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页中考数学基础知识点归纳总结和解题技巧点拔专题01实数【思维导图】【考点总结】一、实数的分类1.按实数的定义分类2.按正负分类实数【考点总结】二、实数的有关概念1.数轴实数与数轴上的点是一一对应的.2.相反数(1)实数a的相反数是-a,零的相反数是零;(2)a与b互为相反数a+b=0.3.倒数(1)实数a的倒数是(a≠0);(2)a与b互为倒数ab=1.4.绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|.(2)|a|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a>0),,0(a=0),,-a(a<0).))【考点总结】三、平方根、算术平方根、立方根1.平方根(1)定义:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根),数a的平方根记作±eq\r(a)(a≥0).(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.2.算术平方根(1)如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记作eq\r(a).零的算术平方根是零,即eq\r(0)=0.(2)算术平方根都是非负数,即eq\r(a)≥0(a≥0).(3)(eq\r(a))2=a(a≥0),eq\r(a2)=|a|.(4)eq\r(ab)=eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0,b≥0);eq\r(\f(a,b))=eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0,b>0).3.立方根(1)定义:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根),数a的立方根记作eq\r(3,a).(2)任何数都有唯一一个立方根,一个数的立方根的符号与这个数的符号相同.【考点总结】四、科学记数法、近似数、有效数字1.科学记数法把一个数N表示成a×10n(1≤a<10,n是整数)的形式叫科学记数法.当N≥1时,n等于原数N的整数位数减1;当N<1时,n是一个负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零).2.近似数与有效数字一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时从左边第1个不为0的数字起,到末位数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.【考点总结】五、非负数的性质1.常见的三种非负数:|a|≥0,a2≥0,eq\r(a)≥0(a≥0).2.非负数的性质:(1)非负数有最小值是零;(2)任意几个非负数的和仍为非负数;(3)几个非负数的和为0,则每个非负数都等于0.【考点总结】六、实数的运算1.基本运算:加法、减法、乘法、除法、乘方、开方.2.基本法则:加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则.3.运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律.4.运算顺序:(1)先算乘方,再算乘除,最后算加减;(2)同级运算,按照从左至右的顺序进行;(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.5.零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为:a0=1(a≠0);(2)负整数指数幂的意义为:a-p=eq\f(1,ap)(a≠0,p为整数).【考点总结】七、实数的大小比较1.在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.2.正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;两个负数比较,绝对值大的反而小.3.取差比较法(1)a-b>0a>b;(2)a-b=0a=b;(3)a-b<0a<B.4.倒数比较法若eq\f(1,a)>eq\f(1,b),a>0,b>0,则a<B.5.平方法:因为由a>b>0,可得eq\r(a)>eq\r(b),所以我们可以把eq\r(a)与eq\r(b)的大小问题转化成比较a和b的大小问题.【考点】一、实数的分类例1、下列各数:eq\f(π,2),0,eq\r(9),0.2eq\o(3,\s\up6(·)),cos60°,eq\f(22,7),0.30003…,1-eq\r(2)中无理数个数为().A.2个B.3个C.4个D.5个解析:eq\f(π,2)中π是无理数,所以eq\f(π,2)是无理数;0是有理数;eq\r(9)=3是有理数;0.2eq\o(3,\s\up6(·))是无限循环小数,属于有理数;cos60°=eq\f(1,2),是有理数;eq\f(22,7)是有理数;0.30003…是无理数;1-eq\r(2)中eq\r(2)是无理数,所以1-eq\r(2)是无理数.答案:B有理数都可以化成分数的形式.常见的无理数有四种形式:(1)含有π的式子;(2)根号内含开方开不尽的式子;(3)无限且不循环的小数;(4)某些三角函数式.【考点】二、相反数、倒数、绝对值与数轴例2、(1)-eq\f(1,5)的倒数是__________;(2)(-3)2的相反数是().A.6B.-6C.9D.-9(3)实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|+eq\r((b-a)2)=__________.解析:(1)-eq\f(1,5)的倒数为eq\f(1,-\f(1,5))=-5;(2)因为(-3)2=9,9的相反数是-9,故选D;(3)本题考查了绝对值,平方根及数轴的有关知识,由图可知:a<0,b>0,|a|>|b|,∴a+b<0,b-a>0,原式=-a-b+b-a=-2A.答案:(1)-5(2)D(3)-2a相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数);倒数是它本身的数是±1.【考点】三、平方根、算术平方根与立方根例3、(1)(-1.44)2的算术平方根为_____;eq\r(81)的平方根为_____;eq\r(0.04)=_____;(2)(-2)-3的立方根是____;立方等于-216的数是______;(eq\r(3,125))3=_______.解析:(1)(-1.44)2的算术平方根,即eq\r((-1.44)2)=|-1.44|=1.44;eq\r(81)=9,9的平方根是±3;eq\r(0.04)=0.2;(2)∵(-2)-3=eq\f(1,(-2)3),∴(-2)-3的立方根是eq\f(1,\r(3,(-2)3))=-eq\f(1,2);∵(-6)3=-216,∴eq\r(3,-216)=-6;(eq\r(3,125))3=(eq\r(3,53))3=53=125.答案:(1)1.44±30.2(2)-eq\f(1,2)-61251.对于算术平方根,要注意:(1)一个正数只有一个算术平方根,它是一个正数;(2)0的算术平方根是0;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根eq\r(a)具有双重非负性:①被开方数a是非负数,即eq\r(a)中的a≥0;②算术平方根eq\r(a)本身是非负数,即eq\r(a)≥0.2.立方根中,(eq\r(3,a))3=a,eq\r(3,a3)=A.【考点】四、科学记数法、近似数、有效数字例4、第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场,体育馆、游泳馆球馆,综合服务楼三组建筑组成,呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局.建筑面积约为359800平方米,请用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)().A.35.9×105平方米B.3.60×105平方米C.3.59×105平方米D.35.9×104平方米解析:359800=3.59800×105,要保留3个有效数字,需对从左边起第四个数字8进行四舍五入,所以3.59800×105≈3.60×105.答案:B1.取一个数精确到某一位的近似数时,应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入,而之后的数不予考虑;2.用科学记数法表示的近似数,乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字;而这个近似数精确到哪一位,应将用科学记数法表示的数还原成原来的数,再看最后一个有效数字处于哪一个数位上【考点】五、非负数性质的应用例5、若实数x,y满足eq\r(x-2)+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为__________.解析:因为eq\r(x-2)≥0,(3-y)2≥0,而eq\r(x-2)+(3-y)2=0,所以x-2=0,3-y=0,解得x=2,y=3,则xy-x2=2×3-22=2.答案:2常见的非负数的形式有三种:|a|,(a≥0),a2,若它们的和为零,则每一个式子都为0.【考点】六、实数的运算例6、计算:(1);(2).解:(1)原式=4×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)-eq\f(1,2)-1=3-eq\f(1,2)-1=eq\f(3,2).(2)原式=3-|-2+eq\r(3)|+1=3-(2-eq\r(3))+1=2+eq\r(3).提高实数的运算能力,首先要认真审题,理解有关概念;其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则,根据运算律及顺序,选择合理、简捷的解题途径.要特别注意把好符号关.【考点】七、实数的大小比较例7、比较2.5,-3,eq\r(7)的大小,正确的是().A.-3<2.5<eq\r(7) B.2.5<-3<eq\r(7) C.-3<eq\r(7)<2.5 D.eq\r(7)<2.5<-3解析:由负数小于正数可得-3最小,故只要比较2.5和eq\r(7)的大小即可,由2.52<(eq\r(7))2,得2.5<eq\r(7),所以-3<2.5<eq\r(7).答案:A实数的各种比较方法,要明确应用条件及适用范围.如:“差值比较法”用于比较任何两数的大小,而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小,还有“平方法”“倒数法”等.要依据数值特点确定合适的方法.专题02整式与因式分解【考点总结】一、整式的有关概念1.整式整式是单项式与多项式的统称.2.单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子;单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数.3.多项式几个单项式的和叫做多项式;多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.【考点总结】二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则:am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn,eq\f(am,an)=am-n(m,n是正整数).【考点总结】三、同类项与合并同类项1.所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项.2.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变.【考点总结】四、求代数式的值1.一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值.2.求代数式的值的基本步骤:(1)代入:一般情况下,先对代数式进行化简,再将数值代入;(2)计算:按代数式指明的运算关系计算出结果.【考点总结】五、整式的运算1.整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项;(2)整式加减的步骤:有括号,先去括号;有同类项,再合并同类项.注意去括号时,如果括号前面是负号,括号里各项的符号要变号.2.整式的乘除(1)整式的乘法①单项式与单项式相乘:把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.②单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mC.③多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nB.(2)整式的除法①单项式除以单项式:把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.②多项式除以单项式:(a+b)÷m=a÷m+b÷m.3.乘法公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.【考点总结】六、因式分解1.因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解.2.因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定:第一,确定系数(取各项整数系数的最大公约数);第二,确定字母或因式底数(取各项的相同字母);第三,确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂).(2)运用公式法①运用平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).②运用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.【考点】一、整数指数幂的运算例1、下列运算正确的是().A.3ab-2ab=1B.x4·x2=x6 C.(x2)3=x5D.3x2÷x=2x解析:A项是整式的加减运算,3ab-2ab=ab,A项错;B项是同底数幂相乘,x4·x2=x4+2=x6,B项正确;C项是幂的乘方,(x2)3=x2×3=x6,C项错;D项是单项式相除,3x2÷x=(3÷1)x2-1=3x,D项错.答案:B幂的运算问题除了注意底数不变外,还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方,以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘.【考点】二、同类项与合并同类项例2、单项式-eq\f(1,3)xa+b·ya-1与3x2y是同类项,则a-b的值为().A.2B.0C.-2D.1解析:本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法,由-eq\f(1,3)xa+b·ya-1与3x2y是同类项,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=2,,a-1=1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=0.))∴a-b=2-0=2.答案:A1.同类项必须具备以下两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数分别相同.二者必须同时具备,缺一不可;2.同类项与项的系数无关,与项中字母的排列顺序无关,如xy2与-y2x也是同类项;3.几个常数项都是同类项,如-1,5,eq\f(1,2)等都是同类项.【考点】三、整式的运算例3、先化简,再求值:(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=-eq\f(1,3).解:(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2=2ab,当a=3,b=-eq\f(1,3)时,2ab=2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)))=-2.整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据,必须在理解的基础上加强记忆,并在运算时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时,要认清公式中a,b所表示的两个数及公式的结构特征,不要犯类似下面的错误:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.【考点】四、因式分解例4、分解因式:-x3-2x2-x=__________.解析:由于多项式中有公因式-x,先提公因式再用公式法.-x3-2x2-x=-x(x2+2x+1)=-x(x+1)2.答案:-x(x+1)2因式分解的一般步骤:(1)“一提”:先考虑是否有公因式,如果有公因式,应先提公因式;(2)“二套”:再考虑能否运用公式法分解因式.一般根据多项式的项数选择公式,二项式考虑用平方差公式,三项式考虑用完全平方公式;(3)分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.专题03分式及其运算【考点总结】一、分式1.分式的概念:形如eq\f(A,B)(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式.2.分式有意义、无意义的条件:因为0不能做除数,所以在分式eq\f(A,B)中,若B≠0,则分式eq\f(A,B)有意义;若B=0,那么分式eq\f(A,B)没有意义.3.分式值为零的条件:在分式eq\f(A,B)中,当A=0且B≠0时,分式eq\f(A,B)的值为0.【考点总结】二、分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是:eq\f(A,B)=eq\f(A×M,B×M),eq\f(A,B)=eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式).分式的约分与通分1.约分:将分子、分母中的公因式约去,叫做分式的约分.2.通分:将几个异分母的分式化为同分母的分式,这种变形叫分式的通分.【考点总结】三、分式的运算1.分式的加减法同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减,即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)=eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后相加减,即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)=eq\f(ad±bc,bd).2.分式的乘除法分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母,即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)=eq\f(ac,bd).分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)=eq\f(a,b)·eq\f(d,c)=eq\f(ad,bc).3.分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中,应先算乘除,进行约分化简后,再进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.【考点】一、分式有意义、无意义、值为零的条件例1、若eq\f(|x|-1,x2+2x-3)的值为零,则x的值是().A.±1B.1C.-1D.不存在解析:当分式的分子是零,分母不是零时分式值为零,当|x|-1=0时,x=±1,而x=1时,分母x2+2x-3=0,分式无意义,所以x=-1.答案:C分式有意义的条件是分母不为零;分式无意义的条件是分母等于零;分式值为零的条件是分子为零用分母不为零.【考点】二、分式的基本性质例2、下列运算中,错误的是().A.eq\f(a,b)=eq\f(ac,bc)(c≠0)B.eq\f(-a-b,a+b)=-1C.eq\f(0.5a+b,0.2a-0.3b)=eq\f(5a+10b,2a-3b)D.eq\f(x-y,x+y)=eq\f(y-x,y+x)解析:应用分式的基本性质时,要注意“都”与“同”这两个字的含义,避免犯只乘分子或分母的错误.D项eq\f(x-y,x+y)=eq\f(-(y-x),x+y)=-eq\f(y-x,y+x).答案:D运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质:,(其中m≠0)和分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任意两个,分式的值不变.【考点】三、分式的约分与通分例3、化简:eq\f(m2-4mn+4n2,m2-4n2)=__________.解析:eq\f(m2-4mn+4n2,m2-4n2)=eq\f((m-2n)2,(m-2n)(m+2n))=eq\f(m-2n,m+2n).答案:eq\f(m-2n,m+2n)1.分式约分的步骤:(1)找出分式的分子与分母的公因式,当分子、分母是多项式时,要先把分式的分子与分母分解因式;(2)约去分子与分母的公因式.2.通分的关键是确定最简公分母.求最简公分母的方法是:(1)将各个分母分解因式;(2)找各分母系数的最小公倍数;(3)找出各分母中不同的因式,相同因式中取次数最高的,满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母.【考点】四、分式的运算例(1)化简:.(2)先化简,再求值:,其中x=-1.解:(1)原式=eq\f(a2-1,a)÷eq\f((a-1)2,a)=eq\f((a+1)(a-1),a)×eq\f(a,(a-1)2)=eq\f(a+1,a-1);(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2+4,x)-4))÷eq\f(x2-4,x2+2x)=eq\f(x2+4-4x,x)÷eq\f((x+2)(x-2),x(x+2))=eq\f((x-2)2,x)·eq\f(x(x+2),(x+2)(x-2))=x-2.当x=-1时,原式=-1-2=-3.在分式运算的过程中,要注意对分式的分子、分母进行因式分解,然后简化运算,再运用四则运算法则进行求值计算.分式混合运算的顺序是先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的,其乘除运算归根到底是乘法运算,实质是约分,分式加减实质是通分,结果要化简.专题04二次根式【考点总结】一、二次根式1、二次根式的概念:形如eq\r(a)(a≥0)的式子.2、二次根式有意义的条件:要使二次根式eq\r(a)有意义,则a≥0.3、最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式【考点总结】二、二次根式的性质(1)双重非负性:①被开方数是非负数,即a≥0;②二次根式的值是非负数,即≥0.注意:初中阶段学过的非负数有:绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.(2)两个重要性质:①(eq\r(a))2=a(a≥0);②eq\r(a2)=|a|=;(3)积的算术平方根:=·(a≥0,b≥0);(4)商的算术平方根:(a≥0,b>0).【考点总结】三、二次根式的运算1.二次根式的加减法合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,若有同类二次根式,可把同类二次根式合并成一个二次根式.2.二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法:·=(a≥0,b≥0);(2)二次根式的除法:=(a≥0,b>0).3.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).【考点】一、二次根式有意义的条件例1、若使eq\f(\r(x+1),\r(2-x))有意义,则x的取值范围是________.解析:x+1与2-x都是二次根式的被开方数,都要大于等于零.又因2-x不能为零,可得不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1≥0,,2-x>0,))解得-1≤x<2.答案:-1≤x<2方法总结利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时,首先考虑被开方数为非负数,其次还要考虑其他限制条件,如分母不等于零,最后解不等式(组).例2、要使式子eq\f(\r(a+2),a)有意义,则a的取值范围为__________.解析:a≥-2且a≠0由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+2≥0,,a≠0,))解得a≥-2且a≠0.【考点】二、二次根式的性质例3、把二次根式aeq\r(-\f(1,a))化简后,结果正确的是()A.eq\r(-a)B.-eq\r(-a)C.-eq\r(a)D.eq\r(a)解析:要使aeq\r(-\f(1,a))有意义,必须-eq\f(1,a)>0,即a<0.所以aeq\r(-\f(1,a))=aeq\r(-\f(a,a2))=eq\f(a\r(-a),-a)=-eq\r(-a).答案:B方法总结如果题目中对根号内的字母给出了取值范围,那么应在这个范围内对根式进行化简,如果题目中没有给出明确的取值范围,那么应注意对题目条件的挖掘,把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来,在允许的取值范围内进行化简.例4、如果eq\r(2a-12)=1-2a,则()A.a<eq\f(1,2)B.a≤eq\f(1,2)C.a>eq\f(1,2)D.a≥eq\f(1,2)解析:B因为二次根式具有非负性,所以1-2a≥0,解得a≤eq\f(1,2),故选B.【考点】三、最简二次根式与同类二次根式例(1)下列二次根式中,最简二次根式是()A.eq\r(2x2)B.eq\r(b2+1)C.eq\r(4a)D.eq\r(\f(1,x))(2)在下列二次根式中,与eq\r(a)是同类二次根式的是()A.eq\r(2a)B.eq\r(3a2)C.eq\r(a3)D.eq\r(a4)解析:(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式,C选项中的被开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故B选项正确;(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后,可得出eq\r(3a2)=eq\r(3)|a|,eq\r(a3)=aeq\r(a),eq\r(a4)=a2,结合同类二次根式的概念,可得出eq\r(a3)与eq\r(a)是同类二次根式.答案:(1)B(2)C方法总结1.最简二次根式的判断方法:最简二次根式必须同时满足如下条件:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不应含有根号);(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式,即被开方数的因数或因式的指数都为1.2.判断同类二次根式的步骤:先把所有的二次根式化成最简二次根式;再根据被开方数是否相同来加以判断.要注意同类二次根式与根号外的因式无关.例若最简二次根式eq\r(a+b,3a)与eq\r(a+2b)是同类二次根式,则ab=__________.解析:1由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=2,,3a=a+2b,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=1.))∴ab=1.【考点】四、二次根式的运算例4、计算:(eq\r(50)-eq\r(8))÷eq\r(2).解:原式=(5eq\r(2)-2eq\r(2))÷eq\r(2)=3eq\r(2)÷eq\r(2)=3.方法总结1.二次根式加减法运算的步骤:(1)将每个二次根式化成最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式.2.二次根式乘除法运算的步骤:先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式,再化简;最后结果要化为最简二次根式或整式或分式.专题05一次方程(组)【考点总结】一、等式及方程的有关概念1.等式及其性质(1)用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.(2)等式的性质:等式两边加(或减)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.2.方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程.(2)方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方的解,也叫它的根.(3)解方程:求方程解的过程叫做解方程.【考点总结】二、一元一次方程1.只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程,其标准形式为ax+b=0(a≠0),其解为x=.2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)未知数的系数化为1.【考点总结】三、二元一次方程组的有关概念1.二元一次方程(1)概念:含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.(2)一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0).(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.(4)解的特点:一般地,二元一次方程有无数个解.2.二元一次方程组(1)概念:具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.(2)一般形式:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x+b1y=c1,,a2x+b2y=c2))(a1,a2,b1,b2均不为零).(3)二元一次方程组的解一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.【考点总结】四、二元一次方程组的解法1、代入法的定义:在二元一次方程组中,将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.2、代入法解二元一次方程组的基本思想是:通过代入达到消元的目的,从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程.其步骤为:①变形:从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母.例如y,用含x的代数式表示出来,得y=ax+b.②代入:将y=ax+b代入另一个方程中,消去y,得到一个关于x的一元一次方程.③解元:解所得的一元一次方程,求出x的值.④求值:把求得的x的值代入y=ax+b中,求出y的值,从而得到方程组的解.⑤把求得的x,y的值联立起来就是方程组的解.取的原则是:①选择未知数的系数是1或-1的方程;②常数项为0的方程;③若未知数的系数都不是1或-1,选系数的绝对值较小的方程,将要消的元用含另一个未知数的代数式表示,再把它代入没有变形的方程中去.这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了.总之,用代入消元法解二元一次方程组时,一定要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易,这样不但避免错误,还能提高运算速度.1、加减法的定义:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.2、加减法的基本思想是:解二元一次方程组时,使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数,再将所得两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,从而转化为一元一次方程.其步骤为:①变形:方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就要用适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相等或互为相反数.②加减:当同一个未知数的系数互为相反数时,用加法消去这个未知数,得到关于另一个未知数的一元一次方程;当同一个未知数的系数相等时,用减法消去这个未知数,得到关于另一个未知数的一元一次方程.③解元:解所得的一元一次方程,求出未知数的值.④求值:把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解.谈重点加减消元法解二元一次方程组当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时,一般选择系数较为简单的未知数消元,将两个方程分别乘以某个数,使该未知数的系数的绝对值相等,再加减消元求解,但必须注意,在方程两边同乘以某个数时,每一项都要乘,尤其常数项不要漏乘.【考点总结】五、列方程(组)解应用题步骤:(1)设未知数;(2)列出方程(组);(3)解方程(组);(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义;(5)写出答案(包括单位名称).【考点】一、一元一次方程的解法例1、解方程:eq\f(2x+1,3)-eq\f(10x+1,6)=1.解:去分母,得2(2x+1)-(10x+1)=6,去括号,得4x+2-10x-1=6,移项,得4x-10x=6-2+1,合并同类项,得-6x=5,系数化为1,得x=-eq\f(5,6).解一元一次方程时,首先要清楚基本方法与一般步骤,明确每步的理论依据,根据其特点选用解题步骤.【考点】二、二元一次方程组的有关概念例2、已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=1))是二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx+ny=8,,nx-my=1))的解,则2m-n的算术平方根为().A.4B.2C.eq\r(2)D.±2解析:∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=1))是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx+ny=8,,nx-my=1))的解.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m+n=8,,2n-m=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=3,,n=2.))∴eq\r(2m-n)=eq\r(2×3-2)=eq\r(4)=2.答案:B方程组的解适合于方程组的每一个方程,把它代入原方程组,就会得到一个新的方程组,解新方程组即可得出待定字母系数的值.【考点】三、二元一次方程组的解法例3、解方程组:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x-y=5,,5x+2y=23.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))解:方法一:用加减消元法解方程组.①×2得6x-2y=10,③②+③得11x=33,∴x=3.把x=3代入①得9-y=5,∴y=4.所以原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=4.))方法二:用代入消元法解方程组.由①得y=3x-5,③把③代入②得5x+2(3x-5)=23,所以11x=33,则x=3.把x=3代入③得y=4.所以原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=4.))解二元一次方程组的基本思路是通过消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法,具体应用时,要结合方程组的特点,灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或-1,宜用代入消元法解;如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂,宜用加减消元法解.【考点】四、列方程(组)解决实际问题例4、某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务,需要用到甲、乙两种原料.已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4kg和0.3kg,生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5kg和1kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2300kg和3600kg,如果所进原料全部用完,求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套?解:设生产亚运会标志x套,生产亚运会吉祥物y套.根据题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4x+0.5y=2300,,0.3x+y=3600.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))①×2-②×1得0.5x=1000,∴x=2000.把x=2000代入②得600+y=3600,∴y=3000.答:该厂能生产亚运会标志2000套,生产亚运会吉祥物3000套.对于含多个未知数的实际问题,利用列方程组来解,一般要比列一元一次方程解容易.列二元一次方程组,首先要对具体的问题进行具体分析,从中抽取等量关系,再根据相应的等量关系列出方程组,注意所求的解要符合实际问题.专题06一元二次方程【考点总结】一、一元二次方程的概念1.定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.【注】判断一个方程是否是一元二次方程,必须符合以下三个标准:一元二次方程是整式方程,即方程的两边都是关于未知数的整式.一元二次方程是一元方程,即方程中只含有一个未知数.一元二次方程是二次方程,也就是方程中未知数的最高次数是.2.一般形式一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).要特别注意对于关于的方程,当时,方程是一元二次方程;当且时,方程是一元一次方程.为二次项,其系数为;为一次项,其系数为;为常数项.例1、下列方程中,是关于x的一元二次方程的是().A.3(x+1)2=2(x+1)B.eq\f(1,x2)+eq\f(1,x)-2=0 C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-1解析:一元二次方程必须是有一个未知数,并且是未知数的最高次数是2的整式方程,另外当x2的系数有字母时,要注意系数不能为零.答案:A判断一元二次方程的方法:一元二次方程必须同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)化简后只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.这三个条件是判断一个方程是否是一元二次方程的主要依据,缺一不可.【考点总结】二、一元二次方程的解法一、直接开方法解一元二次方程1、直接开平方法的理论依据:
平方根的定义.
2、能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类:
①形如关于的一元二次方程,可直接开平方求解.
若,则;表示为,有两个不等实数根;
若,则;表示为,有两个相等的实数根;
若,则方程无实数根.
②形如关于x的一元二次方程,可直接开平方求解,两根是
。例解方程.把x-3看作一个整体,直接开平方,得
x-3=7或x-3=-7.
由x-3=7,得x=10.
由x-3=-7,得x=-4.
所以原方程的根为x=10或x=-4.
【总结升华】应当注意,如果把x+m看作一个整体,那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程,也就是可用直接开平方法求解的方程;这就是说,一个方程如果可以变形为这个形式,就可用直接开平方法求出这个方程的根.所以,(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标.【针对训练】1、;2、。【答案】解:(1)3x+2=±2(x﹣1),∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2,∴x1=﹣4;x2=0.
(2)(x-2)=±5
∴x-2=5或x-2=-5
∴x1=7,x2=-3.二、配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤一化:化二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;二移:移项,使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;3、三配:①配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,方程化为的形式;②方程左边变形为一次二项式的完全平方式,右边合并为一个常数;4、四解:①用直接开平方法解变形后的方程,此时需保证方程右边是非负数。②分别解这两个一元二次方程,求出两根。【精典例题】解方程:.【思路点拨】首先进行移项,得到x2+4x=1,方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方法即可求解.【答案与解析】解:∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴(x+2)2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+,x2=﹣2﹣.【针对训练】用配方法解方程.1、2、【答案】(1)方程变形为x2-4x=2.
两边都加4,得x2-4x+4=2+4.
利用完全平方公式,就得到形如(x+m)2=n的方程,即有(x-2)2=6.
解这个方程,得x-2=或x-2=-.
于是,原方程的根为x=2+或x=2-.
(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8.
两边都加“一次项系数一半的平方”=32,得x2+6x+32=-8+32,
∴(x+3)2=1.
用直接开平方法,得x+3=±1,
∴x=-2或x=-4.【精典例题】用配方法证明:二次三项式的值一定小于0.【答案与解析】解:﹣8x2+12x﹣5=﹣8(x2﹣x)﹣5=﹣8[x2﹣x+()2]﹣5+8×()2=﹣8(x﹣)2﹣,∵(x﹣)2≥0,∴﹣8(x﹣)2≤0,∴﹣8(x﹣)2﹣<0,即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0.【精典例题】已知,求的值.【思路点拨】解此题关键是把拆成,可配成两个完全平方式.【答案与解析】将原式进行配方,得,即,∴且,∴,.∴.【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式,进而求出a.b的值.三、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程,当时,.
2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式:.
①当时,原方程有两个不等的实数根;
②当时,原方程有两个相等的实数根;
③当时,原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤:
①把一元二次方程化为一般形式;②确定a、b、c的值(要注意符号);
③求出的值;④判断【精典例题】用公式法解下列方程.(1);(2);(3).【答案与解析】(1)a=1,b=3,c=1∴x==.∴x1=,x2=.(2)原方程化为一般形式,得.∵,,,∴.∴,即,.(3)∵a=2,b=3,c=﹣1∴b2﹣4ac=17>0∴x=∴x1=,x2=.【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定.用这种方法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为一元二次方程的一般形式;(2)确定a,b,c的值并计算的值;(3)若是非负数,用公式法求解.【针对训练】用公式法解方程:.【答案】解:∵a=1,b=﹣3,c=﹣2;∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=9+8=17;∴x==,∴x1=,x2=.【精典例题】用公式法解下列方程:(1);(2);(3).【思路点拨】针对具体的试题具体分析,不是一般式的先化成一般式,再写出a,b,c的值,代入求值即可.【答案与解析】解:(1)∵2x2+x﹣2=0,∴a=2,b=1,c=﹣2,∴x===,∴x1=,x2=.(2)∵a=3,b=﹣6,c=﹣2,∴b2﹣4ac=36+24=60>0,∴x=,∴x1=,x2=(3)∵a=1,b=﹣3,b=﹣7.∴b2﹣4ac=9+28=37.x==,解得x1=,x2=.【总结升华】首先把每个方程化成一般形式,确定出a、b、c的值,在的前提下,代入求根公式可求出方程的根.【针对训练】解方程:.思路分析:利于求根公式x=来解方程.解:关于x的方程x2-3x-1=0的二次项系数a=1,一次项系数b=-3,常数项c=-1,则
x═=,解得,x1=,x2=.点评:本题考查了解一元二次方程--公式法.利于公式x=来解方程时,需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义.四、十字相乘法解一元二次方程1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式。(2)用十字相乘法来解一元二次方程。3、十字相乘法的优点:用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错。4、十字相乘法的缺陷:①有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不适用于每一道题。②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。【精典例题】解方程分析:把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5。解:因为1-3
1╳-5所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3x2=5【精典例题】解一元二次方程:它的二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-3。因为它的系数满足,,所以用十字相乘法可将原式化为五、因式分解法解一元二次方程【精典例题】解方程:(1)(2)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解:2x2+x=x(2x+1),3x2+6x=3x(x+2)因此,上面两个方程都可以写成:(1)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2=-.(2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.专题07分式方程【考点总结】一、分式方程1.分母里含有未知数的有理方程叫分式方程.2.使分式方程分母为零的未知数的值即为增根;分式方程的增根有两个特征:(1)增根使最简公分母为零;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根.【考点总结】二、分式方程的基本解法解分式方程的一般步骤:(1)去分母,把分式方程转化为整式方程;(2)解这个整式方程,求得方程的根;(3)检验,把解得整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母为零,则它不是原方程的根,而是方程的增根,必须舍去;如果使最简公分母不为零,则它是原分式方程的根.【考点总结】三、分式方程的实际应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验:(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解;(2)检验所求的解是否符合实际.【考点】一、去分母解分式方程例1、解方程:eq\f(x,x+2)+eq\f(x+2,x-2)=eq\f(8,x2-4).解:去分母,得x(x-2)+(x+2)2=8.x2-2x+x2+4x+4=8.整理,得x2+x-2=0.解得x1=-2,x2=1.检验,当x1=-2时,x2-4=4-4=0,∴x1=-2是增根;当x2=1时,x2-4=1-4=-3≠0,∴x2=1是原方程的根.∴原方程的根是x=1.解分式方程时应注意以下两点:(1)去分母时,要将最简公分母乘以每一个式子,不要“漏乘”;(2)解分式方程时必须检验,检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可.若能使最简公分母为0,则该解是原方程的增根.【考点】二、分式方程的增根例2、已知方程eq\f(1,4-x2)+2=eq\f(m,x-2)有增根,求m的值.解:将分式方程去分母,得到1+2(4-x2)=-m(2+x).∵方程eq\f(1,4-x2)+2=eq\f(m,x-2)有增根,∴由4-x2=0或x-2=0,解得x1=2,x2=-2.将x1=2代入1+2(4-x2)=-m(2+x),得m=-eq\f(1,4);将x2=-2代入1+2(4-x2)=-m(2+x),得等式不成立.∴x1=2是方程的增根,x2=-2不是增根.∴m的值为-eq\f(1,4).利用增根求分式方程中字母的值:(1)确定增根;(2)将原分式方程化成整式方程;(3)增根代入变形后的整式方程,求出字母的值.【考点】三、分式方程的应用例3、2017年开春以来,湖北省发生了严重的旱灾,连续5个多月无有效降水,为抗旱救灾,某部队计划为驻地村民新修水渠3600米,为了水渠能尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米?分析:设原计划每天修水渠x米,则按原计划修完水渠需用eq\f(3600,x)天,实际修完水渠需用eq\f(3600,1.8x)天.等量关系为:按原计划修完水渠用的时间-实际修完水渠用的时间=20.解:设原计划每天修水渠x米.根据题意得:eq\f(3600,x)-eq\f(3600,1.8x)=20,解得x=80.经检验,x=80是原分式方程的解.答:原计划每天修水渠80米.列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”,将实际问题抽象为方程问题.同时,既要注意求得的根是否是原分式方程的根,又要根据具体问题的实际意义,检验是否合理.专题08一元一次不等式(组)【考点总结】一、不等式的有关概念及其性质1.不等式的有关概念(1)不等式:用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.(2)不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.(3)解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式.2.不等式的基本性质(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式),不等号的方向不变,即若a<b,则a+c<b+c(或a-c<b-c).(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a<b,且c>0,则ac<bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a,c)<\f(b,c))).(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即若a<b,且c<0,则ac>bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a,c)>\f(b,c))).【考点总结】二、一元一次不等式(组)的解法1.一元一次不等式:只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式.2.解一元一次不等式的基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3.一元一次不等式组:关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.4.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫这个一元一次不等式组的解集.5.一元一次不等式组解集的确定方法若a<b,则有:(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a,,x<b))的解集是x<a,即“同小取小”.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>a,,x>b))的解集是x>b,即“同大取大”.(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>a,,x<b))的解集是a<x<b,即“大小小大中间夹”.(4)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a,,x>b))的解集是空集,即“大大小小无解答”.【考点总结】三、不等式(组)的应用1.列不等式或不等式组解决实际问题,要注意抓住问题中的一些关键词语,如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等.这些都体现了不等关系,列不等式时,要根据关键词准确地选用不等号.另外,对一些实际问题的分析还要注意结合实际.2.列不等式(组)解应用题的一般步骤:(1)审题;(2)设未知数;(3)找出能够包含未知数的不等量关系;(4)列出不等式(组);(5)求出不等式(组)的解;(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值;(7)写出答案(包括单位名称).【考点】一、不等式的性质例1、如果a<b<0,下列不等式中错误的是().A.ab>0B.a+b<0 C.eq\f(a,b)<1D.a-b<0解析:由a<b<0知:a,b同号,均为负数,由两数相乘,同号得正,异号得负知A选项正确;由同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加知B选项正确;由题意可知,|a|>|b|>0,同时,根据不等式的基本性质可知eq\f(a,b)>0,因此eq\f(a,b)>1,C错;|a|>|b|,a<b<0,则a-b<0,D正确.答案:C不等式的基本性质是不等式变形的依据,是我们应掌握的基本知识.特别要注意的是,不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.【考点】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-4<0,,x+1≥0))的解集在数轴上表示正确的是().解析:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-4<0,(1),x+1≥0,(2)))由(1)得x<2;由(2)得x≥-1,所以-1≤x<2.根据“大小小大中间夹”,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈.可知B正确.答案:B不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来,具体表示方法是先确定边界点:解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左.【考点】三、不等式(组)的解法【精典例题】3、(1)解不等式eq\f(3,2)x-4<3(x+1);(2)解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-2(x-1)≤5,,\f(3x-2,2)<x+\f(1,2),))并把解集在数轴上表示出来.解:(1)去分母3x-8<6(x+1),去括号,得3x-8<6x+6,移项,得-3x<14,系数化为1得x>-eq\f(14,3);(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-2(x-1)≤5,,\f(3x-2,2)<x+\f(1,2),))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))解不等式①,得x≥-1.解不等式②,得x<3.在同一数轴上表示不等式①②的解集如下:∴原不等式组的解集为-1≤x<3.1.解不等式与解方程类似,不同之处在于系数化为1时,若不等式两边同时乘(或除)以一个负数,要改变不等号的方向.2.解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式,再利用数轴求出这些不等式的公共部分.解不等式组与解方程组截然不同,不能将两个不等式相加或相减,否则将可能出现错误.【考点】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【精典例题】4、关于x的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x+15,2)>x-3,,\f(2x+2,3)<x+a))只有4个整数解,则a的取值范围是().A.-5≤a≤-eq\f(14,3)B.-5≤a<-eq\f(14,3) C.-5<a≤-eq\f(14,3)D.-5<a<-eq\f(14,3)解析:解原不等式组,得2-3a<x<21.由已知条件可知2-3a<x<21包含4个整数解,这4个整数解应为17,18,19,20,这时2-3a应满足16≤2-3a<17,解得-5<a≤-eq\f(14,3),故应选C.答案:C根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围,解决此类问题时,一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集,再根据已知不等式(组)的解集情形,求出字母的取值范围.【考点】五、不等式(组)的应用例5、某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台,三种家电的进价和售价如下表所示:(1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案?(2)国家规定:农民购买家电后,可根据商场售价的13%领取补贴.在(1)的条件下,如果这15台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元?解:(1)设购进电视机、冰箱各x台,则洗衣机为(15-2x)台.依题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15-2x≤\f(1,2)x,,2000x+2400x+1600(15-2x)≤32400.))解得6≤x≤7.∵x为正整数,∴x=6或7.方案1:购进电视机和冰箱各6台,洗衣机3台;方案2:购进电视机和冰箱各7台,洗衣机1台.(2)方案1需补贴:(6×2100+6×2500+3×1700)×13%=4251(元);方案2需补贴:(7×2100+7×2500+1×1700)×13%=4407(元);∴国家财政最多需补贴农民4407元.利用不等式(组)解决实际问题,关键抓住题目中表示不等关系的语句,列出不等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定.
专题09平面直角坐标系与函数的概念【考点总结】一、平面直角坐标系与点的坐标特征1.平面直角坐标系如图,在平面内,两条互相竖直的数轴的交点O称为原点,水平的数轴叫x轴(或横轴),竖直的数轴叫y轴(或纵轴),整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限.2.各象限内点的坐标特征点P(x,y)在第一象限x>0,y>0;点P(x,y)在第二象限x<0,y>0;点P(x,y)在第三象限x<0,y<0;点P(x,y)在第四象限x>0,y<0.3.坐标轴上的点的坐标的特征点P(x,y)在x轴上y=0,x为任意实数;点P(x,y)在y轴上x=0,y为任意实数;点P(x,y)在坐标原点x=0,y=0.【考点总结】二、特殊点的坐标特征1.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x,-y);关于y轴的对称点P2的坐标为(-x,y);关于原点的对称点P3的坐标为(-x,-y).2.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x轴:横坐标不同,纵坐标相同;平行于y轴:横坐标相同,纵坐标不同.3.各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同,第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数.【考点总结】三、距离与点的坐标的关系1.点与原点、点与坐标轴的距离(1)点P(a,b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值,即|b|;点P(a,b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值,即|a|.(2)点P(a,b)到原点的距离等于点P的横、纵坐标的平方和的算术平方根,即eq\r(a2+b2).2.坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0),P2(x2,0)间的距离|P1P2|=|x1-x2|.(2)在y轴上两点Q1(0,y1),Q2(0,y2)间的距离|Q1Q2|=|y1-y2|.(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0,y1)之间的距离|P1Q1|=eq\r(x12+y12).【考点总结】四、函数有关的概念及图象1.函数的概念一般地,在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.2.常量和变量在某一变化过程中,保持一定数值不变的量叫做常量;可以取不同数值的量叫做变量.3.函数的表示方法函数主要的表示方法有三种:(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.4.函数图象的画法(1)列表:在自变量的取值范围内取值,求出相应的函数值;(2)描点:以x的值为横坐标,对应y的值作为纵坐标,在坐标平面内描出相应的点;(3)连线:按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点.【考点总结】五、函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法:1.自变量以分式形式出现,它的取值范围是使分母不为零的实数.2.当自变量以二次方根形式出现,它的取值范围是使被开方数为非负数;以三次方根出现时,它的取值范围为全体实数.3.当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中,它的取值范围是使底数不为零的实数.4.在一个函数关系式中,同时有几种代数式,函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分.【考点】一、平面直角坐标系内点的坐标特征例1、在平面直角坐标系中,若点(2x+1,x-2)在第四象限,则x的取值范围是().A.x>-eq\f(1,2)B.x<2 C.x<-eq\f(1,2)或x>2D.-eq\f(1,2)<x<2解析:根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+1>0,,x-2<0,))解得-eq\f(1,2)<x<2.答案:D掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征,构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法.【考点】二、距离与点坐标的关系例2、如图,直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上,其中,A点坐标为(2,-1),则△ABC的面积为__________平方单位.解析:利用数轴得出B点坐标为(4,3),C点坐标为(1,2),然后利用割补法,结合点的坐标与距离的关系求出△ABC的面积.答案:5【考点】三、函数图象的应用例3、如图,一只蚂蚁从O点出发,沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周,设蚂蚁的运动时间为t,蚂蚁到O点的距离为s,则s关于t的函数图象大致为().解析:本题是典型的数形结合问题,通过对图形的观察,可以看出s与t的函数图象应分为三段:(1)当蚂蚁从点O到点A时,s与t成正比例函数关系;(2)当蚂蚁从点A到点B时,s不变;(3)当蚂蚁从点B回到点O时,s与t成一次函数关系,且回到点O时,s为零.答案:C利用函数关系和图象分析解决实际问题,要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数,探求变量和函数之间的变化趋势,合理地分析变化过程,准确地结合图象解决实际问题.【考点】四、函数自变量取值范围的确定例4、函数y=eq\f(\r(x+2),x-2)的自变量x的取值范围是().A.x≥-2且x≠2 B.x>-2且x≠2 C.x=±2 D.全体实数解析:要使函数有意义,必须同时满足二次根式的被开方数是非负数,分式的分母不能为零,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2≥0,,x-2≠0,))解得x≥-2且x≠2.答案:A求函数自变量的取值范围,往往通过解不等式或不等式组来确定.因此,掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法,是求函数自变量取值范围的基础,同时要学会这种转化的思想方法.
专题10一次函数【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数.【考点总结】二、一次函数的图象与性质1.一次函数的图象(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,b)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,k),0))的一条直线.(2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1,k)的一条直线.2.一次函数图象的性质一次函数y=kx+b,当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.【考点总结】三、一次函数解析式的确定常用待定系数法求一次函数的解析式,待定系数法的一般步骤是:1.设出函数解析式;2.根据已知条件求出未知的系数;3.具体写出这个解析式.【考点总结】四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1.y=kx+b与kx+b=0直线y=kx+b与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解,方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.2.y=kx+b与不等式kx+b>0从函数值的角度看,不等式kx+b>0的解集为使函数值大于零(即kx+b>0)的x的取值范围;从图象的角度看,由于一次函数的图象在x轴上方时,y>0,因此kx+b>0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围.3.一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解;以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.【考点】一、一次函数的图象与性质例1、点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2)是一次函数y=-4x+3图象上的两个点,且x1<x2,则y1与y2的大小关系是().A.y1>y2B.y1>y2>0 C.y1<y2D.y1=y2解析:因为一次函数y=-4x+3中k<0,根据其性质,y随x的增大而减小.所以当x1<x2时,y1>y2.答案:A解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时,应注意以下三点:①一次函数图象分布特征与k,b的符号之间的关系;②一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系;③一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等.【考点】二、求一次函数解析式例2、娄底至新化高速公路的路基工程分段招标,市路桥公司中标承包了一段路基工程,进入施工场地后,所挖筑路基的长度y(m)与挖筑时间x(天)之间的函数关系如图所示,请根据提供的信息解答下列问题:(1)求在0≤x<2的时间段内,y与x的函数关系式;(2)求在x≥2时间段内,y与x的函数关系式;(3)用所求的函数解析式预测完成1620m的路基工程,需要挖筑多少天?解:(1)当0≤x<2时,设y与x的函数关系式为y=kx,∴40=k.∴y与x的函数关系式为y=40x(0≤x<2).(2)当x≥2时,设y与x的函数关系式为y=kx+b,]由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(115=3k+b,,255=7k+b,))解之,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k=35,,b=10.))∴y与x的函数关系式为y=35x+10(x≥2).(3)当y=1620时,35x+10=1620,x=46.答:需要挖筑46天.确定一次函数的函数关系式,可先设出函数关系式,再根据条件确定关系式中未知的数.根据图象,由两个点的坐标可确定一次函数关系式,正比例函数只需一个点的坐标即可.【考点】三、一次函数与方程(组)、不等式的关系例3、如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=ax+b,,y=kx))的解是__________.解析:如图所示,二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=ax+b,,y=kx))的解就是直线y=ax+b与直线y=kx的交点,所以点P的坐标就是方程组的解,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-4,,y=-2.))答案:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-4,,y=-2))两个函数图
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