充要条件课时作业 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

充要条件课时作业（原卷+答案）一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共37分)1．“a＝481”是“a是质数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．“a2＋b2＝2ab”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知集合M，N，则M⊆N是M∩N＝M的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根的充要条件是()A．a>2或a<－2B．a≥2或a≤－2C．a<1D．a>26.设a，b∈R，集合A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}．则“A＝B”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则()A．p是q的充分条件B．p是s的必要条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件8．(多选)在下列结论中，正确的有()A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件二、填空题9．p：b2－4ac＝0,q：方程ax2＋bx＋c＝0只有一个实根，则p是q的________条件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要).9．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是________．10.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：(1)使a，b都不为0的充分条件是________．(2)使a，b至少有一个为0的充要条件是________．三、解答题11.判断下列命题的真假，并说明理由．(1)“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的必要不充分条件；(2)“A＝∅”是“∁RA＝R”的充要条件．13.求证：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的充要条件是a＋b＋c＝0(a≠0).14．已知△ABC的三边长为a，b，c，其中a＝2.求证：△ABC为等边三角形的充要条件是b2＋c2－2(b＋c)＝bc－4.参考答案选择题1．“a＝481”是“a是质数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：因为481＝13×37，所以481不是质数，故“a＝481”是“a是质数”的既不充分也不必要条件．2．“a2＋b2＝2ab”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为a2＋b2＝2ab，所以(a－b)2＝0，即a＝b，又因为a＝b也能推出a2＋b2＝2ab，故“a2＋b2＝2ab”是“a＝b”的充要条件．3．已知集合M，N，则M⊆N是M∩N＝M的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：C解析：由M⊆N⇒M∩N＝M，又M∩N＝M⇒M⊆N，所以“M⊆N”是“M∩N＝M”的充要条件．4．“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：由x≠0且y≠0可知xy≠0一定成立，故“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的充分条件；又由xy≠0可知x，y中都不能为0，否则若x＝0，则必有xy＝0，不满足xy≠0，故“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的必要条件．综上，即有“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的充要条件．5．关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根的充要条件是()A．a>2或a<－2B．a≥2或a≤－2C．a<1D．a>2答案：A解析：由关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根，则满足a2－4>0，解得a>2或a<－2，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是a>2或a<－2.6.设a，b∈R，集合A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}．则“A＝B”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}，当A＝B时，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,a2＋1＝b2＋1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2＋1，,a2＋1＝b，))若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,a2＋1＝b2＋1，))显然解得a＝b；若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b2＋1，,a2＋1＝b，))则(b2＋1)2＋1＝b，整理得(b2－b＋1)(b2＋b＋2)＝0，因为b2－b＋1＝(b－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，b2＋b＋2＝(b＋eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)>0，所以(b2－b＋1)(b2＋b＋2)＝0无解．综上，a＝b，即充分性成立；当a＝b时，显然A＝B，即必要性成立；所以“A＝B”是“a＝b”的充要条件．7．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则()A．p是q的充分条件B．p是s的必要条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件答案：AD解析：由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，对于A中，由p⇒q，所以p是q的充分条件，所以A正确；对于B中，由p⇒s，所以p是s的充分条件，所以B不正确；对于C中，由r⇔q，所以r是q的充要条件，所以C不正确；对于D中，由s⇔q，所以s是q的充要条件，所以D正确．8．(多选)在下列结论中，正确的有()A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件答案：AD解析：对于选项A，由x3＝－27得x＝－3⇒x2＝9，但是x＝3适合x2＝9，推出x3＝27≠－27，故A正确；对于选项B，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，但△ABC为直角三角形⇒AB2＋AC2＝BC2或AB2＋BC2＝AC2或BC2＋AC2＝AB2，故B错误；对于选项C，由a2＋b2≠0a，b全不为0，由a，b全不为0⇒a2＋b2≠0，故C错误；对于选项D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确．二、填空题9．p：b2－4ac＝0,q：方程ax2＋bx＋c＝0只有一个实根，则p是q的________条件(充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要).答案：既不充分也不必要解析：对于命题q，方程ax2＋bx＋c＝0只有一个实根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b≠0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b2－4ac＝0，))所以p是q的既不充分也不必要条件．10．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是________．答案：m＝±2解析：因为A∩B＝{4}，所以4∈A，又－2≠4，故m2＝4，解得m＝±2，即A∩B＝{4}⇒m＝±2.当m＝±2时，m2＝4，所以A＝{－2，4}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，即m＝±2⇒A∩B＝{4}．综上所述，“A∩B＝{4}”的充要条件是m＝±2.11.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：(1)使a，b都不为0的充分条件是________．(2)使a，b至少有一个为0的充要条件是________．解析：由题意有：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数或a，b均为0；④ab>0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,b<0))，即a，b都不为0.综上可知：(1)使a，b都不为0的充分条件是④；(2)使a，b至少有一个为0的充要条件是①.答案：④①三、解答题12.判断下列命题的真假，并说明理由．(1)“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的必要不充分条件；(2)“A＝∅”是“∁RA＝R”的充要条件．解析：(1)该命题是假命题．理由如下，充分性：当a>1000时，|a－1000|＝a－1000，充分性成立；必要性：由|a－1000|＝a－1000，得a－1000≥0，a≥1000，必要性不成立．则“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的充分不必要条件，故该命题是假命题．(2)该命题是真命题．理由如下，充分性：若A＝∅，则∁RA＝R，充分性成立；必要性：若∁RA＝R，则A＝∅，必要性成立．故该命题是真命题．13.求证：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的充要条件是a＋b＋c＝0(a≠0).证明：(1)充分性：由a＋b＋c＝0得a×12＋b×1＋c＝0，即x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，将x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0得a＋b＋c＝0.故x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的充要条件是a＋b＋c＝0(a≠0).14．已知△ABC的三边长为a，b，c，其中a＝2.求证：△ABC为等边三角形的充要条件是b2＋c2－2(b＋c)＝bc－4.证明：充分性：当a＝2时，多项式b2＋c2－2(b＋c)＝bc－4可化为b2＋c2－a(b＋c)