第七章　章末整合

章末整合例1已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积.方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤

(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.变式训练1用一根长为10m的绳索围成一个圆心角小于π且半径不超过3m的扇形场地,设扇形的半径为xm,面积为Sm2.(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;(2)当半径x和圆心角α为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大值.例2利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.方法技巧利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.(3)写角的范围时,先抓住边界值,再注意角的范围的写法要求.变式训练2利用三角函数线,写出满足|cosα|>|sinα|的角α的集合.解:如图,作出单位圆.所以角α满足的集合为名师点评1.sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin

α±cos

α)2=1±2sin

αcos

α.2.已知tan

α=m,求关于sin

α,cos

α的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin

α,cos

α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos

α≠0,所以可除以cos

α,这样可将被求式化为关于tan

α的表示式,然后代入tan

α=m的值,从而完成被求式的求值.方法技巧1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.3.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.(1)解析:y=cos

2x+2sin

x-2=-sin

2x+2sin

x-1=-(sin

x-1)2.因为-1≤sin

x≤1,所以-4≤y≤0,所以函数y=cos

2x+2sin

x-2,x∈R的值域为[-4,0].答案:[-4,0]规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法:(1)y=asin

2x+bsin

x+c(a≠0),利用换元思想设t=sin

x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域