154三角形全等的判定AAS

1.5.4三角形全等的判定AAS知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究用AAS判定三角形全等概念两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）【注】：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.题型一：通过添加条件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2020·江苏盐城·八年级期中）如图，AC，BD相交于点O，AO＝DO，请你补充一个条件,能直接利用AAS证全等，使得△AOB≌△DOC．你补充的条件是_____________________________．【答案】∠B=∠C【分析】线段AC、BD相交于点O，且AO=DO，有一对对顶角∠AOB与∠DOC，添加∠B=∠C，能证出△AOB≌△DOC．【详解】解：∵AO=DO，∠AOB=∠DOC，∠B=∠C，∴△ABO≌△DOC（AAS）．故答案为：∠B=∠C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法AAS.根据已知结合图形，找到已经有的条件，然后结合判定方法选择条件是正确解答本题的关键．特别注意题目要求利用AAS判定全等,需要的是两个角和其中一个角的对边对应相等.变式训练【变式11】（2020·江苏苏州市·八年级期末）如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要利用AAS使，可补充的一个条件是：______．【答案】【详解】补充：结合利用角角边定理可得，从而可得答案．【变式12】（2019·江苏镇江市·八年级月考）如图，∠BAC=∠DAC，若要以AAS证明△ABC≌△ADC，要补充的一个条件是_________【答案】∠B=∠D【详解】添加AB=AD，再加上条件∠BAC=∠DAC，公共边AC，可利用AAS定理判定△ABC≌△ADC．【变式13】（2019·江苏南京市·八年级期中）如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，则补充条件_____可使△ACE≌△DBF（填写你认为合理的一个条件）．【答案】∠E＝∠F（答案不唯一）【详解】根据等式的性质可由AB=DC得到AC=BD，若利用AAS定理判定△ACE≌△DBF，则还需要添加一组角对应相等即可．题型二：直接利用AAS证明三角形全等【例题2】（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，交于点E．求证：．【答案】见解析【分析】根据对顶角相等可得，进而根据已知条件，利用AAS直接证明即可．【详解】证明：∵与是对顶角，∴，在和中，∴．【点睛】AAS证明全等需要三个条件，在此类简单的证明题中往往题目中给出两个明显的条件，第三个条件可能隐藏在公共边、公共角、对顶角等；也可能第三个需要通过角度的和差或者线段的和差得到；此外还可能需要寻找题目中已知条件或者图形中隐含条件通过等量代换达到证明全等的目的.变式训练【变式21】（2021·重庆彭水·八年级期末）如图，在中，，是上的一点，且，于，；求证：≌．【答案】见解析【分析】根据90°，得90°，根据90°，得到，再根据，即可求证.【详解】解：90°，90°，，90°，，在和中，，≌（AAS）.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【变式22】（2021·广东大埔·七年级期末）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的性质可得ED=EC，继而根据等边对等角的性质即可求证结论；（2）根据角平分线的性质和全等三角形的判定求证△OED≌△OEC（AAS），继而根据全等三角形的对应边相等得到结论．【详解】（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；

（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，又∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．【变式23】（2021·辽宁兴城·八年级期末）如图，，且，，是上两点，，．求证：．【答案】见详解【分析】先根据余角的性质，可得∠A＝∠C，再根据AAS，即可得到结论．【详解】证明∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠AFB＝∠CED＝90°∴∠A＝∠C，又∵AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴（AAS）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定定理是本题的关键．AAS证明全等的应用题型三：全等三角形性质与AAS判定的综合运用【例题3】（2020·广州市协和中学）已知，如图：、、、在一条直线上，，，，求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据线段的和差关系可得AF=BE，利用AAS可证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得结论．【详解】∵，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE，∴．【点睛】方法总结:证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件这些条件怎样可以得到.由对应边角相等的条件边得到三角形全等，这是全等三角形的判定;由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质.变式训练【变式31】（2020·广州市育才中学八年级期中）如图，中，，，是过点的直线，于，于，，，求的长．【答案】5【分析】先证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，结合线段的和差解题．【详解】证明：，在与中，．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式32】（2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学）如图，点A，E，B，D在同一条直线上，已知∠C＝∠F，∠ABC＝∠DEF，AE＝DB，试判断AC与DF的数量关系并说明理由．【答案】AC＝DF，理由见解析．【分析】由“”可证，可得．【详解】证明：，理由如下：，，在与中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．【变式33】（2021·陕西师大附中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．【答案】见解析【分析】根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．【详解】解：证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴DB＝CD．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形全等的证明，解题的关键是根据题意找到证明三角形全等需要的条件．题型四：AAS的实际应用【例题4】（2020·驻马店市第一高级中学分校七年级期中）如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取，过点D作，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等解答；【详解】解：，，在和中，，，，即的长就是、两点之间的距离．【点睛】此题型主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．变式训练【变式41】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【答案】两堵木墙之间的距离为50cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由图可得，∠ACB＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°又∠ACD+∠CAD＝90°∠CAD＝∠BCE在和中，AD=CE=3×5=15cmBE=CD=7×5=35cmDE=CD+CE=35+15=50cm答：两堵木墙之间的距离是50cm．题型五：三垂直模型与AAS的综合运用【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；（2）根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．【详解】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，∵BD＝2cm，CE＝4cm，∴DE＝6cm；故答案为：6．变式训练【变式51】（2019·福建期中）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（直接写出答案）【答案】（1）详见解析；（2）AD=BEDE；【分析】（1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD与△CBE．根据AAS即可证明；（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出CD=BE，AD=CE，从而求出线段AD、BE、DE之间的关系．【详解】证明：（1）∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°∠ECB．在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BEDE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CDDE，∴AD=BEDE．【变式52】（2019·河南月考）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△AEC≌△CDB．（2）如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝．【答案】（1）见解析；（2）S=50．【分析】（1）因为BD⊥l，AE⊥l，可得∠AEC=∠CDB，结合题意得到∠CAE=∠BCD，再根据AAS证明即可．（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质进行计算即可解决问题．【详解】（1）如图1中，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠CAE=∠BCD，在△AEC和△CDB中,

∴△AEC≌△CDB（AAS）．

（2）如图2中，因为AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，

由（1）可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，

∴EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，

∴S=（6+4）×161812=50．

故答案为50．链接中考链接中考【真题1】（2021·广西百色·）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性质，即可得到OD=OE；(2)根据D、E分别是AB、AC的中点，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”证明两个三角形全等.【详解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；(2)∵D、E分别是AB、AC的中点∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【真题2】（2019·湖南益阳市·中考真题）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．【答案】证明见解析.【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【详解】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D，∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∴在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD(AAS)．【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．【真题3】（2011·江苏连云港·中考真题）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？【答案】不重叠的两部分全等．见解析【分析】根据题意AB=BD，AC=DF，∠A=∠D，AB=BD，AC=DF可得AF=DC，利用AAS即可判定△AOF≌△DOC【详解】解：不重叠的两部分全等．理由如下：∵三角形纸板ABC和DEF完全相同，∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D∴AF＝CD在△AOF和△DOC中∴△AOF≌△DOC（AAS）∴不重叠的两部分全等【真题4】（2017·江苏常州·中考真题）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【分析】根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上可证得结论；

根据得到根据等腰三角形的性质得到由平角的定义得到【详解】证明：在△ABC和△DEC中，，（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期中）探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积