r2）计算。②图中阴影部分的面积是50平方厘米，求图中圆环的面积。【解析】大正方形边长=大圆半径=R,小正方形边长=小圆半径=r，阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积=R2-r2，圆环面积=π（R2-r2）=π×阴影部分面积。③一个圆环，外圆半径是内圆半径的2倍,这个圆环的面积是内圆的面积的（）。A.1/4B.1/2C.3倍D.1/5【解析】S=πr²，半径扩大a倍，面积扩大a2倍。也可以假设半径长度，计算比较。④计算下图中阴影部分的面积。【解析】不规则图形转化成规则图形进行计算，图1为正方形面积减去圆形面积，图2为圆环面积的1/4，图3为正方形面积减去1/4圆的面积。认识扇形=1\*GB3①下面各图中，阴影部分是扇形的是（）。【解析】首先判断是否圆心角，然后判断弧是否与圆心角对应。②下图中三个小扇形的半径均为2厘米，求这三个小扇形的面积之和。（提示：可以利用“三角形内角和”相关的知识解决）。【解析】三角形的内角和是180°，所以三个小扇形拼在一起相当于一个半径为2厘米的半圆，即可计算面积之和。第六单元扇形统计图一、主要知识点1.扇形统计图的意义圆表示整体的量，扇形表示各部分的量，百分数表示部分占整体的百分比。2.各统计图的特点条形统计图：各个部分数量的多少。折线统计图：整体的变化趋势。扇形统计图：部分与整体的关系。3.解决问题首先明确把什么看作一个整体，也就是确定单位“1”的量。已知总数和部分占整体的百分数，求部分数量，用乘法计算。已知部分数量和部分占整体的百分数，求总数，用除法计算。二、常见题型1.学校要为六年级的同学购买一批图书，老师对同学们最喜欢的图书种类做了统计。(每人选择一种图书)六年级同学喜欢的图书种类统计表六年级同学喜欢的图书种类统计图结合统计表和统计图中的信息完成下面各题：①老师一共统计了（）名同学。【解析】已知部分和部分所占的百分比，用除法计算出整体（单位“1”）。②把统计表和统计图填写完整。【解析】已知总数和部分占整体的百分数，求部分数量，用乘法计算。③根据统计图，你还能发现什么信息?请写出2条。信息1:信息2:【解析】一部分比另一部分多多少，或者一部分比另一部分少多少。④请你根据以上信息为学校购买图书提出一条合理建议。