江西省永丰中学2025届高三数学考前保温卷理7.3含解析

PAGE26-江西省永丰中学2025届高三数学考前保温卷理（7.3，含解析）一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的.1.若集合A＝{x|y}，B＝{x|x2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A.[0，1） B.[0，1] C.[0，2） D.[0，2]【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B，再求出A∩B得解．【详解】解：∵集合A＝{x|y}＝{x|x≤2}，B＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.2.在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据复数的运算法则求出，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题，在复平面对应的点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于依据复数的乘法除法运算精确求解，娴熟驾驭复数的几何意义.3.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，可依次推断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项.【详解】解：由于，可得：，又，，故选：B.【点睛】本题考查指对数以及三角函数值比较大小，三角函数式的取值范围的推断，对数式的取值范围的推断及指数式的取值范围的推断，解题的关键是利用中间量法.4.若贵阳某路公交车起点站的发车时间为6:35，6:50，7:05，小明同学在6:40至7:05之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车的时长后可计算出概率．【详解】6:40至7:05共25分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6:45至6:50和7:00至7:05到站，共10分钟，所以所求概率为．故选：C．【点睛】本题考查几何概型，解题关键是求小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，留意发车时间后到站都不合要求．5.已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为（）.A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】设抛物线上的一点，利用抛物线的定义得点到焦点的距离为，到轴距离，则，即可求出的值.【详解】解：由题意可知抛物线的焦点，设为抛物线上一点，则点到焦点的距离为，到轴距离，因为，所以，解得，所以该点的横坐标为故选：B【点睛】此题考查抛物线的定义，考查计算实力，属于基础题.6.函数f（x）的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先解除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可推断.【详解】因为f（﹣x）f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，解除选项A，C，又f（2），因为，所以，所以f（2）＜0，解除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7.若的绽开式中只有第7项的二项式系数最大，则绽开式中含项的系数是（）.A.132 B. C. D.66【答案】D【解析】【分析】由题意可得，然后利用二项绽开式的通项可求得结果.【详解】解：因为绽开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，绽开式有13项，，所以二项式绽开式的通项为由得，所以绽开式中含项的系数为.故选：D【点睛】此题考查二项式定理，二项式绽开式的系数，属于基础题.8.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A.【点睛】本小题主要考查依据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.9.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A.求首项为，公比为的等比数列的前项的和B.求首项为，公比为的等比数列的前项的和C.求首项为，公比为的等比数列的前项的和D.求首项为，公比为的等比数列的前项的和【答案】D【解析】【分析】先由程序的循环变量得到循环执行的次数，再由中第一次累加的是，其次次累加的是，依此循环得到结论.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量的初值为，终值为，步长为，故循环共执行了次．由中第一次累加的是，其次次累加的是，始终下去，故该算法的功能是求首项为，公比为的等比数列的前项的和．故选：D【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑辨析的实力，属于基础题.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质推断出三角形的形态并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最终将点坐标带入双曲线方程即可得出结果．【详解】

依据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以依据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维实力，是难题．11.在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（）A.8 B.6 C. D.4【答案】D【解析】，这个形式很简洁联想到余弦定理：cosA，①而条件中的“高”简洁联想到面积，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先依据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件敏捷转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.已知函数，有下述四个结论：①为偶函数；②的一个周期为；③的值域为；④在区间上恰有8个零点．其中全部正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】采纳逐一验证的方法，依据函数的奇偶性以及周期性的定义，可知①正确，②错误，以及运用换元法，结合二次函数的性质可知③错误，然后依据③的条件简洁推断可知④错误.【详解】由，故为偶函数，①正确；不恒等于，故的周期不行能为，故②错误；，记，则，当时，取得最大值2，当时，取9得最小值，即的值域为，所以的值域为，③错误；令，得或，而当时，及恰有3个不等的实根，，，即在区间上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即在区间上恰有6个零点，④错误．故正确的个数为1．故选A．【点睛】本题考查函数的性质，识记周期性，奇偶性，对称性的概念，以及换元法的娴熟运用，化繁为简，考验分析实力，属中档题.二、填空题：13.如图所示，、是圆上的两点，若，则弦长为______.【答案】2【解析】【分析】过作于，依据垂径定理有，代入中即可求解.【详解】过作于，则，，，所以,故答案为：2【点睛】考查向量数量积的定义和垂径定理，基础题.14.若实数x，y满意约束条件，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】画出可行域，结合目标函数的几何意义求解即可【详解】由题不等式表示的可行域如图阴影所示：由得，易得表示可行域的点与原点连线的斜率，故在A处取得最小值，在B处取得最大值2故填【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，精确计算是关键，是基础题15.2024年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北.某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为______.【答案】【解析】【分析】依据分步计数原理，先求分医生的方案数，再求分护士的方案数，两者相乘得到总的方案数；求医生甲、护士乙和另一名护士作为一组分到同一家医院方案数，再求剩下的2名医生分到另两家医院的方案数，再求剩下的4名护士分到另两家医院的方案数，三者相乘得到医生甲和护士乙分到同一家医院的方案数，则概率可求.【详解】解：3名医生分到三家医院的方案有，6名护士分到三家医院的方案有，所以安排方案共有.医生甲、护士乙和另一名护士作为一组分到同一家医院方案有，剩余的2名医生分到另2家医院方案有，剩余的4名护士分到另2家医院方案有，所以医生甲和护士乙分到同一家医院的方案共有，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.故答案为：【点睛】考查分步计数原理和古典概型的应用，基础题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”，平行四边形形态的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形态的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，在棱长为的正四面体中，其高为顶点和底面中心的连线段，易求；则该正四面体的体积易求，该六面体的体积可求.当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，该球与相切，过球心作，则就是球半径，利用等面积法可求半径，则球的表面积可求.【详解】解：该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图，在棱长为的正四面体中，取中点为，连接，，作平面，垂足在上，则，，，则该正四面体的体积为，该六面体的体积.当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球半径，因为，所以球半径，所以该球表面积的最大值为：.故答案为：；.【点睛】考查组合体体积的求法以及其内切球的表面积的求法，同时考查运算求解实力和空间想象实力，基础题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知是数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式，结合与的关系和等比数列的定义，得到是首项为1，公比为3的等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，即可求解.【详解】（1）由，可得：当时，，两式相减，得，即，当时，，得，即，即，所以，当时，，即是首项为1，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式.（2）由，可得，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列定义与通项公式的求解，以及“裂项法”求解数列的前项和，其中解答中利用数列的递推公式，结合等比数列的定义求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算实力.18.如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，设的中点为，可证，，由线面垂直的判定定理可知平面，于是即可证明；（2）由勾股定理可证，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角，由此即可求出二面角的大小．【详解】（1）连接，设的中点为，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，为等边三角形，∴，，折叠后，，又，∴平面，又平面，∴.（2）由已知得，又，∴，，又，，则平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，即，令得，又平面，∴为平面的一个法向量，设二面角为，则，由图可知二面角为钝角，所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．19.设椭圆的右焦点为，以原点为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆的两焦点，且该圆截直线所得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满意，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，，再由圆截直线所得的弦长为，得，可求出，从而求出的值，可得到椭圆的标准方程；（2）设过点的直线为，与椭圆方程联立成方程组，消元后得，先使判别式大于零，求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到，然后结合将点的坐标表示出来代入椭圆方程中可出的值，从而可得直线的方程.【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径圆的方程为.∵圆过椭圆的两焦点，∴，∵圆截直线所得的弦长为.∴，解得，∴.∴椭圆标准方程为.（2）设过点的直线方程为.，两点的坐标分别为，，联立方程，得，，∴，∵，∴点，∵点椭圆上，∴有，即，∴，即，解得，符合，直线方程为.（2）方法二：由题意知直线的斜率存在，设过定点的直线为，，，则直线与轴交于点，因为，所以，将直线与椭圆联立并化简可得，，则，解得，所以，，所以，因为点在椭圆上，所以满意椭圆方程，将，代入得，，化简得，直线方程为.【点睛】此题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算实力，属于中档题.20.2024年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2024年初起先种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，依据前期各方面调查发觉，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其详细状况如下表：该经济农作物亩产量9001200该经济农作物市场价格（元)1520概率概率（1）设2024年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为元，求的分布列；（2）若该农户从2024年起先，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；（3）2024年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2024年的其他方面的支出与收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预料该农户在2024年底可以脱贫？并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）能预料该农户在2024年底可以脱贫；答案见解析.【解析】【分析】（1）首先由题意假设出事务A，B，并确定动身生的概率，因为利润=产量市场价格成本，进而得到全部可能的取值，再由概率的基本性质可得相应概率，得到的分布列(2)将所求概率事务记为C，由题意知每年收入相互独立，再由概率的基本性质可得，设这三年中有年的纯收入不少于16000元，变量听从二项分布，即可求解.(3)由(1)计算，再与4000进行比较即可求解.【详解】（1）由题意知：，，，，所以的全部可能取值为：23000，17000，12500.设表示事务“作物产量为”，则；表示事务“作物市场价格为15元”，则.则：，，，所以的分布列为：230001700012500（2）设表示事务“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”，则，设这三年中有年的纯收入不少于16000元，则有：，所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为.（3）由（1）知，2024年该农户种植该经济农作物一亩的预料纯收入为（元），，凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以，能预料该农户在2024年底可以脱贫.【点睛】本题考查概率的基本性质，考查二项分布，考查期望，属于中档题.21.已知函数．（Ⅰ）若，求的单调性和极值；（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增，微小值为-2，无极大值（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求导得到，分别得到当时，，当时，，推断出单调性，从而得到其极值；（Ⅱ）依据题意得到，令，求导得到，由得，令，由零点存在定理得到存在，使得，由得到的最小值，再对的零点进行分类探讨，得到答案.【详解】（Ⅰ）当时，，∴当时，，，∴，当时，，，∴∴在上单调递减，在上单调递增在处取得微小值，微小值为，无极大值（Ⅱ）∵，由得令，则由得．令，当时，，∴在单调递增，∵，，∴存在，使得且当时，，即，当时，，即∵，，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增∴在处取得最小值∵，∴，即，∴，即∴当时，函数无零点，当时，∵，∴函数至少有1个零点，故的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性