《空间向量基本定理》教学设计

高中数学精选习题2/2《空间向量基本定理》教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.共线向量基本定理是什么？2.平面向量基本定理是什么？共线向量基本定理：如果且,则存在唯一的实数,使得平面向量基本定理：如果平面内两个向量与不共线,则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得.教师提出两个问题,学生思考并给出回答,教师补充.教师指出,这两个定理在空间中仍然成立.通过复习引入，使学生回忆共线向量基本定理及平面向量基本定理,为推广到空间向量做准备.形成概念1问题1：上述结论在空间中仍成立吗？请举例说明.问题2：如何判断空间中的三个向量共面？共面向量定理：如果两个向量,不共线,则向量,,共面的充要条件是,存在唯一的实数对,使.对于问题1,学生思考讨论,给出回答,并举例说明.可以看出,共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立.例如,如图所示的正方体中,在直线上的充要条件是,存在实数,使得如果在底面内,则定存在实数s与t,使得,而且,若,,则,对于问题2，教师提示：由平面向量基本定理及空间向量加法的平行四边形法则,可以得到空间中三个向量是否共面的判别方法.学生总结出共面向量定理,教师给予补充,并给出证明.这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的,而充分性只要注意到当与不共线时,,,分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可.通过问题设置,培养学生合作交流、分析问题的能力,发展其逻辑推理核心素养.例题解析1例1.如图所示,已知斜三棱柱,,,,在上和上分别有一点M和N,且,其中.求证：,,共面证明因为,,所以.由共面向量定理可知,,,共面由共面向量定理判断空间中四点是否共面的方法：如果三点不共线,则点在平面内的充要条件是,存在唯一的实数对,使.教师出示例题,学生利用前面所学的知识独立思考完成.教师给予点评,并提出问题：如何根据共面向量定理说明空间中四点共面？学生思考讨论,给出答案,教师总结.进一步使学生熟悉共面向量定理,提高学生的运算能力发展其数学运算核心素养.形成概念2问题3：共线向量基本定理表示,给定直线上的一个非零向量,那么直线上任意一个向量都可以唯一地写成数乘向量的形式；平面向量基本定理表示,在给定的平面内,当向量与不共线时,任意一个向量都可以写成与的线性运算,且表达式唯一.空间向量有没有类似的结论？如果有,尝试归纳出来；如果没有,说明理由.空间向量基本定理：如果空间中的三个向量不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得问题4：你能利用作图的方法来理解空间向量基本定理吗？问题5：你能说明空间向量基本定理中唯一性吗？结论：当不共面时,空间中不共面的三个向量组成的集合,称为空间向量的一组基底.教师进行引导,学生自主归纳教师让学生尝试进行证明,然后教师带领学生一起学习教材第14页内容,即空间向量基本定理的证明过程.空间向量基本定理可以通过作图的方式来理解.因为不共面,所以它们两两都不平行,过点作,,则平面是两两相交的三个平面,如图所示.如果与的某两个向量共面,则根据共面向量定理可知结论成立.否则,作,过点作直线平行于,交平面于点；在平面内,过作直线平行于,作直线平行于,且分别与直线,相交于点,；在上取一点,使得.于是存在三个实数使得,,.作,则是一个平行六面体，因此即.下面来说明定理中的有序实数组是唯一的设且,则如果,则,由此可知共面,这与已知矛盾,因此同理教师给出结论及基底的概念,学生理解记忆.让学生体会类比、推广思想,通过尝试、归纳、总结,培养学生分析问题和解决问题的能力.通过证明使学生对空间向量基本定理有更深刻的理解和认识.例题解析2例2如图所示平行六面体中,设,试用基底表示向量解因为是平行六面体,所以类似地,有例3如图所示,已知直三棱柱中,为的中点,,,,求.解由题意可知,,所以,.又因为，所以=.教师出示例题,学生自主完成,并上台进行演示.教师给予积极的评价,并讲解教师指出：例3说明,如果空间向量中,有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度都已知,那么以这三个向量为一组基底,可以研究其他向量之间的数量积等问题.通过例题,及时进行反馈,帮助学生掌握知识,同时反映出学生掌握知识的情况.课堂小结1.共面向量定理2.空间向量基本定理3.数学思想方法：类比,推广,归纳.学生自己归纳这节课所学的知识帮助学生形成系统的知识结构课后作业教材第16-17页练习A,练习B教师布置作业,学生按时完成练习巩固知识,增强学生的求知欲板书设计1.1.2空间向量基本定理1.共面向量定理：如果两个向量不共线,则向量共面的充要条件是,存在唯一的实数对,使例12.空间向量基本定理：如果空间中的三个向量不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得结论：当不共面时,空间中不共面的三个向量组成的集合,称为空间向量的一组基底例2例3课堂小结教学研讨本节课中把更多的时间、机会留给学生,让学生充分的交流、探究,积极引导学生动手操作、动脑思考.教学中要关注学生是否积极地参与到发现问